嚴浙平,趙玉飛,陳濤,周佳加
(哈爾濱工程大學 自動化學院,黑龍江 哈爾濱150001)
無人水下航行器(UUV)具有工作時間長、環(huán)境復(fù)雜、信息源少、隱蔽性高等特點[1]。傳感器精度、控制誤差和非精確環(huán)境模型會對航行器的導(dǎo)航和運動帶來諸多不確定性因素。現(xiàn)有的傳統(tǒng)規(guī)劃方法,常忽視不斷累積的導(dǎo)航誤差,使得規(guī)劃的路徑不安全或不可行。因此在規(guī)劃層面,考慮導(dǎo)航誤差變化對路徑的影響,對于規(guī)劃路徑的安全性和可行性有重要意義,基于導(dǎo)航不確定性的規(guī)劃(PNU)獲得越來越多的重視。
PNU 問題在機器人領(lǐng)域研究較多,部分可觀馬尓可夫決策過程(POMDP)是不確定性路徑規(guī)劃的常用方法[2],將環(huán)境狀態(tài)的概率分布視為信度狀態(tài),尋找最大獎勵代價下的最優(yōu)行為策略。文獻[3]綜合考慮運動、感知和環(huán)境不確定性,提出基于采樣的POMDP 全局規(guī)劃方法,但POMDP 需要較大的計算量,且在高維度的環(huán)境中容易出現(xiàn)維數(shù)災(zāi)難問題?;诓蓸臃ǖ母怕事窂綀D法(PRM)[4]和快速搜索隨機樹(RRT)法[5]能有效解決高維決策問題,但對連續(xù)狀態(tài)空間不適用。滾動時域控制(RHC)可在線對每一小段路徑進行有限時域約束優(yōu)化,能有效處理不確定信息[6]。其他方法還有動態(tài)A*[7]、貝葉斯[8]等。上述方法,由于處理速度和存儲空間有限,一般只應(yīng)用于小范圍空間。
為滿足大范圍路徑規(guī)劃,文獻[9 -10]提出在誤差擴展空間上進行全局路徑搜索,但建立的誤差傳遞模型一般較簡單,如文獻[9]中采用單變量高斯誤差模型,誤差按路徑長度線性增長,在處理速度上有較大優(yōu)勢,卻不符合實際導(dǎo)航系統(tǒng)的特性。
針對UUV 的導(dǎo)航特點和長航程任務(wù)需要,為減少導(dǎo)航誤差對路徑選擇造成的不利影響,基于拓展規(guī)劃空間的基本思想,提出一種基于導(dǎo)航誤差空間的全局路徑規(guī)劃方法,將非精確導(dǎo)航信息轉(zhuǎn)化為環(huán)境模型中的未知環(huán)境信息,融合到路徑規(guī)劃之中,綜合考慮路徑長度、導(dǎo)航不確定性等約束條件,實現(xiàn)安全性和適航性最優(yōu)。
針對水下長航程隱蔽航行任務(wù),由常用的捷聯(lián)慣導(dǎo)/多普勒測速儀(SINS/DVL)艦位推算為主要導(dǎo)航信息,以地形匹配輔助導(dǎo)航,在規(guī)劃中需考慮如下約束:
1)航程約束。由于存在能量或航行時間限制,航路長度會有限制,最大航程為各航路長度和,取決于UUV 的物理限制。
2)導(dǎo)航誤差的影響。隨著航行時間增加,導(dǎo)航誤差的累積使UUV 與障礙之間的安全區(qū)域逐漸減少,使預(yù)先選擇的自由路徑不可行或執(zhí)行困難。導(dǎo)航誤差越大,UUV 與障礙物發(fā)生碰撞的概率越大,帶來的安全問題不容忽視。
3)隱蔽性要求。全程水下作業(yè),不能出水進行GPS 校正,采用地形匹配輔助導(dǎo)航。
4)終點誤差要求。為方便安全回航與出水回收,終點導(dǎo)航誤差應(yīng)小于某容許范圍。
因此,PNU 不再以精確導(dǎo)航信息為假設(shè)前提,在環(huán)境模型中充分考慮導(dǎo)航誤差的影響,規(guī)劃中,盡可能減少導(dǎo)航誤差對路徑選擇造成的不利影響。
首先對UUV 艦位推算系統(tǒng)誤差源進行分析。導(dǎo)航誤差是指航行器推算位置與實際位置之間的偏差,主要來自DVL 測速誤差和航向角誤差,可視為高斯白噪聲。
在固定坐標系OXeYe下,UUV 的水平面位姿狀態(tài)表示為q =(X,θ)=(x,y,θ)∈R3,包括UUV 的位置X 和航向角θ.控制輸入U=(v,ω)∈R2,分別代表UUV 的前向速度和航向角速度,水平面運動模型如圖1所示,運動學方程可表示為
圖1 UUV 水平面運動模型Fig.1 UUV horizontal plane motion model
由于傳感器存在測量噪聲,根據(jù)傳感器信息輸入只能獲得的UUV 下一拍位姿qk+1的預(yù)測值。在qk+1臨近區(qū)域,對(1)式采用泰勒級數(shù)展開,取一階展開式得近似線性方程[12]
式中:σ2v是前向速度誤差的方差;σ2w是航向誤差的方差。
而Σqk決定了位姿狀態(tài)矢量落在概率橢球體內(nèi)的可能性。根據(jù)等概率密度曲面方程(qk-)=m2,得位姿誤差概率橢球,其中m 取值1,2,3,…,表示標準方差σ 的倍數(shù)。文中,取m=3,即狀態(tài)誤差分布區(qū)域Γk可視為基于Σqk的3σ 誤差概率橢球體。
Σqk代表整個位姿協(xié)方差矩陣,但是計算導(dǎo)航誤差只需要OXeYe位置協(xié)方差矩陣即可。為了得到相應(yīng)的位置協(xié)方差矩陣,Σqk被拆分為相應(yīng)的子矩陣,取對應(yīng)的位置協(xié)方差子矩陣,簡寫為Σk.位置誤差分布區(qū)域取橢圓球體在OXeYe平面上的投影,等概率線構(gòu)成位置誤差橢圓的輪廓線。
描述信息的不確定性常采用非定常模型和概率模型。非定常模型是一種比較保守的處理方法,它將導(dǎo)航誤差視為一個包含不確定性的幾何區(qū)域,但區(qū)域的屬性參數(shù)復(fù)雜,且出于安全考慮,路徑搜尋只考慮最壞情況,相應(yīng)會增加路徑長度。對于概率模型,所有當前位置狀態(tài)以條件概率出現(xiàn)在狀態(tài)空間上,容易獲得狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系,將導(dǎo)航誤差作為一種概率事件,處理起來也相對簡單。
傳統(tǒng)規(guī)劃空間常采用由自由空間與障礙空間構(gòu)成的二元結(jié)構(gòu)環(huán)境。作為一種概率事件,導(dǎo)航誤差不能簡單地歸入某一類空間,二元空間不適用于描述導(dǎo)航誤差這一約束條件,因此采用導(dǎo)航誤差空間(NES),既反映UUV 的位置,也反映導(dǎo)航信息的不確定性。由上述分析構(gòu)建NES:
此空間中的每個狀態(tài)包括兩部分信息:X 是UUV 在OXeYe平面上的導(dǎo)航位置;ε 是表征位置誤差的參數(shù)變量,在下面會給出具體形式。Ω 空間實際上也是二維平面加導(dǎo)航誤差的擴維空間。給定初始條件,在激勵輸入u∈U 下,導(dǎo)航誤差ε 隨著UUV移動而改變,當存在可量化的函數(shù)Xk+1=fx(Xk,εk,uk)和εk+1=fε(Xk,εk,uk)來描述導(dǎo)航誤差與導(dǎo)航位置的變化關(guān)系時,則從位置Xk到Xk+1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移代價是可度量的[9]。
設(shè)UUV 的規(guī)劃速度為常速,時刻k 的導(dǎo)航位置是Xk=(xk,yk),隨機干擾因素均服從高斯分布
式中:μk=(,)是UUV 期望導(dǎo)航位置。導(dǎo)航位置分布概率密度函數(shù)取
為了方便計算,位置協(xié)方差矩陣可表示為
則k 時的導(dǎo)航誤差取εk=(σxk,σyk),NES 中的導(dǎo)航不確定狀態(tài)可寫成sk=(μk,εk).為了獲得導(dǎo)航誤差與導(dǎo)航位置的變化關(guān)系,需計算任意時刻的Σk,Σk由Σqk得到,而Σqk隨著預(yù)測時間按(3)式進行遞推,初始狀態(tài)協(xié)方差矩陣為
式中:σx0、σy0、σθ0取極小值,則初始誤差為ε0=(σx0,σy0).
根據(jù)上述分析設(shè)計仿真案例,給定初始協(xié)方差矩陣,誤差遞推按(3)式進行,取v=3 m/s,Δt=1 s,σv=0.06 m/s,σw=0.1°/s.圖2是某圓形閉合航路導(dǎo)航誤差隨路徑變化圖,散點是采樣點,黑實線表示3σ 置信橢圓??梢詮膱D中看出,導(dǎo)航誤差不斷增大,符合UUV 實際導(dǎo)航特點。
圖2 導(dǎo)航誤差的發(fā)散Fig.2 Increase in navigation error
在水下環(huán)境中,單一采用SINS/DVL 艦位推算,其精度和可靠性很難滿足要求,需定期上浮到水面獲取GPS 信號進行校正,這不利于隱蔽性作業(yè)要求。近年來,地形匹配等導(dǎo)航技術(shù)獲得越來越多的關(guān)注,地形匹配導(dǎo)航根據(jù)實測地形序列與背景地形的匹配來實施定位,每一次定位都是孤立的,不存在誤差積累,對艦位推算定期修正,可有效消除累積誤差[13-14]。多個備選匹配區(qū)的地形數(shù)據(jù)作為背景圖預(yù)先存入UUV 載體中,當UUV 航行至匹配區(qū),根據(jù)實測圖與背景圖匹配獲得實時位置。
為了計算方便,此處將匹配區(qū)C 簡化成半徑Rd的圓形區(qū)域(見圖3),并假設(shè)匹配精度較高,在匹配區(qū)內(nèi)可將導(dǎo)航誤差修正為初始誤差,如
如圖3所示,UUV 進入匹配區(qū)C 以前,導(dǎo)航是增大發(fā)散的,進入匹配區(qū)C 后,導(dǎo)航誤差保持為ε0,離開匹配區(qū)C 后,導(dǎo)航誤差重新發(fā)散。
圖3 地形導(dǎo)航校正SINS/DVL 導(dǎo)航誤差Fig.3 Error of SINS/DVL corrected by terrain navigation
在NES 上,從狀態(tài)sk到狀態(tài)sk+1的轉(zhuǎn)移代價不簡單是μk與μk+1之間的歐式距離,而是取sk內(nèi)任意可能導(dǎo)航位置與sk+1內(nèi)任意導(dǎo)航位置之間的歐式距離的期望值,如下式:
式中:Xk,i、Xk+1,i分別是導(dǎo)航不確定狀態(tài)內(nèi)的隨機位置采樣點;D(Xk,i,Xk+1,i)表示兩采樣點的歐式距離。狀態(tài)轉(zhuǎn)移代價與路徑長度不同,其大小與導(dǎo)航不確定狀態(tài)的概率分布緊密相關(guān)。為了便于計算,采用Monte Carlo 模擬(MCS)法計算狀態(tài)轉(zhuǎn)移代價,在狀態(tài)sk、sk+1的導(dǎo)航位置分布內(nèi)采樣N 個樣本點,如圖4所示,采樣集合Θ ={Xk,i,Xk+1,i},狀態(tài)轉(zhuǎn)移代價為
評估導(dǎo)航精度的指標很多,其中圓概率偏差(CEP)是評定運載體導(dǎo)航精度的主要指標。如果二維水平定位上誤差在半徑為r 的概率為50%,這個半徑r 稱為CEP,按工程經(jīng)驗公式[15]得
圖4 從sk 到sk+1的狀態(tài)轉(zhuǎn)移Fig.4 State transition from sk to sk+1
通過計算CEP,對導(dǎo)航狀態(tài)進行評估。
一般將障礙物和危險區(qū)域視為碰撞區(qū),UUV 禁止進入碰撞區(qū)。在PNU 中,導(dǎo)航誤差使得UUV 與障礙物的位置關(guān)系變得不確定,是否會發(fā)生碰撞與當前導(dǎo)航誤差分布緊密有關(guān)。UUV 期望位置與障礙物位置一定的前提下,隨著導(dǎo)航誤差的增大,UUV與障礙之間的安全區(qū)域勢必減少,進入碰撞區(qū)的概率會增大。此處引入碰撞概率來衡量UUV 不確定的導(dǎo)航位置落入碰撞區(qū)的概率,碰撞概率由導(dǎo)航位置概率密度函數(shù)在碰撞區(qū)進行積分獲得:
導(dǎo)航誤差概率密度函數(shù)由(6)式獲得,B 定義為碰撞區(qū)外形輪廓的外包絡(luò),為了簡化計算,將碰撞區(qū)設(shè)為圓形或矩形規(guī)則區(qū)域。
導(dǎo)航誤差對路徑選擇有很大影響,增大的導(dǎo)航誤差除了在運動過程中會帶來碰撞代價,終點導(dǎo)航誤差的大小也是考慮的重要條件。
PNU 規(guī)劃問題歸結(jié)為滿足最大容許導(dǎo)航誤差的前提下,在NES 上,尋找從初始狀態(tài)s0∶=(X0,ε0)到目標狀態(tài)sg∶= (Xg,εg)的路徑代價最小問題。從起點到目標的路徑由連續(xù)的路徑點組成,在NES上就構(gòu)成一個連續(xù)的狀態(tài)序列,{s0,s1,…,sk,…,sM},其中sM=sg.規(guī)劃目標J 需使得狀態(tài)序列的狀態(tài)轉(zhuǎn)移代價最小:
式中:約束條件(12)式規(guī)定了目標狀態(tài)的誤差上限,CEPmax為終點最大允許圓概率偏差;約束條件(13)式規(guī)定了每個狀態(tài)點的安全條件,Ps是安全閾值;約束條件(14)式規(guī)定了路徑長度上限,Dmax是最大航程限制,取決于攜帶能量上限。
路徑搜索可采用A*、RRT、波前法等,這里基于已建立的NES,采用啟發(fā)式A*算法搜尋最優(yōu)路徑。二維空間經(jīng)過柵格離散化后的柵格加上導(dǎo)航誤差擴展成狀態(tài)格sk,sk視為A*搜索路圖中的節(jié)點。
針對A*算法特點,建立如下數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu):OpenList記錄已計算但未擴展的節(jié)點;ClosedList 記錄已擴展的節(jié)點。每個節(jié)點結(jié)構(gòu)包括如下信息:導(dǎo)航不確定狀態(tài)si=(xi,yi,εi);節(jié)點歷經(jīng)代價g(i),啟發(fā)代價h*(i),以及航行總代價f(i)=g(i)+h*(i);父節(jié)點。
路徑搜索的關(guān)鍵是設(shè)計一個搜索回報函數(shù),對每條可行路徑的回報代價進行評估,當前狀態(tài)sk的總代價為Lg(s0,sk)是初始狀態(tài)到當前狀態(tài)的最優(yōu)代價,由(9)式計算。L*h (sk,sg)是當前狀態(tài)到目標狀態(tài)的啟發(fā)代價,此處取兩狀態(tài)的期望位置之間的歐式距離,即L*h(sk,sg)=D(μk,μg).
在路徑搜索過程中,由于節(jié)點會被重復(fù)搜索,很可能會導(dǎo)致在同一柵格位置出現(xiàn)兩個以上不同導(dǎo)航誤差的狀態(tài),即可能存在不同的狀態(tài)使得si=(Xi,εi),sj=(Xj,εj),Xi=Xj,εj≠εi,重疊狀態(tài)會對狀態(tài)擴展帶來混亂,不利于搜索。在此引入主導(dǎo)狀態(tài)法[16]來解決此問題,根據(jù)主導(dǎo)狀態(tài)理論,相同空間位置的多個重疊狀態(tài)中,將某種代價最優(yōu)的狀態(tài)視為主導(dǎo)狀態(tài),其他狀態(tài)視為非主導(dǎo)狀態(tài),主導(dǎo)狀態(tài)替代或覆蓋非主導(dǎo)狀態(tài)。此處將導(dǎo)航精度最高即CEP最小的狀態(tài)視為主導(dǎo)狀態(tài)。如果存在重疊狀態(tài)si和sj,滿足Xi=Xj,CEPj>CEPi,則非主導(dǎo)狀態(tài)sj在搜索圖中會被刪除,只對主導(dǎo)狀態(tài)si展開后續(xù)搜索,通過獲取主導(dǎo)狀態(tài)可精簡搜索空間,提高搜索效率。
當前節(jié)點sk向其相鄰的8 節(jié)點擴展,sk的相鄰節(jié)點si可被擴展到OpenList 表的準則是:si未被擴展,且滿足約束(12)式~(14)式。存在重疊狀態(tài)的情況下,si必須是主導(dǎo)狀態(tài)。
有地形導(dǎo)航的情況下,匹配區(qū)內(nèi)的節(jié)點一旦被擴展,由(7)式,其先前累積的導(dǎo)航誤差會被校正為初始值,從而使經(jīng)過匹配區(qū)的路徑代價減小,匹配區(qū)對搜索路徑起到某種程度的啟發(fā)作用。同樣,在最大誤差的約束下,最優(yōu)路徑也會選擇經(jīng)過匹配區(qū)修正導(dǎo)航誤差,而考慮到航程限制,毋需經(jīng)過所有備選匹配區(qū)。
當在某搜索節(jié)點的碰撞概率大于安全閾值Ps,可認為UUV 與障礙物發(fā)生碰撞的幾率很大,應(yīng)當停止向碰撞區(qū)移動,Lf(sk)會增加一個很大的懲罰代價來停止對碰撞區(qū)的搜索。
為滿足終點誤差要求,在搜尋過程中,如果某節(jié)點的CEP 大于CEPmax,則停止對該節(jié)點的搜索。算法終止的條件是:成功搜索到目標或OpenList 為空。
具體規(guī)劃步驟如下:
1)初始化,OpenList 置空,s0放入OpenList.
2)如果OpenList 為空,搜索失敗,退出,否則繼續(xù)。
3)從OpenList 中選擇代價最小的節(jié)點作為當前節(jié)點,放入ClosedList 中。如果當前節(jié)點是目標點sg,搜索成功,退出。
4)對相鄰8 子節(jié)點進行擴展,擴展的子節(jié)點按(3)式或(7)式計算導(dǎo)航誤差,按(10)式計算CEP,按(11)式計算碰撞概率。
5)如果子節(jié)點的CEP 大于CEPmax,或其碰撞概率大于Ps,或?qū)嶋H路徑長度大于Dmax,則刪除此子節(jié)點,否則視為待擴展節(jié)點。
6)按(15)式計算待擴展子節(jié)點的總代價。將可擴展子節(jié)點插入到OpenList 中。如果子節(jié)點既不在OpenList 中又不在ClosedList 中,則將子節(jié)點插入到OpenList 中;如果子節(jié)點已在OpenList 中,且子節(jié)點的當前代價值小于該子節(jié)點在OpenList 中的原代價,則將其父節(jié)點指針指向當前節(jié)點;如果子節(jié)點已在ClosedList 中,則跳過它,擴展其他子節(jié)點。
7)返回步驟2,繼續(xù)循環(huán)。
為了驗證算法的可行性,由數(shù)字海洋環(huán)境模擬真實復(fù)雜海洋環(huán)境,在數(shù)字海洋地圖上選取80 km×80 km 某海區(qū),分布有多個海島障礙,海島之間存在狹水道供UUV 通過。柵格密度200×200,Monte Carlo 采樣次數(shù)為100,起點和終點分別選取(70 km,10 km)和(10 km,75 km),規(guī)劃速度v =3 m/s,測量誤差方差取σv=0.06 m/s,σω=0.02°/s,最大航程Dmax=150 km.
案例1:未考慮導(dǎo)航誤差約束的路徑規(guī)劃。未考慮導(dǎo)航誤差約束下,按傳統(tǒng)A*規(guī)劃方法設(shè)計,采用NES 作為規(guī)劃空間。需要說明的是,采用NES 是為了方便計算規(guī)劃后的路徑碰撞概率,在規(guī)劃中NES 只起著普通柵格空間的作用,未考慮碰撞概率約束和終點誤差約束,只考慮最大航程約束,以路徑長度最短為優(yōu)化目標。圖5是仿真結(jié)果,深色區(qū)域是海島,黑色圓表示導(dǎo)航誤差3σ 置信區(qū)間,最短路徑的長度為92.62 km,運行時間1.7 s,由于未考慮導(dǎo)航誤差的影響,部分路徑與海島相距較近,導(dǎo)航誤差使得后半段靠近海島的路徑變得不安全,整條路徑的最大碰撞概率為0.37.
圖5 未考慮導(dǎo)航誤差的路徑規(guī)劃Fig.5 Path planning without considering navigation error
案例2:無地形匹配導(dǎo)航下的PNU 仿真??紤]導(dǎo)航誤差約束的改進A*方法,導(dǎo)航方式是艦位推算,采用NES 作為規(guī)劃空間,規(guī)劃約束取CEPmax=3 km,Ps=0.1.獲得的最優(yōu)路徑如圖6(a)所示,總代價342.94,終點CEP 為2.62 km,路徑長度96.77 km,運行時間4.8 s.最優(yōu)路徑的導(dǎo)航誤差變化曲線如圖6(b)所示,導(dǎo)航誤差整體趨勢增大,使圖6(a)中的路徑以一定的安全距離適當遠離,此外,通過海島之間的狹水道會遭遇碰撞風險,故繞行到開闊海域,盡管路徑長度比圖5中路徑增加了4.15 km,但碰撞概率減到0.1 以下,提高了安全性。
圖6 無地形匹配導(dǎo)航的PNUFig.6 PNU without terrain-matching navigation
案例3:地形匹配導(dǎo)航下的PNU 仿真。導(dǎo)航方式是地形匹配輔助艦位推算。規(guī)劃約束如案例2,選取2 個備選匹配區(qū),位置分別在(30 km,20 km),(25 km,45 km),作用范圍2 km.圖7(a)是規(guī)劃的最優(yōu)路徑,總代價151.01,終點CEP 為0.55 km,路徑實際長度95.58 km,路徑經(jīng)過(25 km,45 km)處的匹配區(qū)進行導(dǎo)航校正,誤差校正為初始誤差,最優(yōu)路徑的導(dǎo)航誤差變化曲線如圖7(b)所示。誤差減小后的路徑會接近海島,與圖6(a)的路徑相比,終點導(dǎo)航誤差也減小了。案例證明了NES 也適用于有導(dǎo)航校準的情況,在工程應(yīng)用上有一定的參考意義。
基于導(dǎo)航誤差空間的路徑規(guī)劃是一種離線全局規(guī)劃方法??紤]隨時間變化的導(dǎo)航誤差,建立了綜合位置和誤差信息的規(guī)劃空間。根據(jù)實際導(dǎo)航系統(tǒng)特點,建立導(dǎo)航誤差模型;運用CEP 標準評估導(dǎo)航精度,采用主導(dǎo)狀態(tài)解決狀態(tài)重疊問題;轉(zhuǎn)移代價通過Monte Carlo 采樣計算,根據(jù)誤差分布計算碰撞概率;目標代價函數(shù)同時考慮了路徑長度和航行安全性雙重因素,由改進A*算法搜索最優(yōu)路徑。仿真結(jié)果表明:提出的規(guī)劃算法簡捷、快速,相比于未考慮導(dǎo)航誤差的傳統(tǒng)規(guī)劃方法,盡管會增加路徑長度,但可有效降低航行中的碰撞風險;該算法也適用于地形匹配輔助艦位推算等情況,在航程約束下,最優(yōu)路徑經(jīng)過匹配區(qū),有效減小了導(dǎo)航誤差;增加了規(guī)劃的成功率,提高了航行安全性和可靠性,滿足水下長航程任務(wù)需要。
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