三元乙丙材料粘超彈本構(gòu)模型研究

楊曉紅，許進(jìn)升，孫俊麗，胡少青，周長(zhǎng)省

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，江蘇 南京210094;(2.晉西工業(yè)集團(tuán)有限責(zé)任公司技術(shù)中心，山西 太原030027)

0 引言

三元乙丙(EPDM)是乙烯、丙烯以及非共軛二烯烴的三元共聚物，因其具有較好的耐老化性、耐腐蝕性以及絕熱性能，在航空航天工程領(lǐng)域得到了較廣泛的應(yīng)用，尤其在固體火箭火箭發(fā)動(dòng)機(jī)中，該材料通常作為保護(hù)發(fā)動(dòng)機(jī)殼體力學(xué)性能不受燃燒室內(nèi)高溫影響的絕熱包覆層，安置于殼體與藥柱之間。隨著近年來(lái)固體火箭向著遠(yuǎn)程化、高裝填密度、高能裝藥等方向的發(fā)展，固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)裝藥結(jié)構(gòu)完整性問(wèn)題得到越來(lái)越多的重視［1］。因此研究EPDM 包覆層材料的力學(xué)行為，建立其準(zhǔn)確的力學(xué)本構(gòu)模型，將會(huì)為解決使用EPDM 作為包覆層的固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的裝藥結(jié)構(gòu)完整性問(wèn)題提供理論參考。

EPDM 在有限變形條件下的力學(xué)行為表現(xiàn)出典型的超彈特征，具有明顯的率相關(guān)性，與其載荷歷史具有強(qiáng)烈的相關(guān)性。常見(jiàn)的超彈本構(gòu)模型有Neo-Hookean 模型、Mooney-Rivlin 模型、Yeoh 模型、Ogden模型等［2-3］，在變形較大的橡膠、高聚物等材料中得到較廣泛的應(yīng)用［4-5］。Leu 等［6］在20世紀(jì)90年代首先提出粘超彈本構(gòu)模型的概念，模型由率無(wú)關(guān)的超彈部分與率相關(guān)的粘彈部分組成。Yang 等［7］在研究高應(yīng)變率條件下某橡膠材料的力學(xué)性能時(shí)，發(fā)現(xiàn)其力學(xué)表現(xiàn)出超彈力學(xué)特征，在高應(yīng)變率條件下又體現(xiàn)出粘彈性力學(xué)特征;因此將超彈模型與粘彈模型相互并聯(lián)構(gòu)成了一種能夠準(zhǔn)確描述該橡膠材料高應(yīng)變率條件下力學(xué)行為的粘超彈本構(gòu)模型。此外，粘超彈本構(gòu)模型在聚氨酯泡沫［8］、生物軟組織［9］、高聚物［10］、推進(jìn)劑［11］等材料上均得到了廣泛的應(yīng)用。Pouriayevali 等［12］通過(guò)準(zhǔn)靜態(tài)的拉伸實(shí)驗(yàn)擬合了超彈模型參數(shù)，通過(guò)不同速率的單軸拉伸實(shí)驗(yàn)擬合了粘彈模型參數(shù)。

目前國(guó)內(nèi)外對(duì)EPDM 力學(xué)本構(gòu)模型的介紹較少，因此有必要對(duì)該材料的力學(xué)特性進(jìn)行深入研究。通常材料力學(xué)行為的率相關(guān)特性是由于材料在變形時(shí)存在粘性流動(dòng)，可通過(guò)建立粘彈性本構(gòu)模型來(lái)描述材料力學(xué)行為的這一特性，因此本文試圖將超彈本構(gòu)模型與粘彈本構(gòu)模型結(jié)合在一起，建立一種粘超彈本構(gòu)模型來(lái)描述EPDM 的力學(xué)行為。

1 實(shí)驗(yàn)研究

1.1 實(shí)驗(yàn)方法

本文針對(duì)EPDM 包覆層的平板原材料，通過(guò)機(jī)械加工、切割方法研究了單軸拉伸試件的設(shè)計(jì)問(wèn)題，試件設(shè)計(jì)如圖1所示。試件的標(biāo)距為65 mm，在其兩端與拉伸實(shí)驗(yàn)機(jī)夾頭接觸的位置處使用502 膠粘接鋁板，并在鋁板的表面進(jìn)行打磨處理。這種設(shè)計(jì)手段一方面可以預(yù)防試件與實(shí)驗(yàn)機(jī)夾頭之間相對(duì)滑移，同時(shí)也可以保證試件65 mm 標(biāo)距的精確性。

圖1 材料試件示意圖Fig.1 Schematic diagram of specimen

拉伸過(guò)程中，由于包覆層材料的塑性流動(dòng)，上下兩塊鋁板之間的包覆層材料會(huì)在一定程度上流進(jìn)測(cè)試區(qū)，且隨著拉伸位移的增大，流動(dòng)量也越大，因此應(yīng)變不等于拉伸位移與標(biāo)距的比值。本研究過(guò)程中，采用非接觸式測(cè)試手段測(cè)量試件在受載過(guò)程中的應(yīng)變響應(yīng)。該系統(tǒng)包括Baumer 相機(jī)、1394 接口卡、采集計(jì)算機(jī)和后處理軟件。該系統(tǒng)主要用于對(duì)CCD 拍攝的試件表面散斑原圖進(jìn)行分析，自動(dòng)快速地得到全場(chǎng)的位移、應(yīng)變信息。主要功能包括:圖像采集、通用圖像處理分析、位移分布分析計(jì)算、應(yīng)變分布分析計(jì)算、數(shù)字圖像相關(guān)后處理。

本文對(duì)EPDM 材料進(jìn)行了單軸拉伸和拉伸-回復(fù)試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)過(guò)程在常溫(293 K)環(huán)境下進(jìn)行，濕度為50%.拉伸實(shí)驗(yàn)中設(shè)定電子拉伸實(shí)驗(yàn)機(jī)拉伸速度分別為5 mm/min、20 mm/min、50 mm/min、100 mm/min和500 mm/min.根據(jù)非接觸測(cè)試方法，實(shí)際對(duì)應(yīng)的平均拉伸應(yīng)變率為0.001 03 s-1、0.004 10 s-1、0.010 3 s-1、0.020 5 s-1、0.104 s-1，其中拉伸-回復(fù)實(shí)驗(yàn)的拉伸速度設(shè)定為50 mm/min，回復(fù)速度為50 mm/min.

1.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)中針對(duì)每一拉伸速度進(jìn)行多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，并選取5 次有效實(shí)驗(yàn)結(jié)果的平均值作為研究對(duì)象。對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理后得到EPDM 材料在不同應(yīng)變率條件下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2所示。由圖2可以看出，該材料的最大延伸率較大，不同拉伸條件下均大于200%，其應(yīng)力響應(yīng)隨著拉伸速率的增加而逐漸增大。

圖2 單軸拉伸應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)Fig.2 Stress-strain response in uniaxial tension tests

圖3為EPDM 材料的拉伸-回復(fù)曲線，其中拉伸速度、回復(fù)速度均為50 mm/min.由圖3可見(jiàn)，回復(fù)應(yīng)變響應(yīng)滯后于應(yīng)力響應(yīng)，當(dāng)試件放置一段時(shí)間后，應(yīng)變逐漸回復(fù)到0.這說(shuō)明該材料表現(xiàn)出一定的粘性效應(yīng)，導(dǎo)致回復(fù)階段出現(xiàn)應(yīng)變滯后于應(yīng)力的現(xiàn)象;放置一段時(shí)間后材料試件完全恢復(fù)，說(shuō)明試件沒(méi)有產(chǎn)生不可回復(fù)的變形。因此，本文結(jié)合以上EPDM 材料的力學(xué)行為，提出采用粘超彈本構(gòu)模型來(lái)描述其力學(xué)特性。

圖3 單軸拉伸-回復(fù)應(yīng)力-應(yīng)變響應(yīng)Fig.3 Stress-strain response in uniaxial tension-recover test

2 本構(gòu)模型

本文在超彈響應(yīng)部分采用Mooney-Rivlin 模型，并假設(shè)材料的粘彈性響應(yīng)為線性過(guò)程，因此在本構(gòu)模型構(gòu)建過(guò)程中采用線粘彈性理論。

2.1 粘超彈本構(gòu)模型

粘超彈本構(gòu)理論首先由Leu 等［6］提出，該模型由率無(wú)關(guān)的超彈響應(yīng)部分和率相關(guān)的粘彈響應(yīng)部分組成。模型表達(dá)式為

式中:σ 為總應(yīng)力張量;σe為不考慮率效應(yīng)的超彈應(yīng)力張量;σv為考慮率效應(yīng)的粘彈應(yīng)力張量。

由此可以看出，該模型利用兩個(gè)相互獨(dú)立的力學(xué)響應(yīng)部分來(lái)描述包覆層材料的力學(xué)性能，以下對(duì)兩部分力學(xué)響應(yīng)分別建模，其中超彈響應(yīng)部分采用Mooney-Rivlin 超彈模型，粘彈性響應(yīng)部分采用線粘彈性理論。

2.2 Mooney-Rivlin 超彈模型

超彈性本構(gòu)理論認(rèn)為材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是完全彈性的，但是具有高度的非線性特征，當(dāng)外力消失后，材料變形可恢復(fù)到原始狀態(tài)。假設(shè)EPDM 材料是各向同性且不可壓縮的，則根據(jù)能量守恒得到有限變形彈性固體的本構(gòu)模型為

式中:σe為Cauchy 應(yīng)力張量;pe為靜水壓力，反映材料的不可壓縮特性;I 為單位向量;B 為左Cauchy 變形張量，I1、I2分別為左Cauchy 變形張量B 的第1、第2 不變量，具體定義為

其中I3為左Cauchy 變形張量B 的第3 不變量，當(dāng)材料具有不可壓縮特性時(shí)，I3= 1，λi為拉伸比，定義為λi=1 +εi，εi為工程應(yīng)變，i =1，2，3;α1、α2分別定義為

W=W(I1，I2)為只依賴變形的單位體積應(yīng)變能函數(shù)，對(duì)于Mooney-Rivlin 模型W 的具體形式為

式中:C10、C01為Mooney-Rivlin 應(yīng)變能函數(shù)中的材料參數(shù)。

2.3 粘彈性本構(gòu)模型

由線粘彈性理論可知，使用該模型能夠描述材料力學(xué)行為的率相關(guān)性?；贓PDM 包覆層材料的力學(xué)特性，其粘彈性力學(xué)響應(yīng)部分可采用Prony級(jí)數(shù)的形式表述:

式中:Em為松馳模量;τm為松弛時(shí)間;n 為Prony 級(jí)數(shù)的階數(shù)，模型的描述精度隨n 的增大而增大。松弛時(shí)間受材料微觀結(jié)構(gòu)和外載荷的影響較明顯，如微觀結(jié)構(gòu)的顆粒填充比和所處的環(huán)境溫度等。

3 結(jié)果與分析

3.1 本構(gòu)模型一維形式

對(duì)于所建立的粘超彈本構(gòu)模型，根據(jù)等速拉伸實(shí)驗(yàn)結(jié)果獲取模型的相關(guān)參數(shù)。由于實(shí)驗(yàn)均是在一維條件下進(jìn)行的，因此本文首先推導(dǎo)出本構(gòu)模型的一維形式。

在單軸加載情況下，垂直于加載方向的應(yīng)力應(yīng)為0，即

假設(shè)在加載方向上的伸長(zhǎng)比為λ，由于本文中材料在有限變形下認(rèn)為近似不可壓，故可以得到三向主伸長(zhǎng)比為λ1=λ，λ2=λ3=則變形梯度張量F、左Cauchy 變形張量B 為

根據(jù)(2)式和(10)式可得

將(4)式、(5)式、(6)式代入(11)式可得

將(12)式代入(2)式，并根據(jù)(4)式、(5)式、(10)式可得到超彈應(yīng)力響應(yīng)部分為

式中:λ=1 +ε11.由(7)式并取Prony 級(jí)數(shù)階數(shù)n =1，則得到粘彈應(yīng)力響應(yīng)部分為

根據(jù)(13)式、(14)式得到本構(gòu)模型的具體一維形式為

3.2 模型參數(shù)獲取

由(15)式可以看出，單軸加載實(shí)驗(yàn)條件下，包覆層材料的應(yīng)力響應(yīng)在某一應(yīng)變水平下包括彈性響應(yīng)(率無(wú)關(guān))和粘彈響應(yīng)(率相關(guān))。則對(duì)于兩組不同拉伸速率的σ-ε 曲線，同一應(yīng)變水平所對(duì)應(yīng)的應(yīng)該相等，而兩組曲線之間的差異均是由于粘彈響應(yīng)應(yīng)力造成 的，即從而可得到以下關(guān)系:

由(15)式可得

由(16)式得到，通過(guò)兩組應(yīng)變率條件下的σ-ε曲線獲得一系列應(yīng)變水平下應(yīng)力響應(yīng)差值曲線，便可根據(jù)該差值曲線和(16)式擬合得到模型參數(shù)E1、τ1.本研究中選取拉伸速度分別為20 mm/min 和50 mm/min 的兩條σ-ε 曲線作為研究對(duì)象。由EPDM包覆層材料的實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖2可以得到，當(dāng)應(yīng)變小于80%時(shí)，應(yīng)力響應(yīng)受應(yīng)變率的影響較小，而當(dāng)應(yīng)變大于80%時(shí)影響則較大。因此利用這兩條曲線擬合參數(shù)E1、τ1時(shí)，選擇的應(yīng)變水平分別為88%、100%、125%、150%、175%、200% 和225%，擬合結(jié)果如圖4所示，得到粘彈性模型參數(shù)為E1=0.949 47 MPa、τ1=165.712 26 s.

圖4 EPDM 材料本構(gòu)模型粘彈性參數(shù)擬合結(jié)果Fig.4 Viscoelastic parameters of EPDM constitutive model

根據(jù)所獲得的材料參數(shù)E1和τ1，利用(15)式便可擬合本構(gòu)模型的超彈性參數(shù)C10和C01.本研究中選擇拉伸速度為50 mm/min 的σ-ε 曲線進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如圖5所示，得到超彈模型參數(shù)為C10= -0.152 48 MPa、C01=1.220 47 MPa.

圖5 EPDM 材料本構(gòu)模型超彈性參數(shù)擬合結(jié)果Fig.5 Hyperelastic parameters of EPDM constitutive model

3.3 模型驗(yàn)證

由3.2 節(jié)可知，模型參數(shù)的獲取過(guò)程只使用了20 mm/min 和50 mm/min 的兩條σ-ε 曲線。如圖5所示，50 mm/min 拉伸速率下模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的重合度較好，因此有必要證實(shí)該模型能否用于預(yù)測(cè)其他應(yīng)變率水平。根據(jù)已獲得的模型參數(shù)，利用(15)式計(jì)算其他拉伸速率下的應(yīng)力響應(yīng)，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖6所示。由圖6可以看出，模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果重合度較好，且在應(yīng)變大于50%以后，應(yīng)力響應(yīng)的率效應(yīng)則較為明顯。

圖6 本構(gòu)模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比圖Fig.6 Comparison of test and predicted results

4 結(jié)論

本文根據(jù)EPDM 包覆層材料的單軸拉伸實(shí)驗(yàn)和拉伸-回復(fù)實(shí)驗(yàn)，獲得了材料的力學(xué)行為，根據(jù)其力學(xué)行為建立了一種粘超彈本構(gòu)模型，結(jié)果表明:

1)根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，EPDM 包覆層材料拉伸時(shí)存在一定的粘性流動(dòng)，力學(xué)行為呈現(xiàn)出明顯的率相關(guān)效應(yīng)。

2)利用Mooney-Rivlin 超彈本構(gòu)和線粘彈性本構(gòu)相結(jié)合所建立的粘超彈本構(gòu)模型能夠較好地描述EPDM 覆層材料的單軸力學(xué)行為。

3)拉伸過(guò)程中，包覆層材料的塑性流動(dòng)會(huì)影響應(yīng)變的計(jì)算結(jié)果，采用非接觸式應(yīng)變測(cè)試手段能夠很好地解決該問(wèn)題。

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