四次C-Bézier曲線(xiàn)的形狀修改

秦新強(qiáng)，申曉利，胡鋼

西安理工大學(xué)理學(xué)院，西安710054

1 引言

曲線(xiàn)曲面的形狀修改一直是CAGD領(lǐng)域中一項(xiàng)基本的技術(shù)，對(duì)于曲線(xiàn)的實(shí)用化有著重要的意義，許多學(xué)者在這一領(lǐng)域已做了大量的研究工作[1-4]。C-Bézier曲線(xiàn)曲面[4-8]作為CAGD中一種新穎的造型曲線(xiàn)曲面，不僅保留了傳統(tǒng)Bézier曲線(xiàn)曲面的許多優(yōu)點(diǎn)，而且能夠方便、精確地構(gòu)造常規(guī)的二次曲線(xiàn)曲面，還具有算法簡(jiǎn)單，存儲(chǔ)空間小，參數(shù)選擇容易等特點(diǎn)，因此其在描述曲線(xiàn)曲面方面有著重要的作用。本文在分析四次C-Bézier曲線(xiàn)幾何模型[9]的基礎(chǔ)上，對(duì)四次C-Bézier曲線(xiàn)的形狀調(diào)整進(jìn)行了研究，通過(guò)修改曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)和形狀參數(shù)，分別提出了兩種調(diào)整四次C-Bézier曲線(xiàn)形狀的有效新方法，并給出了具體的實(shí)例。

2 四次C-Bézier曲線(xiàn)的定義及性質(zhì)

定義1 對(duì)任意的t∈[0，α]，α∈[0，2π]，稱(chēng)為空間Φ=span{sin t，cos t，t2，t，1}上的一組正規(guī)B基[9]，式中u4(t)=t2-2 cos C(t)，S=sin C(α)=α-sinα，C=cos C(α)=1-cosα，cos C(t)=1-cos t，Z3(t)=sin C(t)/S。

定義2 設(shè)Pi(i=0，1，2，3，4)為曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)向量，α是任意實(shí)數(shù)，且0≤t≤α，0≤α≤2π，則曲線(xiàn)

稱(chēng)為四次C-Bézier曲線(xiàn)[9]。其中bi(t)??(i=0，1，2，3，4)為式所定義的基函數(shù)。當(dāng)α→0時(shí)，四次C-Bézier曲線(xiàn)逼近于四次Bézier曲線(xiàn)。由式（1）和（2）可以推出四次C-Bézier曲線(xiàn)具有凸包性、變差縮減性、保凸性，以及如下的端點(diǎn)性質(zhì)。

由于形狀控制參數(shù)α的引入，使得四次C-Bézier曲線(xiàn)具有比傳統(tǒng)Bézier曲線(xiàn)更強(qiáng)的曲線(xiàn)表達(dá)能力。當(dāng)曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)固定不變時(shí)，讓?duì)猎?0，2π)之間變化可產(chǎn)生一族四次C-Bézier曲線(xiàn)。圖1給出了一族α取不同值的四次C-Bézier曲線(xiàn)圖形，圖中曲線(xiàn)從上到下對(duì)應(yīng)的參數(shù)依次取值為α=2，π，6，2π。

圖1 一族α取不同值的四次C-Bézier曲線(xiàn)

3 基于自身參數(shù)的四次C-Bézier曲線(xiàn)的形狀修改

四次C-Bézier曲線(xiàn)是由基函數(shù)和控制頂點(diǎn)混合生成的，由于其基函數(shù)中引入了的形狀控制參數(shù)α，所以增強(qiáng)了四次C-Bézier曲線(xiàn)的形狀控制能力。顯然，形狀參數(shù)α和控制頂點(diǎn)都會(huì)影響著曲線(xiàn)的整體形狀。

3.1 調(diào)節(jié)控制參數(shù)α修改曲線(xiàn)的形狀

假設(shè)控制頂點(diǎn)的位置保持不變，對(duì)于τ∈[0，1]，m，n分別為xlim(0，τ)和x(2π，τ)上的點(diǎn)，則可近似地認(rèn)為α軌道上的點(diǎn)s(α，τ)在mn的連線(xiàn)上，且有

這一近似方法即可以將參數(shù)α對(duì)曲線(xiàn)的作用用直觀的形式表達(dá)出來(lái)，又可以為通過(guò)調(diào)節(jié)控制參數(shù)α來(lái)修改曲線(xiàn)的形狀提供了依據(jù)。

當(dāng)α減小時(shí)，四次C-Bézier曲線(xiàn)逐漸靠近相應(yīng)的四次代數(shù)多項(xiàng)式曲線(xiàn)xlim(0，τ)；當(dāng)α增加時(shí)，四次C-Bézier曲線(xiàn)逐漸靠向相應(yīng)的α=2π時(shí)的C曲線(xiàn)x(2π，τ)，(0＜τ≤1)。所以，參數(shù)α對(duì)整條曲線(xiàn)段的調(diào)節(jié)范圍便是xlim(0，τ)和x(2π，τ)之間的區(qū)域。

在實(shí)際的工程曲線(xiàn)設(shè)計(jì)中，經(jīng)常需要求一條曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)某給定的點(diǎn)。設(shè)S為調(diào)節(jié)范圍內(nèi)的任一點(diǎn)，根據(jù)上面對(duì)α作用的分析，只要S位于xlim(0，τ)和x(2π，τ)之間的區(qū)域，就可以通過(guò)選擇合適的α使得四次C-Bézier曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)S。

以下可分兩步完成，具體做法如下：

（1）求τ。可采用二分法通過(guò)逐步求精反求τ。xlim(0，τ)和x(2π，τ)之間的直線(xiàn)段表示如下：

P1(k，τ)=kx(2π，τ)+(1-k)xlim(0，τ)，0≤k≤1

顯然希望找到τ0使得S在P1(k，τ0)上，具體算法為：

步驟1 取初值a=0，b=1；

步驟2 令τ0

步驟3 若S在P1(k，τ0)上，輸出τ0，否則轉(zhuǎn)步驟4；

步驟4 若S在P1(k，τ0)的左側(cè)，則令b=τ0，若S在P1(k，τ0)的右側(cè)，則a=τ0，轉(zhuǎn)步驟2。

通過(guò)此算法便可以求出τ0使得s(a，τ0)過(guò)已知點(diǎn)S。

（2）求α。由第（1）步求出的τ0可計(jì)算d1=d(S，x(2π，τ0))和d2=d(S，xlim(0，τ0))，因此由式（4）可得：

如果此時(shí)得到的α不滿(mǎn)足精度要求，還可以利用二分法，進(jìn)一步提高精度直至滿(mǎn)足要求。具體步驟為：

步驟1 將α和τ0帶入四次C-Bézier曲線(xiàn)的方程得到點(diǎn)S′；

步驟2 若S′與S的近似精度滿(mǎn)足要求，則輸出S′，否則步驟3；

步驟3 若S′比S的更靠近xlim(0，τ)，則令反之令a=，轉(zhuǎn)步驟1。

3.2 調(diào)節(jié)控制頂點(diǎn)修改四次C-Bézier曲線(xiàn)的形狀

假設(shè)S為式（2）所定義的一條四次C-Bézier曲線(xiàn)Bα(t)上的某一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的變量t值為ts，要使S點(diǎn)移動(dòng)到給定的T點(diǎn)，可通過(guò)調(diào)整控制頂點(diǎn)的位置來(lái)實(shí)現(xiàn)。不妨假設(shè)曲線(xiàn)各控制頂點(diǎn)Pi的位移矢量分別為δi(i=0，1，2，3，4)，則曲線(xiàn)上每點(diǎn)的位移量可表示為：

式中，0≤t≤1。

實(shí)際工程應(yīng)用中常使用以下兩種方法：

（1）保持首末兩點(diǎn)的位置不變，采用約束優(yōu)化方法使整條曲線(xiàn)的變形最小。

首先，建立如下約束條件：

其目標(biāo)函數(shù)為：

其次，為了使得上述目標(biāo)函數(shù)取最小，由拉格朗日乘數(shù)法可以定義拉格朗日方程為：

式中，λ=[λx，λy，λz]為拉格朗日乘數(shù)向量。令

則可得如下方程組：

最后，解上述方程組式（7），便可求得中間3個(gè)控制頂點(diǎn)的位移為：

由此可見(jiàn)，采用約束優(yōu)化的方法移動(dòng)中間3個(gè)控制頂點(diǎn)，控制頂點(diǎn)的位移方向與曲線(xiàn)上給定點(diǎn)的移動(dòng)方向相同，其大小與相應(yīng)的四次C-Bézier基函數(shù)成正比。

（2）保持首末點(diǎn)的位置和切矢方向不變。為了保證四次C-Bézier曲線(xiàn)段之間的G1連續(xù)，每段曲線(xiàn)在形狀修改時(shí)，首末點(diǎn)的位置和切矢方向都應(yīng)保持不變，再使中間點(diǎn)P2位置不變，另外兩點(diǎn)P1、P3的位移δ1、δ2滿(mǎn)足：

式中，前兩個(gè)條件保證了調(diào)整控制頂點(diǎn)前后曲線(xiàn)的首末點(diǎn)的切矢方向不變。

上述方程組的幾何意義是將Δα在兩個(gè)方向(P1-P0)和(P4-P3)上分解成Δα1和Δα2，那么

式中，δ1、δ2分別為P1、P3的位移矢量。

圖2給出了一個(gè)通過(guò)移動(dòng)曲線(xiàn)控制頂點(diǎn)來(lái)修改四次C-Bézier曲線(xiàn)形狀的實(shí)例。圖2中，曲線(xiàn)的形狀參數(shù)α=2π，而圖2（a）、圖2（b）和圖2（c）中分別移動(dòng)的控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為5個(gè)、3個(gè)和2個(gè)。

圖3給出了在保持端點(diǎn)性質(zhì)條件下的四次C-Bézier曲線(xiàn)形狀修改的實(shí)例。圖3（a）保持了首末端點(diǎn)位置不變，而圖3（b）保持了首末點(diǎn)位置和切矢都不變。

圖2 移動(dòng)控制頂點(diǎn)改變四次C-Bézier曲線(xiàn)形狀幾何造型

圖3 調(diào)節(jié)控制頂點(diǎn)來(lái)修改四次C-Bézier曲線(xiàn)的形狀

4 結(jié)論

基于四次C-Bézier曲線(xiàn)的幾何模型，分別通過(guò)修改曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)和形狀參數(shù)，提出了兩種調(diào)整四次C-Bézier曲線(xiàn)形狀的有效新方法。本文方法不僅增加了四次C-Bézier曲線(xiàn)造型方法的靈活性，在一定程度上克服了工程中該曲線(xiàn)形狀難以調(diào)節(jié)和控制的問(wèn)題，而且還可以達(dá)到使曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)給定目標(biāo)點(diǎn)或滿(mǎn)足一定條件的近似表示的目的，在CAD/CAM工程中的應(yīng)用也較為廣泛。

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