追不上烏龜?shù)拈L(zhǎng)跑英雄

王娟

古希臘哲學(xué)家們?cè)懻撨^(guò)這樣一個(gè)話題：阿基里斯是當(dāng)時(shí)的一位長(zhǎng)跑英雄，能否追趕上和他相距100米的烏龜。毋庸置疑，阿基里斯能在很短的時(shí)間內(nèi)追上烏龜。但愛(ài)利亞學(xué)派的代表人物芝諾卻提出了完全相反的意見(jiàn)。

他的推理是這樣的：假定賽跑開(kāi)始的時(shí)候，烏龜在阿基里斯前方的100米，并假設(shè)阿基里斯的速度是烏龜爬行速度的10倍。當(dāng)阿基里斯跑了100米到達(dá)烏龜原來(lái)所在的位置時(shí)，烏龜又向前跑了10米。當(dāng)他再跑完10米去追趕烏龜時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜還在他前面1米。他再跑1米，烏龜還在他前面10厘米。如此下去，他似乎只能一次次到達(dá)烏龜所經(jīng)過(guò)的地點(diǎn)，而永遠(yuǎn)追不上烏龜。

芝諾的推論看似荒謬，但從純數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，芝諾的推論卻沒(méi)有任何問(wèn)題，因?yàn)槿魏蝺牲c(diǎn)之間都有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，根本無(wú)法逾越。這一現(xiàn)象告訴我們：無(wú)限并不遙遠(yuǎn)，有限之中蘊(yùn)含著無(wú)限。

如果讓人計(jì)算無(wú)窮數(shù)列S=1-1+1-1+1-1……的結(jié)果，很多人會(huì)說(shuō)，結(jié)果是0，因?yàn)槊績(jī)身?xiàng)一組，每一組都是0，無(wú)窮個(gè)0相加，結(jié)果自然是0；也有人會(huì)說(shuō)，結(jié)果應(yīng)該是1，因?yàn)榘训谝豁?xiàng)獨(dú)立出來(lái)，后面每?jī)身?xiàng)一組，每一組都是0，1與無(wú)窮個(gè)0相加，結(jié)果自然是1；還有人說(shuō)，結(jié)果應(yīng)該是1/2，因?yàn)樯厦娴牡仁娇梢愿膶?xiě)作S=1-（1-1+1-1+1-1……）=1-S，移項(xiàng)后得出S=1/2。

這三種結(jié)果似乎都有道理。但是，根據(jù)現(xiàn)代無(wú)窮級(jí)數(shù)理論，這個(gè)式子沒(méi)有結(jié)果。因?yàn)槿藗兞?xí)慣了1+1=2這類(lèi)精確數(shù)學(xué)，卻不知道數(shù)學(xué)中的確存在沒(méi)有結(jié)果的“無(wú)限”算式。