基于能量最優(yōu)的局部?jī)?yōu)化光順處理

司昆明，樊留群，朱 蓓，趙建華

在數(shù)控加工中，粗加工時(shí)，為實(shí)現(xiàn)高速高效加工，需要對(duì)待加工的曲線曲面進(jìn)行光順處理;精加工時(shí)，為了得到較光滑的曲面，也要對(duì)CAD/CAM處理后擬合的曲線進(jìn)行光順處理。可見(jiàn)，光順處理在數(shù)控加工中發(fā)揮著舉足輕重的作用。

目前，針對(duì)曲線的光順處理方法大致可以分為以下兩類(lèi):選點(diǎn)修改法和優(yōu)化法。選點(diǎn)修改法［1－2］指的是逐次找出造成不光順的數(shù)據(jù)點(diǎn)(即“壞點(diǎn)”)并對(duì)其進(jìn)行修正處理。而優(yōu)化法則分為兩種:整體優(yōu)化法和局部?jī)?yōu)化法。整體優(yōu)化法［3］一次對(duì)所有的型值點(diǎn)進(jìn)行修正，可以起到很好的整體光順作用，但其計(jì)算量過(guò)大，且操作速度較慢。局部?jī)?yōu)化法［4－6］則兼具選點(diǎn)修改法和整體優(yōu)化法的優(yōu)點(diǎn)，該方法不僅計(jì)算量小，而且整體光順效果好。

在對(duì)“壞點(diǎn)”判定時(shí)，文獻(xiàn)［1］、［7］僅從曲率的角度來(lái)考慮，這種判定“壞點(diǎn)”的方法在數(shù)控加工中是不合理的，會(huì)導(dǎo)致修正后的曲線越來(lái)越往直線的趨勢(shì)發(fā)展。因此，本文提出一種同時(shí)考慮相鄰弦間夾角和曲率的“壞點(diǎn)”判定方法。文獻(xiàn)［8］～［10］僅對(duì)“壞點(diǎn)”的位置做了修正處理，卻都沒(méi)有對(duì)“壞點(diǎn)”處的切向量進(jìn)行修改。一般如果控制點(diǎn)的位置有問(wèn)題，那么它所對(duì)應(yīng)的切向量也應(yīng)該進(jìn)行修正處理。針對(duì)以上情況，本文提出了針對(duì)“壞點(diǎn)”的位矢和切矢同時(shí)進(jìn)行修正處理的局部光順?biāo)惴ā?/p>

1 “壞點(diǎn)”的判定

已知型值點(diǎn)列為 Qi(i=0，1，2，…，n)，設(shè)Q(t)是插值于{Qi}的非均勻三次樣條曲線，ki是樣條曲線Q(t)在型值點(diǎn)Qi處的相對(duì)曲率。為滿足曲線光順性的要求，選點(diǎn)修改法一般分兩個(gè)步驟進(jìn)行，即粗光順和精光順兩個(gè)階段。

1.1 粗光順階段“壞點(diǎn)”的判定

在粗光順階段，通常按以下方法判定“壞點(diǎn)”［7］:

a.相對(duì)曲率的符號(hào)序列{sign(ki)}中連續(xù)變號(hào)的點(diǎn)，即但凡滿足條件

成立的型值點(diǎn)Qi稱(chēng)為“潛在壞點(diǎn)”。

b.對(duì)于已知的樣條曲線，設(shè)允許的相鄰弦間夾角的最小值為θmin，Qi點(diǎn)與相鄰的兩個(gè)型值點(diǎn)Qi－1，Qi+1構(gòu)成的弦?jiàn)A角記為 θi，若 θi＜ θmin且滿足式(1)，則稱(chēng)點(diǎn) Qi為“壞點(diǎn)”。

c.由于在同一條曲線上存在出現(xiàn)多個(gè)“壞點(diǎn)”的可能，為減少工作量并獲得理想的光順效果，首先應(yīng)找出“壞點(diǎn)”中的“最壞點(diǎn)”進(jìn)行修正。此處令

1.2 精光順階段“壞點(diǎn)”的判定

在精光順階段，通常將ki的一階差分符號(hào)序列{sign(Δki)}中連續(xù)變號(hào)的點(diǎn)，即滿足條件

成立的點(diǎn)稱(chēng)作“壞點(diǎn)”。同時(shí)，令

式中:li= ‖Qi－ Qi－1‖，為弦長(zhǎng);Si為曲線 Q(t)在點(diǎn)Qi處的剪力躍度。在精光順階段，把剪力躍度最大處的點(diǎn)Qi稱(chēng)為“最壞點(diǎn)”。

2 “壞點(diǎn)”的修正

2.1 非均勻三次樣條曲線

設(shè)插值于給定型值點(diǎn)Qi的參數(shù)三次非均勻樣條曲線為:

根據(jù)條件

可求出

式中:Δi=ti+1－ti。

由于累加弦長(zhǎng)參數(shù)化能夠如實(shí)地反映出數(shù)據(jù)點(diǎn)弦長(zhǎng)的分布情況，并一直被認(rèn)為是最佳參數(shù)化法，因此本文采用累加弦長(zhǎng)參數(shù)化，即

式中:ΔQi－1=Qi－ Qi－1，為向前差分矢量，即弦線矢量。

2.2 基于能量最優(yōu)的光順?biāo)惴?/h3>

樣條曲線的應(yīng)變能為 E=C∫(Q″(t))2d t，其中C為與樣條剛度有關(guān)的系數(shù)。記光順前后樣條曲線的應(yīng)變能分別為E和E*，光順前后樣條曲線的應(yīng)變能的變化量記ΔE?？汕蟮?/p>

式中:Δk=tk+1－tk。要使得光順后的應(yīng)變能最小，將式(9)分別對(duì) ΔQk和 ΔQ'k求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)分別為零，即

帶入數(shù)值，求得:

最后，將“壞點(diǎn)”的位置矢量和切矢分別修正為:

使用該種方法對(duì)“壞點(diǎn)”進(jìn)行修正時(shí)，要考慮一種情況:位矢修正量ΔQk大到一定程度，而超出數(shù)控加工時(shí)所允許的誤差公差帶。在純粹進(jìn)行曲線光順處理時(shí)該種情況可以不加考慮，但在數(shù)控加工時(shí)，該類(lèi)情況卻不容忽視。否則，會(huì)在提高工件光滑性的同時(shí)降低加工精度。因此，在保證加工精度的前提下，為使得數(shù)控加工出的工件盡可能光滑，本文引入位矢最大允許修正量ΔQmax，其值由數(shù)控加工時(shí)允許的誤差公差帶決定。當(dāng)ΔQk≥ΔQmax時(shí)，令ΔQk=ΔQmax。這樣處理雖會(huì)使得樣條曲線的光順性較引入ΔQmax之前有所降低，卻能在保證加工工件精度的前提下，盡可能使加工出的工件光滑。

2.3 “壞點(diǎn)”修正的流程

步驟1，過(guò)型值點(diǎn)構(gòu)造三次非均勻樣條插值曲線C0(t)。

步驟2，按照能量最優(yōu)原則分別將“壞點(diǎn)”的位矢和切矢分別修正為Q*k和。

步驟3，若“壞點(diǎn)”位矢修正量ΔQk大于最大允許修正量 ΔQmax，則取 ΔQk=ΔQmax，而切矢修正大小仍取ΔQ'k。

步驟4，對(duì)修正后的型值點(diǎn)重新進(jìn)行樣條插值，若仍舊有“壞點(diǎn)”則繼續(xù)按照以上步驟進(jìn)行修正，反之，輸出得到修改后的參數(shù)樣條曲線C(t)。

光順處理流程如圖1所示。

3 仿真驗(yàn)證

下面通過(guò)一組算例來(lái)驗(yàn)證本算法的有效性。選取如表1所示的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，對(duì)表中的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行三次非均勻樣條曲線擬合，設(shè)定允許的相鄰弦間夾角的最小值 θmin為45°，允許的最大修正量ΔQmax設(shè)為0.5(單位量綱為1)。找出造成樣條曲線不光順的點(diǎn)，并按本文介紹的“壞點(diǎn)”修正方法進(jìn)行光順處理。經(jīng)MATLAB仿真得出光順前后的4幅圖，其中，圖2和圖3分別表示光順處理前后的樣條曲線;圖4和5分別表示光順處理前后的樣條曲線曲率。通過(guò)對(duì)比可看出采用本文算法對(duì)原擬合曲線進(jìn)行光順處理后，曲線的斜率更均勻了，曲線也比原來(lái)光滑了，從而驗(yàn)證了本文算法的有效性。

表1 選取的數(shù)據(jù)點(diǎn)列

圖2 光順前的曲線

圖3 光順后的曲線

圖4 光順前的曲線曲率

圖5 光順后的曲線曲率

4 結(jié)束語(yǔ)

本文在國(guó)內(nèi)外學(xué)者研究的基礎(chǔ)上，提出在判定不光順點(diǎn)時(shí)同時(shí)考慮相鄰弦間夾角和曲率因素的“壞點(diǎn)”判別方法。另外，在處理這些不光順點(diǎn)時(shí)，本文采用基于能量最優(yōu)的局部光順?biāo)惴▽?duì)“壞點(diǎn)”位矢和切矢同時(shí)進(jìn)行修正處理。仿真實(shí)驗(yàn)表明，通過(guò)該算法進(jìn)行處理后，曲線的曲率更均勻了，曲線也更光順了。

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