基于城市區(qū)域發(fā)展的勞瑞模型動態(tài)改進(jìn)

王力生，帥 斌

(西南交通大學(xué) 交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，四川 成都 610031)

集聚效應(yīng)是城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展過程中表現(xiàn)出來的企業(yè)和人口集中化現(xiàn)象，有利于提高資源和公共物品的配置效率以及降低生產(chǎn)成本[1]。與此同時，城市土地資源作為一種不可再生的生產(chǎn)要素，其價值會隨著不同區(qū)位的集聚程度而變化。城市居民和廠商根據(jù)不同的集聚效應(yīng)和土地價值進(jìn)行選址活動，引起城市空間布局的內(nèi)部調(diào)整和外表擴(kuò)張現(xiàn)象[2]。隨著我國經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，傳統(tǒng)的制造業(yè)開始遠(yuǎn)離市中心向城市外圍或其它地區(qū)遷移，以金融、商業(yè)和服務(wù)業(yè)為代表的第三產(chǎn)業(yè)逐漸成為大城市的主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)。城市中心區(qū)土地價值的持續(xù)升值，也迫使人口居住地向郊區(qū)擴(kuò)張，造成居住地和就業(yè)場所日益分離[3]。因此，研究城市區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展對人口和就業(yè)等空間布局的作用機(jī)理具有重要意義。

勞瑞模型是交通規(guī)劃中研究土地利用的基礎(chǔ)模型，由美國交通學(xué)者勞瑞于1964年研究匹茲堡交通規(guī)劃問題時提出。其最主要的價值在于用數(shù)學(xué)方法探討了十分基礎(chǔ)的城市就業(yè)和人口分布等問題，使與之相關(guān)的城市土地利用和區(qū)位理論得以定量化研究。勞瑞模型作為研究交通規(guī)劃問題的基礎(chǔ)模型，從它提出開始就得到了許多學(xué)者的研究改進(jìn)，其中最主要的兩個方向是對模型的動態(tài)改進(jìn)和經(jīng)濟(jì)改進(jìn)[4]。動態(tài)改進(jìn)主要指在城市發(fā)展過程中，基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)發(fā)生變化如何引起人口分布的變化；經(jīng)濟(jì)改進(jìn)則研究如何確定基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)與服務(wù)產(chǎn)業(yè)之間的關(guān)系。筆者通過對原始勞瑞模型、Garin矩陣改進(jìn)模型以及Rogers動態(tài)改進(jìn)模型基本思想的研究，在Rogers動態(tài)模型基礎(chǔ)上，引入種群生長模型模擬城市區(qū)域基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)發(fā)展，提出在城市土地和人口等資源限制條件下，區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展對人口和就業(yè)布局的影響模型。

1 勞瑞模型及其改進(jìn)形式

1.1 原始勞瑞模型

原始勞瑞模型[5]的基本思想是：將研究區(qū)域劃分為若干個小區(qū)，每個小區(qū)存在一定已知數(shù)量的基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)(如市政部門、學(xué)校和工廠等)，基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)帶來就業(yè)數(shù)量并引起就業(yè)人口在研究區(qū)域的分布(理解為不同小區(qū)的人口數(shù)量)；另一方面，基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)就業(yè)人口產(chǎn)生對服務(wù)業(yè)的需求，引起服務(wù)產(chǎn)業(yè)在研究區(qū)域的分布，服務(wù)產(chǎn)業(yè)同樣會帶來就業(yè)增加，并形成新的人口分布，因此，最終的人口和產(chǎn)業(yè)分布產(chǎn)生于上述“循環(huán)過程”的均衡或在人口和土地限制條件下的極限情況。

為求解模型，勞瑞給出的算法思路[6]是將小區(qū)的就業(yè)數(shù)量看成該小區(qū)的吸引力函數(shù)，而人口分布則表示為小區(qū)就業(yè)數(shù)量和吸引力的函數(shù)，通過一次迭代計(jì)算可求出一個人口及就業(yè)分布，并對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行是否滿足人口和土地等限制條件的檢驗(yàn)，直到求出滿足限制條件的最優(yōu)解(即最大人口和就業(yè)分布)。

通過以上分析，不難發(fā)現(xiàn)原始勞瑞模型存在以下兩個最為突出的問題：

1)勞瑞模型在求解過程中并不考慮土地和人口等限制條件約束，而是對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，因此求出的解有可能部分滿足限制條件(即有的小區(qū)滿足人口和土地限制，而另外的小區(qū)不滿足)，這種情況下模型無解；另一方面，每進(jìn)行一次迭代計(jì)算，都要對結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，這將是十分繁瑣的；

2)勞瑞模型只是解決了一定已知基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)分布條件下的最終人口和就業(yè)分布情況，這實(shí)際上是一個靜態(tài)的過程，因?yàn)槌鞘薪?jīng)濟(jì)和人口的增長必然會引起基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)的變化，由此引出勞瑞模型的動態(tài)改進(jìn)形式。

1.2 勞瑞模型改進(jìn)形式

R.A.Garin[7]在原始勞瑞模型的基礎(chǔ)上，引入向量描述人口和就業(yè)分布，并通過矩陣表達(dá)勞瑞模型中的函數(shù)關(guān)系，這樣勞瑞模型的迭代計(jì)算過程變?yōu)榫仃嚨挠?jì)算，從而使模型大大簡化。值得注意的是，Garin模型并未改變勞瑞模型的“靜態(tài)”屬性，其收斂條件的確定來源于級數(shù)求和的數(shù)學(xué)證明，未考慮實(shí)際的土地和人口限制條件。

與本文密切相關(guān)的是Rogers 模型，由A.Rogers[8]在Garin模型的基礎(chǔ)上引入增長矩陣G進(jìn)行動態(tài)建模?；舅枷胧牵航o定一個基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)增長矩陣G，引入時間變量t，建立基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)與時間t的函數(shù)關(guān)系，從而對于不同的時間t，可求出相應(yīng)的人口分布。模型的終止條件是迭代過程產(chǎn)生人口和時間t的線性關(guān)系，表示人口達(dá)到穩(wěn)定增長狀態(tài)；同理，對于就業(yè)也可建立相應(yīng)的迭代關(guān)系，求得就業(yè)增長率，由此Rogers通過該模型分析了人口和就業(yè)之間的關(guān)系。但是，Rogers 模型仍存在許多亟待修改的問題：首先，模型中基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)增長矩陣G是人為給定的并且與時間t無關(guān)，與實(shí)際情況并不相符；其次，人口按穩(wěn)定的速率增長意味著人口無限的增多，勢必違反勞瑞模型中人口和土地的限制條件。對上述兩個問題的深入探討，是筆者提出動態(tài)改進(jìn)模型的基礎(chǔ)。

2 改進(jìn)模型

2.1 改進(jìn)模型的出發(fā)點(diǎn)

針對上述各個模型存在的問題，提出勞瑞模型的另一種動態(tài)改進(jìn)模型，主要從以下3個方面考慮：

1)如何將原始勞瑞模型中的限制條件通過模型本身的約束條件表示出來，使模型求得的解一定符合人口和土地因素等限制；

2)如何確定與時間相關(guān)的動態(tài)增長矩陣，反映城市區(qū)域經(jīng)濟(jì)隨時間發(fā)展的情形；

3)對模型的邊界值即穩(wěn)定狀態(tài)探討，保證模型的解一定是滿足約束條件的最優(yōu)解。

2.2 改進(jìn)模型

首先，將研究區(qū)域劃分成n個小區(qū)，對每個小區(qū)編號1，2，…，n；那么時間為t時的基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)分布可表示為：

(1)

按照Garin模型中的結(jié)論[7]，一定的基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)分布最終會決定相應(yīng)的人口分布Pt和就業(yè)分布Et，它們滿足關(guān)系：

(2)

(3)

這里著重探討一下矩陣A，B的含義與計(jì)算問題。矩陣A可看成就業(yè)-人口生成矩陣，表示由就業(yè)引起人口分布的“生成關(guān)系”(參考式(3)的第1個等式)，具體計(jì)算公式為：

A=[aij′][ai]

(4)

式中：[ai]表示對角矩陣diag(ai)，其元素ai表示i小區(qū)就業(yè)人口占總?cè)丝诘谋戎?；矩陣[aij′]的元素aij′表示“到家旅程函數(shù)”(a journey to home function)[7]。

不同的構(gòu)造會產(chǎn)生不同的迭代結(jié)果，這里將“到家旅程函數(shù)”表述為在小區(qū)i工作的人口居住在小區(qū)j(j=1，2，…，n)的概率，計(jì)算方法參照Logit模型的解法[5]，選取距離、土地價格、就業(yè)崗位等因素xk(k=1，2，…，m)建立效用函數(shù)：

(5)

值得注意的是，Garin模型求得的解有可能不滿足約束條件，原因在于效用函數(shù)中參數(shù)xk的不同取值會造成不同小區(qū)人口和就業(yè)分布的變動。一個明顯的事實(shí)是，如果xk中考慮j小區(qū)的擁擠情況的話會使結(jié)果滿足人口和土地限制條件。

同理，矩陣B可看成人口-就業(yè)生成矩陣，表示一定的人口分布產(chǎn)生相應(yīng)的服務(wù)需求，計(jì)算過程同A，那么B的計(jì)算表示為：

B=[bij′][bi]

(6)

(7)

從另一個角度考慮，基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)的增長，一方面受規(guī)模效應(yīng)的影響，即開始階段由于產(chǎn)業(yè)配套設(shè)施和產(chǎn)能等尚未完善，發(fā)展比較緩慢；隨著建設(shè)發(fā)展，規(guī)模效應(yīng)逐漸顯現(xiàn)出來，增長速度變快；最后，區(qū)域發(fā)展完善，土地和人口限制作用表現(xiàn)出來，經(jīng)濟(jì)達(dá)到飽和狀態(tài)，增速放緩。因此可考慮用種群生長模型對其進(jìn)行模擬，即：

(8)

式中：λ表示增長系數(shù)矩陣。

就其計(jì)算方法而言，一般應(yīng)通過實(shí)際調(diào)查，收集城市不同區(qū)域基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)和社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展等數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸求解[9]，使計(jì)算結(jié)果盡可能擬合實(shí)際情況；M表示n維對角方陣，其對角線上的元素由每個小區(qū)的基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)用地限制與該小區(qū)基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)數(shù)量之差?；喌茫?/p>

(9)

式中：E(l)b表示基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)最大分布向量，其計(jì)算通過式(12)給出。

聯(lián)立式(7)和式(9)得：

(10)

(11)

式中：X，Y，Z為對角矩陣，元素分別表示基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)、服務(wù)產(chǎn)業(yè)和單位人口的用地面積；S，Su分別表示區(qū)域總面積和不能利用的土地面積。

因此，E(l)b的求解表述為以下線性規(guī)劃問題：

MaxE(l)b

s.t.E(l)bX+E(l)b(I-AB)-1Y+

E(l)b(I-AB)-1AZ≤S-Su

E(l)b≥0

(12)

通過上述模型，可解出3個變量Gt，Et和Pt。其中：Gt反映了不同小區(qū)基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)的增長率，也即區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展的速度；Et和Pt則分別反映城市隨著時間t不斷變化著的人口和就業(yè)分布。

2.3 算 法

由上述模型分析可知，該模型算法本質(zhì)上是一個迭代過程，表述如下：

Step 3：判斷t≤T，若是則轉(zhuǎn)Step2，否則轉(zhuǎn)入Step4；

Step 4：終止算法，輸出Et，Pt，Gt。

值得注意的是，A，B為實(shí)際調(diào)查數(shù)據(jù)計(jì)算的結(jié)果，與其它輸入無關(guān)，因此作為已知數(shù)據(jù)給出；λ在模型中采取近似算法，參考式(13)；T為給定時間長度，可理解為規(guī)劃年限，當(dāng)T趨向于無窮大時，可計(jì)算模型的邊界人口和就業(yè)分布。

3 算 例

式中：tij表示從小區(qū)i到j(luò)的距離，且tij由下述矩陣給出(注：tij=tji，表中沒有列出)。

表1 小區(qū)距離數(shù)據(jù)Table 1 Distance data between zones

(續(xù)表1)

1234567891042．006．0010．505．366．009．0010．7251．504．5011．363．006．007．7262．0015．226．683．863．8672．008．3611．3613．0882．003．004．7291．501．72102．00

矩陣[a]中對角元素取值為5，[b]中對角元素取值為0.2。

初始條件：

E(o)b=[4 500,5 000,3 000,2 500,3 500,

9 000,3 000,2 000,3 000,4 000]

土地限制矩陣S-Su取為行向量s(數(shù)據(jù)單位：km2)：s=[18,22,16,15,20,30,15,17,19,20]

X，Y，Z矩陣分別取對角元素為10，3，1的對角矩陣(數(shù)據(jù)單位：m2)。

由式(12)可求出各小區(qū)基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)限制向量E(l)b：

E(l)b=[8 746,11 513,6 028,6 196,8 789,

17 369,7 485,6 746,8 620,9 939]

對于系數(shù)矩陣λ的計(jì)算，在本模型中采用式(13)近似計(jì)算：

λ=diag((E(l)b-E(o)b)./[E(o)b(E(l)b-

(13)

在MATLAB R2011a環(huán)境下，對模型進(jìn)行了模擬求解：

1)取增長系數(shù)矩陣λ=λ1,λ2,λ3對模型進(jìn)行模擬，討論不同系數(shù)矩陣對模型收斂的影響(此時最佳增長系數(shù)矩陣λ1取值參考式(13)且取T=10)。

λ1=diag(0.222 2,0.2,0.333 3,0.4,0.285 7,0.111 1,0.333 3,0.5,0.333 3,0.25)×10-4

λ2=diag(0.3,0.4,0.3,0.5,0.3,0.4,0.3,0.2,

0.3,0.4)×10-4

λ3=diag(0.3,0.4,0.3,0.5,0.3,0.4,0.3,0.2,

0.3,0.4)×10-5

圖1表明在增長系數(shù)矩陣λ取最佳值時(即λ=λ1)各小區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)發(fā)展比較穩(wěn)定，且以正常速度收斂于限制曲線；若增長系數(shù)矩陣λ取值過大(即λ=λ2)，雖然收斂于限制曲線的速度較快，但是各小區(qū)發(fā)展不平衡；若增長系數(shù)矩陣λ取值過小(即λ=λ3)，則以較慢的速度收斂于限制曲線。

圖1 不同增長系數(shù)矩陣下的基礎(chǔ)產(chǎn)業(yè)隨時間變化情況Fig.1 Basic-industry variation with time underdifferent growth factors

2)為敘述的簡便，只給出小區(qū)j=1在上述模型下人口的長期形態(tài)，并檢驗(yàn)其是否收斂于一個極限值，其它小區(qū)人口極限分布同理可求。

由圖2可知，在t﹡=6時人口基本上達(dá)到極值41 357，值得注意的是，理論上達(dá)到極值點(diǎn)對應(yīng)的時間t﹡應(yīng)該等于確定最佳增長系數(shù)矩陣λ所取的時間t。圖2中t﹡≠t(t=10)，主要是由繪圖時人口數(shù)量坐標(biāo)軸坐標(biāo)間隔太大造成的。

圖2 人口隨時間變化Fig.2 Population variation with time

3)考慮增長矩陣Gt與時間的關(guān)系，確定各個時期的基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)速度，為繪圖的方便，在不影響結(jié)果的情況下把增長矩陣Gt轉(zhuǎn)換為向量。

由圖3可以看出兩個明顯的規(guī)律：①隨著時間的增加，增長矩陣取值越來越小，表明就長期而言，基礎(chǔ)設(shè)施總量上逐步增加，但增速逐漸變慢；②增長矩陣(向量)曲線越來越平，說明就長期而言，各小區(qū)逐步開發(fā)完善，人口和土地等得到充分利用。

圖3 增長矩陣隨時間變化Fig.3 Increasing matrix variation with time

4 結(jié)論及展望

從算例的模擬結(jié)果來看，最終就業(yè)分布Et和人口分布Pt較好的滿足了原始勞瑞模型中有關(guān)人口和土地的限制條件，并給出了動態(tài)增長矩陣Gt的算法及其現(xiàn)實(shí)含義：即城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展過程對不同區(qū)域基礎(chǔ)設(shè)施的投資應(yīng)該具有怎樣的規(guī)律，以便達(dá)到城市總體發(fā)展均衡性的要求。但是，有關(guān)模型中參數(shù)的計(jì)算還值得進(jìn)一步研究，如增長系數(shù)矩陣λ最佳值的求解，一般而言要通過搜集實(shí)際數(shù)據(jù)做回歸分析，算例中只提供了考慮時間因素的近似算法。

在實(shí)際的城市發(fā)展過程中，包含兩個方面的內(nèi)容：①對既有的區(qū)域進(jìn)行結(jié)構(gòu)調(diào)整(如居民區(qū)重建、產(chǎn)業(yè)搬遷等)；②進(jìn)行城市擴(kuò)張，實(shí)現(xiàn)多區(qū)域中心發(fā)展。對于結(jié)構(gòu)調(diào)整而言，本模型可用于分析調(diào)整前后人口和就業(yè)的分布情況；對于城市擴(kuò)張，本模型可用于研究新區(qū)投資對人口和就業(yè)的吸引。

本模型的建立可以看成兩個過程：①人口和就業(yè)的產(chǎn)生；②人口在空間的分配。其中人口和就業(yè)的產(chǎn)生是一個自增長的過程，即一定的人口需求產(chǎn)生一定的就業(yè)崗位，就業(yè)又會引起新的人口增長。人口在空間的分布通過構(gòu)建Logit模型，給出人口對居住區(qū)域選擇的概率分布。因此，為使模型更好的模擬現(xiàn)實(shí)城市區(qū)域發(fā)展與人口、就業(yè)分布情形，需要對人口和就業(yè)生產(chǎn)模型及人口分配模型進(jìn)行更加深入的研究。

[1] 龔維永,高建杰,焦海賢.交通空間需求交通系統(tǒng)與土地利用關(guān)系探討[J].重慶交通大學(xué)學(xué)報:社會科學(xué)版,2010,10(6):20-22.

Gong Weiyong,Gao Jianjie,Jiao Haiyan.Discussion on the relationship between spatial traffic demand,traffic system and land-use[J].Journal of Chongqing Jiaotong University:Social Sciences,2010,10(6):20-22.

[2] 李孟學(xué).城市空間結(jié)構(gòu)研究現(xiàn)狀及展望[J].赤峰學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,29(3):131-134.

Li Mengxue.Research status and prospects on urban spatial structure[J].Journal of Chifeng University:Natural Science,2013,29(3):131-134.

[3] 龔維永,高建杰,焦海賢.城市交通空間需求與交通網(wǎng)絡(luò)雙均衡研究[J].重慶交通大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2011,30(3):429-432.

Gong Weiyong,Gao Jianjie,Jiao Haiyan.Study on the bi-directional equalization between urban traffic spatial demands and networks[J].Journal of Chongqing Jiaotong University:Natural Sciences,2011,30(3):429-432.

[4] 陳佩紅,王稼瓊.交通與土地利用模型—勞瑞模型的理論基礎(chǔ)及改進(jìn)形式[J].生產(chǎn)力研究,2007(14):39-44.

Chen Peihong,Wang Jiaqiong.Traffic and using-land model—theoretical basis and improvment of the lowry model[J].Productivity Reserch,2007(14):39-44.

[5] 陸化普.交通規(guī)劃理論與方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,1998.

Lu Huapu.Theory and Method on Transportation Planning[M].Beijing:Tsinghua University Press,1998.

[6] Hutchinson B,Batty M.從城市物質(zhì)模型到經(jīng)濟(jì)模型——勞瑞模型結(jié)構(gòu)的修正[J].楊濤,彭愛新,譯.國外城市規(guī)劃,1996(2):39-44.

Hutchinson B,Batty M.Lowry model improving—based on urban substance and economy[J].Yang Tao,Peng Aixin,translation.Urban Planning Overseas,1996(2):39-44.

[7] Garin R A.A matrix formulation of lowry model for intra-metropolitan activity allocation[J].Journal of the American Institute of Planner,1966,32(4):361-364.

[8] Rogers A.A note on the garin-lowry model[J].Journal of the American Institute of Planners,1966,32(6):364-366.

[9] Giordano F R,Weir M D,Fox W.數(shù)學(xué)建模入門[M].葉其孝,姜啟源,譯.北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2005.

Giordano F R,Weir M D,Fox W.A First Course in Mathematic Modeling[M].Ye Qixiao,Jiang Qiyuan,translation.Beijing:China Machine Press,2005.