關(guān)節(jié)齒隙對空間機(jī)械臂末端定位精度的影響

安凱

(山東航天電子技術(shù)研究所，山東 煙臺264003)

0 引言

空間機(jī)械臂作為航天器的一種重要工具，可用于衛(wèi)星的回收和維修、大型設(shè)備的組裝、空間站的在軌建設(shè)以及作為航天員出艙的輔助平臺，提高安全性及艙外工作能力等。隨著空間探索工作的不斷深入，空間機(jī)械臂在未來的空間活動中將扮演更加重要的角色，因而許多國家都致力于空間機(jī)械臂在軌服務(wù)技術(shù)的研究［1-5］。由于空間機(jī)械臂的桿件較長，比如加拿大為國際空間站研制的巨型機(jī)械臂，其長度達(dá)19 m;用于協(xié)助安裝該巨型機(jī)械臂的小型機(jī)械臂，其桿件長度也達(dá)到15 m.由于關(guān)節(jié)位于所控制桿件的始端，關(guān)節(jié)處微小的角位移誤差，經(jīng)桿件放大后就會造成機(jī)械臂末端較大的定位誤差。以15 m長的桿件為例，若關(guān)節(jié)角位移的控制誤差為1°，末端的定位誤差將達(dá)到0.261 7 m.如此巨大的定位誤差，要完成精細(xì)的維修、組裝和交會對接等任務(wù)顯然是不可能的。為此，文獻(xiàn)［6 -7］提出通過優(yōu)化末端執(zhí)行器的捕獲機(jī)構(gòu)，提高其在大容差范圍內(nèi)捕獲能力的方法。加拿大機(jī)械臂上采用了鋼絲繩組成的柔性捕獲機(jī)構(gòu)，以擴(kuò)大末端執(zhí)行器的捕獲容差范圍。但這種改進(jìn)捕獲機(jī)構(gòu)的方法首先是增加了機(jī)械臂的質(zhì)量，其次，被捕獲目標(biāo)也需要增加相應(yīng)的機(jī)構(gòu)以配合捕獲機(jī)構(gòu)，不僅增加被捕獲目標(biāo)的質(zhì)量，也增加其機(jī)構(gòu)的復(fù)雜性，可見這種方法只能用于某些任務(wù)，并不適合所有的空間任務(wù)。此外，即使擴(kuò)大了末端執(zhí)行器的捕獲容差范圍，由于關(guān)節(jié)誤差的存在，也不一定能保證末端執(zhí)行器落入捕獲容差范圍之內(nèi)。

其實(shí)，關(guān)節(jié)誤差的主要來源是齒隙造成的角位移誤差［8-12］。齒隙在保證機(jī)械傳動得以實(shí)現(xiàn)的同時(shí)也影響了系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)精度，因此齒隙模型作為補(bǔ)償工具廣泛應(yīng)用于傳動系統(tǒng)的控制中。齒隙模型主要有遲滯模型［13］、死區(qū)模型［14］和“振-沖”模型［15］3 類。遲滯模型的輸入是位移，反映了輸入與輸出的位移關(guān)系，沒有考慮阻尼，且假定傳動是純剛性的。死區(qū)模型的輸入是相對位移，輸出是力矩，反映了系統(tǒng)驅(qū)動和從動部分的力矩傳遞關(guān)系，考慮了系統(tǒng)的剛性和阻尼，但未考慮反彈產(chǎn)生的影響?！罢?沖”模型包括兩類:一類是“剛性沖擊”模型，另一類是“彈性沖擊”模型。前者的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量小，易于求解，但忽略了位移或相位關(guān)系，僅適合純剛性問題;后者引入了由齒面、齒型等制造誤差引起的靜態(tài)傳遞誤差以及變剛性系數(shù)，假設(shè)沖擊物體是彈性的，因此碰撞過程有一持續(xù)時(shí)間。由于彈性和阻尼的共同作用以及其他隨機(jī)因素影響，持續(xù)時(shí)間的長度，從而齒隙模型必然帶有一定的隨機(jī)性。雖然模型中涉及太多難以確定的參數(shù)和函數(shù)，在實(shí)際問題中無法使用，但模型中蘊(yùn)涵的隨機(jī)因素思想具有重要的借鑒作用。

鑒于齒隙模型的隨機(jī)性，在空間機(jī)械臂多階段任務(wù)系統(tǒng)中，路徑規(guī)劃和任務(wù)優(yōu)化都需要對機(jī)械臂末端執(zhí)行器落在捕獲容差范圍之內(nèi)的概率進(jìn)行估計(jì)。借鑒“彈性沖擊”模型中隨機(jī)因素的思想，本文將建立齒隙的隨機(jī)模型，將角位移誤差和末端執(zhí)行器的位置表示為隨機(jī)變量，并根據(jù)角位移誤差隨機(jī)變量的分布函數(shù)求出末端執(zhí)行器位置的分布函數(shù)，由此估計(jì)末端執(zhí)行器落在捕獲容差范圍之內(nèi)的概率，從而為多階段任務(wù)決策系統(tǒng)路徑規(guī)劃和任務(wù)優(yōu)化提供依據(jù)。

1 齒隙模型

死區(qū)模型可描述為

式中:M 為驅(qū)動、從動部分的傳遞轉(zhuǎn)矩;k 為剛性系數(shù);C 為阻尼系數(shù);2α 為齒隙;Δθ(t)= θ(t)-為驅(qū)動、從動部分的傳動比，θ(t)為主動軸轉(zhuǎn)角，θp(t)為從動軸轉(zhuǎn)角。文獻(xiàn)［16］提出的“彈性沖擊”模型在上述死區(qū)模型中引入靜態(tài)傳遞誤差和變剛性系數(shù)其中Ωh為內(nèi)部激勵基頻，φei和φki為初相角，令

由于齒隙對機(jī)械臂末端定位精度的影響僅與運(yùn)動結(jié)束時(shí)驅(qū)動和從動輪相互交錯的齒有關(guān)，而機(jī)械臂路徑規(guī)劃中總是對運(yùn)動即將結(jié)束時(shí)的關(guān)節(jié)角速度最小化，另一方面，齒輪材料通常具有很大的剛性系數(shù)，因此上述模型中齒輪的形變Δθ(t)與齒隙相比可以忽略不計(jì)，于是有

若以從動齒輪為參照物，(3)式意味著主動齒輪的一個齒在從動齒輪兩個鄰齒之間的位移為e(t).由于粘滯力、摩擦力以及齒面、齒型等制造誤差的存在，位移的終止時(shí)間具有一定的隨意性，從而位移e(t)本身具有一定的隨意性，因此不妨認(rèn)為e(t)是一個隨機(jī)變量。

Kenneth 在闡述將信號噪聲作為隨機(jī)變量的理由時(shí)說［17］:“隨機(jī)變量是用于描述未知污染信號的一個術(shù)語。‘隨機(jī)’一詞實(shí)際上是我們對過程缺乏了解情況下的一種委婉的說法，它忽略了物理性質(zhì)不為人們所熟知，或詳細(xì)分析起來太復(fù)雜的過程所涉及的結(jié)果。因此如果我們僅有信號的一般知識，而對其細(xì)節(jié)缺乏了解，就將其描述為隨機(jī)變量。”這也是將e(t)作為隨機(jī)變量的理由。

此外，利用Monte Carlo 方法通過仿真也可以驗(yàn)證e(t)是隨機(jī)變量，且可以估計(jì)出e(t)的分布。仿真實(shí)驗(yàn)裝置如圖1所示，木板上水平放置一個量角器，轉(zhuǎn)軸穿過量角器的頂點(diǎn)并與量角器的面垂直。一根模擬機(jī)械臂的鋼絲與軸套連接，軸套內(nèi)壁涂上黃油套在轉(zhuǎn)軸上，以減小轉(zhuǎn)動摩擦阻力。鋼絲的另一端連接一個用來模擬載荷的實(shí)心金屬重物。在木板上80°角和100°角的附近分別釘一顆釘子，用來模擬主動齒輪的兩個齒對從動齒輪的限位和反彈作用。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置Fig.1 Experimental apparatus

為驗(yàn)證鋼絲角位移(與末端位移相對應(yīng))的隨機(jī)性，需要在每次實(shí)驗(yàn)中在水平方向上給金屬重物施加相同的力(模擬空間的慣性力)，為此，將一個高度固定的鐵球從傾斜的滾動槽中滾下，撞擊金屬重物，使之帶動鋼絲在兩個釘子之間來回振蕩，經(jīng)一段時(shí)間后鋼絲停止，從量角器上觀察其角度。

進(jìn)行20 次實(shí)驗(yàn)，平移到0° ～20°后的角度為19°、4.5°、12°、9.5°、18°、15°、9°、0.5°、16°、9°、12.5°、16°、18.5°、15°、3.5°、8°、18.5°、18.5°、8°、18°.

利用Monte Carlo 方法可以求出e(t)的分布(如圖2所示)。圖2中，直線表示均勻分布的分布函數(shù)，折線表示利用Monte Carlo 方法求出的e(t)的分布函數(shù)。從中可以看出:e(t)不僅是一個隨機(jī)變量，還是一個分布函數(shù)與均勻分布十分接近的隨機(jī)變量。

以ξ 表示靜態(tài)傳遞誤差e(t)，則ξ 是在［-α，α］內(nèi)取值的隨機(jī)變量，且

當(dāng)ξ 為區(qū)間［-α，α］內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量時(shí)，其分布密度為

圖2 e(t)和均勻分布的分布函數(shù)Fig.2 Distribution functions of e(t)and uniform distribution

2 定位誤差模型

通用6 軸機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)與坐標(biāo)系如圖3所示。第i 個關(guān)節(jié)的角位移為θi，第i 個坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)為Oi，i=1，2，…，6，定義與前一坐標(biāo)系對應(yīng)坐標(biāo)軸平行的位置為零角位移位置，由Xi向Yi或Zi，由Yi向Zi的旋轉(zhuǎn)為角位移的正方向，相鄰坐標(biāo)原點(diǎn)的連線的長度分別為a、b、c、d'、b 和d″.

由于本文研究的是機(jī)械臂末端的定位精度，而6 關(guān)節(jié)機(jī)械臂的后3 個關(guān)節(jié)是用于姿態(tài)調(diào)整的，因此本文中假定后3 個關(guān)節(jié)的角位移始終為0.考慮到若記d=d' +d″，則圖3中的6 關(guān)節(jié)機(jī)械臂可簡化為如圖4所示的3 關(guān)節(jié)機(jī)械臂。當(dāng)X3軸與X0軸平行且方向一致時(shí)，機(jī)械臂末端E 在基座坐標(biāo)系O0X0Y0Z0中的坐標(biāo)為

式中:ξi為關(guān)節(jié)i(i=1，2，3)齒隙所致傳遞誤差。繞Z0軸旋轉(zhuǎn)θ1+ξ1后E 在基座坐標(biāo)系O0X0Y0Z0中的坐標(biāo)為

圖3 通用6 軸機(jī)械臂Fig.3 General 6-axis manipulator

圖4 3 關(guān)節(jié)機(jī)械臂Fig.4 3-joint manipulator

式中:θ23=θ2+θ3.而在無齒隙誤差的情況下，E 在基座坐標(biāo)系O0X0Y0Z0中的坐標(biāo)為

定位誤差包括動態(tài)和靜態(tài)兩種，考慮到機(jī)械臂空間應(yīng)用的需要，本文僅研究靜態(tài)定位誤差，并簡稱為定位誤差。因此E 的定位誤差向量的平方?？梢员硎緸?/p>

而

將Taylor 公式

代入并去掉二次以上的高階項(xiàng)得

因此齒隙導(dǎo)致的定位平方誤差為

3 定位誤差的極值

(16)式表明，當(dāng)齒隙導(dǎo)致的關(guān)節(jié)誤差一定時(shí)，定位平方誤差與關(guān)節(jié)控制角度θ2和θ3有關(guān)。以φ表示定位誤差，則

分別對θ2和θ3求偏導(dǎo)數(shù)并令其為0，得

即

和

因此，當(dāng)齒隙導(dǎo)致的關(guān)節(jié)誤差一定時(shí)，定位點(diǎn)距關(guān)節(jié)2 越近，且俯仰角越接近齒隙導(dǎo)致的定位誤差越小，反之，齒隙導(dǎo)致的定位誤差越大。

4 定位精度的概率分析

以定位誤差的上限作為定位精度，記為φ，則符合定位精度要求的關(guān)節(jié)角誤差向量(ξ1，ξ2，ξ3)所滿足方程為

(ξ1，ξ2，ξ3)∈［-α，α］3，因此，機(jī)械臂末端定位精度達(dá)到φ 的概率為

式中:Ω 表示(21)式確定的區(qū)域。當(dāng)p(x1)、p(x2)、p(x3)為均勻分布密度時(shí)，

(22)式右端的計(jì)算依賴4 種情形:

4.1 情形1

于是

4.2 情形2

此時(shí)(21)式轉(zhuǎn)化為

做變換

后不等式(23)式轉(zhuǎn)化為

而區(qū)域［-α，α］3轉(zhuǎn)化為［-α，α］×Ω1，其中Ω1是由平面Y= ±α 和Z =(d ±c)Y ±dα 所界的四邊形區(qū)域。而

因此

式中:Ω2為(24)式確定的橢圓柱體。

4.3 情形3

此時(shí)(21)式轉(zhuǎn)化為

做變換

后不等式(25)式轉(zhuǎn)化為

而區(qū)域［-α，α］3轉(zhuǎn)化為［-α，α］×Ω2，其中Ω2是由平面Y= ±α 和Z=(ccos θ3+d)Y±αd 所界的平行四邊形區(qū)域，而因此

式中:Ω 是(26)式確定的橢圓柱體。

4.4 情形4

(22)式右端做變換

后(21)式轉(zhuǎn)化為

或

而區(qū)域［-α，α］3轉(zhuǎn)化為［-α，α］×Ω2，其中Ω2是由平面Y= ±α 和Z=(ccos θ3+d)Y±αd 所界的平行四邊形區(qū)域，而因此

式中:Ω 為(27)式確定的橢球區(qū)域。

當(dāng)

包含關(guān)系式(28)式成立的條件是:

平面Z = (ccos θ3+ d)Y ± αd 與橢球(ccos θ2+dcos θ23)2X2+ (csin θ3)2Y2+ Z2≤φ2或 直 線Z=(ccos θ3+d)Y±αd 與橢圓(csin θ3)2Y2+Z2≤φ2不相割;方程組

無解。

(31)式的解滿足

即

(31)式無解意味著:

因此包含關(guān)系式(28)式成立的條件是(29)式、(30)式和(32)式同時(shí)成立。

5 仿真

可見，利用本文中給出的公式可以很方便地計(jì)算出機(jī)械臂末端定位精度達(dá)到φ 的概率，從而對機(jī)械臂能夠最可靠地完成任務(wù)路徑的選擇提供依據(jù)。

6 結(jié)論

對于上述機(jī)械臂，定位誤差模型表明，機(jī)械臂末端的定位誤差不僅依賴于機(jī)械臂各關(guān)節(jié)的誤差，也與定位點(diǎn)或各關(guān)節(jié)當(dāng)前的角度有關(guān)。當(dāng)π rad 時(shí)定位誤差達(dá)到極小值;當(dāng)θ2=0 rad，θ3=0 rad 時(shí)定位誤差達(dá)到極大值。同樣的關(guān)節(jié)誤差，由于定位點(diǎn)不同，定位誤差存在很大差異。

計(jì)算機(jī)械臂末端達(dá)到定位精度φ 的概率比較復(fù)雜，為保證計(jì)算的實(shí)時(shí)性，可以將二維關(guān)節(jié)空間［-α，α］2網(wǎng)格化，對網(wǎng)格頂點(diǎn)處的點(diǎn)逐一計(jì)算上述概率并制作概率分布表，使用時(shí)通過查表獲取上述概率，這是需要進(jìn)一步研究的問題。

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