基于隨機(jī)梯度的雙率系統(tǒng)自校正控制方法

姚健，黃言平，紀(jì)志成

1.江南大學(xué)輕工過程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實驗室，江蘇無錫214122

2.北京華航無線電測量研究所，北京100013

3.江南大學(xué)，江蘇無錫214122

1 引言

多率采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)常見于過程控制領(lǐng)域，隨著技術(shù)的發(fā)展，眾多被控系統(tǒng)的輸入往往是由計算機(jī)控制給定的，隨著系統(tǒng)狀態(tài)的變化可以實時快速地做出調(diào)整以得到更好的控制效果。然而過程中的一些狀態(tài)變量以及系統(tǒng)的輸出量的獲得往往受限于測量儀器的處理速度而無法達(dá)到和輸入變量相同的更新速度，甚至有些變量需要通過實驗室分析，經(jīng)歷更長的時間才能得到，也就是說，輸出采樣頻率要比控制輸入的刷新頻率慢，這樣就使得輸入和輸出變量刷新頻率不相同。這種存在兩個或兩個以上采樣頻率的系統(tǒng)就是所謂的雙率或多率采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)[1-2]。本文針對經(jīng)過處理的特殊多慮系統(tǒng)，即輸出采樣周期是輸入刷新周期整數(shù)倍的雙率系統(tǒng)自校正控制問題。為敘述方便，在本文中稱傳統(tǒng)離散時間系統(tǒng)為單率系統(tǒng)。

有關(guān)多慮系統(tǒng)的研究，國內(nèi)外眾多學(xué)者已經(jīng)做了不少的工作，在文獻(xiàn)[3]中，就首先采用了提升技術(shù)，將一個周期時變系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成一個時不變系統(tǒng)后再進(jìn)行辨識，以得到系統(tǒng)模型的參數(shù)，但是無論原始的系統(tǒng)是否是單輸入單輸出（SISO）系統(tǒng)，經(jīng)提升后的系統(tǒng)肯定是多輸入/多輸出或者是多輸入多輸出系統(tǒng)，如此就使得需要辨識的參數(shù)數(shù)量有一定程度的增加。為了減少辨識過程中的計算量和辨識參數(shù)的冗余度，文獻(xiàn)[4]建議針對雙率模型應(yīng)用多項式變換技術(shù)結(jié)合輔助模型的方式設(shè)計參數(shù)估計器進(jìn)行參數(shù)辨識。在多率系統(tǒng)的控制方面，文獻(xiàn)[5]針對一個線性不穩(wěn)定的非最小相位系統(tǒng)，通過Diophantine方程設(shè)計出雙率調(diào)節(jié)器，以得到單率系統(tǒng)中的參考模型的約束條件，并通過對雙率系統(tǒng)中所有的穩(wěn)定控制器進(jìn)行Youla參數(shù)化，以保證針對此類系統(tǒng)所設(shè)計的控制器達(dá)到內(nèi)部穩(wěn)定。文獻(xiàn)[6]則進(jìn)一步結(jié)合多項式方程方法，設(shè)計了一種多率自校正一般線性二次高斯（GLQG）推理控制器，通過采用推理控制系統(tǒng)I/O模型，把推理估計、LQG最優(yōu)控制和自校正控制有機(jī)地結(jié)合起來，簡化推理控制系統(tǒng)的設(shè)計，實現(xiàn)了自校正控制，并可用于非最小相位系統(tǒng)和開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)。而文獻(xiàn)[4]則是首先利用多項式變換技術(shù)，推導(dǎo)出一個僅含有雙率數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)模型，隨后基于最小二乘辨識算法推導(dǎo)出雙率系統(tǒng)的自校正控制算法，并對系統(tǒng)輸出跟蹤誤差的性能進(jìn)行了分析，給出了閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定和收斂的條件和平均誤差界；在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[7]把提出的自校正方法推廣到Hammerstein非線性雙率采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)，提出相應(yīng)自適應(yīng)控制算法，并研究算法的控制性能。文獻(xiàn)[8]針對雙率外加輸入自回歸（ARX）模型，通過設(shè)計一個參數(shù)估計器來利用最小二乘辨識方法估計系統(tǒng)模型參數(shù)，同時設(shè)計一個損失輸出估計器來計算系統(tǒng)的采樣間輸出，最后通過Diophantine方程和極小化最優(yōu)預(yù)測誤差方差提出相應(yīng)的自校正控制算法。

本文同樣以極小化最優(yōu)預(yù)測誤差方差為目標(biāo)，首先根據(jù)實際可測的輸入輸出數(shù)據(jù)，基于隨機(jī)梯度辨識算法設(shè)計參數(shù)估計器獲得模型參數(shù)和損失輸出的估計值，設(shè)計出相應(yīng)的自校正控制算法；在對算法的計算量進(jìn)行分析后，與基于最小二乘算法的自校正控制算法的計算量進(jìn)行比較，同時通過仿真例子比較分析兩種算法之間各自的優(yōu)劣特性。

2 問題描述

考慮式（1）所示的ARX模型：

其中，{u(t)}和{y(t)}分別為控制輸入和輸出，{v(t)}是均值為零，方差為σ2隨機(jī)白噪聲序列，d為系統(tǒng)延時并假定已知A(z-1)和B(z-1)為階次n的單位后移算子z-1[z-1u(t)=u(t-1)]的穩(wěn)定多項式：

雙率控制系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖如圖1所示。

圖1 雙率自校正控制結(jié)構(gòu)示意圖

圖中，yr(t)為系統(tǒng)的參考輸入（期望輸出），u(t)為可以快速率更新的控制輸入，P(z-1):=z-dB(z-1)/A(z-1)為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，y(qt)為慢速率的采樣輸出，其中q取大于1的正整數(shù)。輸入u(t)和輸出y(qt)采樣周期或頻率不同，可以得到的系統(tǒng)輸入-輸出數(shù)據(jù)為：

u(t):t=0，1，…快速率輸入信號，以及y(qt):t=0，1，…慢速率輸出采樣信號，受實際應(yīng)用中各種條件的限制，采樣間輸出y(qt+j)(j=1，2，…，q-1)不可得到的采樣間輸出[2]。

本文提出的控制方法中，“采樣間輸出估計器”是通過假定慢速率采樣輸出之間的輸出值對應(yīng)的系統(tǒng)參數(shù)估計值保持和上一時刻的值一致，結(jié)合實時更新的輸入數(shù)據(jù)計算得到“采樣間輸出”的估計值，然后通過選擇開關(guān)。

在不同時刻選擇實測輸出或者估計輸出反饋給控制器。結(jié)合反饋輸出以及輸入數(shù)據(jù)，基于最小方差控制率就能設(shè)計出相應(yīng)的自校正控制器。通過這樣的設(shè)計，整個自校正控制過程中用到的數(shù)據(jù)只是雙率數(shù)據(jù){u(t)，y(qt)}。

最小方差自校正控制目標(biāo)即是最小化t+d時刻的預(yù)測輸出與系統(tǒng)期望輸出之間的方差，得到的最小方差控制率方程表示為：

其中G(z-1)和F(z-1)滿足如下Diophantine方程：

并可通過令等式兩邊階次相同項相等的方式求解得到G(z-1)和F(z-1)的系統(tǒng)。定義β(z-1):=F(z-1)B(z-1)，得最小方差自校正控制率：

上述自校正控制方法是基于輸入輸出數(shù)據(jù)同步更新的情況下推導(dǎo)出的，但是針對雙率系統(tǒng)中部分輸出數(shù)據(jù)需要估計得到的情況，以上方法也需要經(jīng)過一定的處理才能繼續(xù)適用。

3 控制算法推導(dǎo)

設(shè)上標(biāo)T表示矩陣的轉(zhuǎn)置，定義參數(shù)向量和信息向量分別為：

其中n0=2n+1。于是式（1）可以重寫成

用qt代替上式中的t得到

其中

由于v(qt)是白噪聲，用φ(qt+j)代替φ0(qt+j)，根據(jù)式（5）可知損失輸出估計能通過下式計算：

那么基于雙率數(shù)據(jù)的遞推隨機(jī)梯度辨識方法可以用來估計參數(shù)向量θ，具體算法如下：其中r(0)=1，初始值一般取(0)為零向量或某個相對很小的實向量。

而選擇采用最小二乘方法辨識出參數(shù)后，再進(jìn)行自校正控制的算法具體為：

其中，為避免對矩陣作求逆運(yùn)算，將協(xié)方差P(qt)按照如下遞推方式計算：

其中

依據(jù)多項式兩邊同階次項系數(shù)相等的原則求得：

它們的系數(shù)按如下關(guān)系式計算：

總結(jié)以上計算過程，上述雙率自校正控制算法的計算步驟可歸納如下：

（2）獲取新的觀測值并根據(jù)式（6）和（7）求得相應(yīng)的損失輸出估計，構(gòu)建新的觀測數(shù)據(jù)向量φ(qt+j)。

（3）利用隨機(jī)梯度算式（8）～（10）計算最新的參數(shù)估計向量以及r(qt)。

（4）用公式（12）計算自校正調(diào)節(jié)量u(t)。

（5）返回第（2）步，繼續(xù)進(jìn)行下一時刻的參數(shù)辨識和控制率計算。

針對上述分別基于最小二乘（LS）和隨機(jī)梯度（SG）辨識算法的自校正控制算法進(jìn)行比較分析，可知兩者之間的運(yùn)算量差別在于辨識算法部分。僅對辨識算法部分的計算量按照乘法次數(shù)以及加法次數(shù)分別統(tǒng)計，得到的結(jié)果如表1所示，其中n0=2n+1，表中給出的計算式表示每一個周期之內(nèi)遞推算法相關(guān)部分進(jìn)行乘法和加法次數(shù)，方括號內(nèi)通過選擇系統(tǒng)階次n=2(n0=5)時計算出所需的具體運(yùn)算次數(shù)以進(jìn)行直觀的說明。從表1可以看出基于隨機(jī)梯度的算法計算量明顯減少。

表1 基于LS和SG算法的計算量比較表

4 仿真例子

在上一章中，通過理論分析確定基于SG算法的計算量要遠(yuǎn)小于基于LS算法計算量后，還需要驗證其控制輸出是否也能有效跟蹤系統(tǒng)設(shè)定的期望輸出，以確定該算法的控制效果?？紤]下列仿真對象：

(1-1.5z-1+0.7z-2)y(t)=(1+0.5z-1)u(t-1)+v(t)

其中，噪聲{v(t)}采用零均值方差σ2=0.252的白噪聲序列，系統(tǒng)延時d取1，系統(tǒng)的參考輸入yr取為：

yr(k)=1.5(sin 2πk/10+sin 2πk/25)

仿真中假設(shè)模型參數(shù)是未知的，應(yīng)用本文提出的基于SG辨識方法的最小方差自校正控制算法進(jìn)行控制，分別考慮對應(yīng)的單率系統(tǒng)(q=1)和雙率系統(tǒng)(q=2)時的控制效果，得到系統(tǒng)輸出和參考輸入如圖2所示（取前50個采樣時刻的控制效果）。同時應(yīng)用基于LS辨識方法的最小方差自校正控制算法對該系統(tǒng)進(jìn)行控制，得到系統(tǒng)輸出和參考輸入如圖3所示（取前50個采樣時刻的控制效果），其中橫坐標(biāo)表示系統(tǒng)的采樣時刻。

圖2 q=1及q=2時輸出y(t)與期望輸出yr(t)

圖3 基于SG和LS算法的輸出y(t)與期望輸出yr(t)

同時計算出前100個（第10至110個）采樣時刻的控制誤差均值，如表2所示。

表2 針對不同模型選用不同算法的平均控制誤差

通過比較圖2中雙率和單率模型的控制效果以及表2中給出的平均誤差數(shù)據(jù)，可以看出針對有數(shù)據(jù)缺失的雙率系統(tǒng)，采用本文提出的雙率控制方法雖然無法達(dá)到基于快速單率系統(tǒng)進(jìn)行控制的效果，但是控制效果也是可以接受的（小于2%）。另外，通過圖3和表2可以看出基于SG辨識算法的自校正控制器和基于LS辨識算法的自校正控制器一樣，也能夠很好地保證系統(tǒng)輸出跟隨期望輸出，但是大幅度減少的計算量是本文提出算法的優(yōu)勢所在。

5 結(jié)語

利用雙率數(shù)據(jù)，通過分別設(shè)計兩個估計器辨識模型參數(shù)和估計損失輸出，并用估計值代替模型參數(shù)真值和損失輸出，基于最小方差控制原理，提出了基于隨機(jī)梯度算法的雙率系統(tǒng)最小方差自校正控制算法。通過對兩種算法計算過程中運(yùn)算量的分析以及仿真例子的結(jié)果，可以看到提出的方法能夠有效跟蹤系統(tǒng)的期望輸出并且能夠有效減少算法的運(yùn)算量，明顯提高了自校正控制算法的性能。

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