形心軸附加彎矩對(duì)四周布筋混凝土墩柱整體受力的分析

王 軍，劉少乾，蘇文明，鄭 罡

(1.重慶交通大學(xué) 土木建筑學(xué)院，重慶400074；2.招商局重慶交通科研設(shè)計(jì)院有限公司，重慶 400067)

0 引 言

地震是人類面臨最嚴(yán)重的自然災(zāi)害之一?？v觀20世紀(jì)70年代以來(lái)世界各地多次大地震對(duì)橋梁造成的破壞情況，可以清楚地發(fā)現(xiàn)，很大一部分橋梁的破壞都與橋墩的破壞有關(guān)，如：墩頂位移預(yù)計(jì)不足而導(dǎo)致的落梁以及墩身、墩底結(jié)點(diǎn)位置開裂。所以，橋墩在地震作用下的性能是橋梁結(jié)構(gòu)抗震研究的重要內(nèi)容之一。

在實(shí)際工程中對(duì)于常見的單柱式橋墩在地震力作用下的性能分析，目前，學(xué)術(shù)上常采用的受力簡(jiǎn)化模式是[1-4]：墩頂受到來(lái)自于橋梁上部結(jié)構(gòu)自身重量所產(chǎn)生的軸壓力N以及由于地震作用引起的墩頂水平慣性力F的共同作用，且忽略墩身的質(zhì)量、地震豎向慣性力以及墩頂位移引起的P-Δ效應(yīng)，同時(shí)墩身各截面的彎矩沿墩高呈直線分布，如圖1。

圖1 橋墩受力示意Fig.1 Force diagram of bridge pier

由于混凝土材料的抗拉強(qiáng)度較小且其在受力過(guò)程中主要承受壓力，因此在實(shí)際工程中，對(duì)于常見的鋼筋混凝土橋墩，當(dāng)其受到由地震作用產(chǎn)生的水平力作用時(shí)，在靠近墩以及墩身的部分截面，由于受拉區(qū)內(nèi)的拉應(yīng)力大于混凝土的抗拉強(qiáng)度而產(chǎn)生開裂，導(dǎo)致截面不再是開裂前的完整截面，開裂截面的中性軸和形心軸都將向受壓區(qū)發(fā)生偏移、截面有效抗彎剛度減小。此時(shí)，對(duì)于墩身開裂截面，作用于墩頂?shù)妮S向壓力N不再是位于截面形心軸上，而仍是位于截面開裂前的形心軸上，故軸向壓力N會(huì)對(duì)開裂截面產(chǎn)生偏心受壓的影響，并對(duì)開裂截面產(chǎn)生附加彎矩作用，該彎矩稱之為形心軸附加彎矩。

1 模型簡(jiǎn)化

圖2 鋼筋混凝土墩柱受力形式示意Fig.2 Force diagram of reinforced concrete pier

對(duì)于常見的鋼筋混凝土構(gòu)件，在彈性范圍內(nèi)可做以下3個(gè)基本假定[6]：

1)平截面假定，即受彎之前的正截面在受彎后仍保持為平面，同時(shí)忽略剪切變形與滑移變形；

2)混凝土的抗拉強(qiáng)度為0，即混凝土受拉后立即開裂；

3)鋼筋與混凝土均為理想的線彈性材料。

為了便于推導(dǎo)、分析，根據(jù)變換截面法[7]，可將構(gòu)件中截面的鋼筋換算成與混凝土彈性模量相同的變換截面，且在推導(dǎo)過(guò)程中忽略混凝土保護(hù)層厚度的影響。于是，四周布筋混凝土墩柱截面的受力情況可簡(jiǎn)化如圖3，圖中：εt表示截面受拉鋼筋邊緣的拉應(yīng)變；εp表示截面受壓鋼筋和混凝土邊緣的壓應(yīng)變；Nst表示受拉鋼筋的拉力；Nsp、Ncp表示受壓區(qū)鋼筋與混凝土的壓力；e表示水平力作用前、后形心軸偏移的距離。

圖3 開裂截面受力示意Fig.3 Force diagram of the cracking section

當(dāng)墩頂只有軸向力N作用時(shí)，此時(shí)墩身的各個(gè)截面都處于全截面受壓狀態(tài)，且墩身所有截面的形心軸都與截面的幾何中心軸重合。當(dāng)墩頂同時(shí)有軸向力N和水平力F作用時(shí)，靠近墩底區(qū)域的部分截面將在受拉區(qū)邊緣出現(xiàn)拉應(yīng)力，根據(jù)第2)條假定，墩底的部分截面一旦出現(xiàn)拉應(yīng)力，截面內(nèi)的混凝土即開裂，截面開裂后受拉區(qū)的拉應(yīng)力完全有受拉鋼筋承擔(dān)，墩身截面開裂后，開裂截面的形心軸、中性軸將同時(shí)向受壓區(qū)偏移。

2 理論推導(dǎo)

形心軸附加彎矩是由于靠近墩底區(qū)域的部分截面開裂、形心軸向受壓區(qū)偏移引起的。為此，在分析形心軸附加彎矩對(duì)墩柱受力和整體剛度的影響之前，先對(duì)形心軸偏移情況進(jìn)行分析。

2.1 開裂截面形心軸偏移分析

對(duì)于簡(jiǎn)化后的混凝土墩柱構(gòu)件，任取墩身截面進(jìn)行分析，當(dāng)墩頂只有軸向力N作用時(shí)，截面處于全截面受壓狀態(tài)，由截面形心軸兩邊的靜矩相等可知其形心軸位于截面的幾何中心軸上，如圖4(a)；當(dāng)墩頂在軸向力N與水平力F共同作用時(shí)，靠近墩底區(qū)域的部分截面受拉后開裂，此時(shí)截面的形心軸向受壓區(qū)偏移，如圖4(b)。

圖4 截面形心軸偏移示意Fig.4 Diagram of deviation of center axis at the cross-section

2.2 截面平衡方程

根據(jù)圖3的截面示意以及力學(xué)理論，截面受拉鋼筋的拉力Nst、受壓鋼筋的壓力Nsp、受壓混凝土的壓力Ncp的表達(dá)式如式(1)：

(1)

截面的平衡方程如式(2)：

(2)

截面的變形協(xié)調(diào)方程如式(3)：

(3)

2.3 形心軸沿墩高方向分布

根據(jù)式(2)可推導(dǎo)出忽略混凝土保護(hù)層厚度時(shí)截面的受壓區(qū)高度與墩高的關(guān)系方程，如式(4)：

(4)

整理后可得：

(5)

對(duì)于式(5)，當(dāng)c=h時(shí)，可求得全截面受壓沿墩高的高度z0，即：

(6)

對(duì)于給定參數(shù)的四周布筋混凝土墩柱，在墩頂水平力F與軸壓力N共同作用下，墩柱中性軸沿墩高分布如圖5。

圖5 截面受壓區(qū)高度沿墩高分布示意Fig.5 Diagram of the cross-section force distributing along with the pier

對(duì)于墩身任一開裂截面，運(yùn)用截面形心軸兩側(cè)的面積矩相等的原理，可求得偏心距與受壓區(qū)高度存在如式(7)關(guān)系：

(7)

式(7)關(guān)于c求導(dǎo)并簡(jiǎn)化后得：

(8)

當(dāng)墩頂在軸向力N與水平力F共同作用時(shí)，根據(jù)圖3中e和c的關(guān)系有：

(9)

將式(7)帶入式(9)得：

(As1+2ρh)(h-2c)-bc2<0

(10)

將式(10)帶入式(8)可知e′<0，即函數(shù)e是關(guān)于變量c的單調(diào)減函數(shù)。

當(dāng)墩高趨于無(wú)窮大或水平力很大時(shí)，式(4)可化簡(jiǎn)為：

bc2+(2As1+4ρh)nc-nAs1h-2nρh2=0

(11)

此時(shí)，墩底截面受壓區(qū)高度趨于最小值c0，即：

c0=

(12)

將式(12)帶入式(7)可得墩底截面形心軸偏移距離為：

(13)

根據(jù)圖3，墩底截面偏心距e0與受壓區(qū)高度c0的關(guān)系為：

(14)

將e0，c0帶入式(14)可得：

d≠0

由分析過(guò)程可知，當(dāng)墩高很高或水平力很大時(shí)，墩底截面的形心軸與中性軸位于同一位置；對(duì)于墩身開裂截面以上的未開裂截面，其截面的形心軸與截面的幾何中心線位于同一位置。因此，由式(7)的單調(diào)關(guān)系以及墩底截面、墩身開裂與未開裂兩個(gè)邊界條件可以畫出橋墩在水平力F與軸壓力N共同作用時(shí)墩柱開裂區(qū)形心軸沿墩高的分布曲線，如圖6中的e=f(c)曲線。此時(shí)，開裂截面由于偏心距的存在，軸壓力與開裂截面的偏心距產(chǎn)生附加彎矩，該附加彎矩對(duì)整個(gè)墩柱的受力和變形都會(huì)產(chǎn)生一定的影響。

圖6 形心軸沿墩高分布及彎矩示意Fig.6 Diagram of center axis distributing along with the pier and bending moment

3 外力彎矩沿墩高方向分布

對(duì)于鋼筋混凝土墩柱構(gòu)件，當(dāng)墩頂受到軸壓力N和水平力F共同作用時(shí)，軸壓力N和水平力F均會(huì)對(duì)墩柱產(chǎn)生彎矩[8]影響。

對(duì)于墩頂水平集中力F，其引起的彎矩為MFi=Fzi，MFi沿墩高呈線性分布， 如圖6。對(duì)于墩頂軸壓力N，其引起的彎矩為MNi=Nei，由于開裂截面的形心軸沿墩高呈曲線分布及軸向壓力N為常量，故MNi沿墩高呈曲線分布，由式(13)可知，墩底截面由軸向壓力N引起的附加彎矩近似為一常量Ne0，且形心軸附加彎矩的方向與集中力F引起的彎矩方向相反，具體曲線分布如圖6。

作用于混凝土墩頂?shù)乃搅大小不同時(shí)，墩身的開裂程度不同，開裂截面的中性軸和受壓區(qū)高度分布也不同。不同大小的水平力F作用下，墩柱的開裂以及總體彎矩分布情況是不同的,在水平力為F1

圖7 不同大小水平力作用下墩柱開裂及彎矩分布示意Fig.7 Diagram of the pier cracking and bending moment with different horizontal forces

從圖7可知，四周布筋的混凝土橋墩所受外力彎矩M隨著墩頂水平力的增加而增大，且在墩身截面開裂區(qū)段顯曲線分布。形心軸附加彎矩在一定程度上能夠抑制墩身的變形。

4 形心軸附加彎矩對(duì)橋墩整體剛度影響

為使得分析結(jié)果簡(jiǎn)單明了，該部分以一個(gè)具體的四周布筋的矩形混凝土橋墩為例，對(duì)其截面剛度特性以及橋墩的整體剛度進(jìn)行分析。橋墩受力模式簡(jiǎn)化后如圖2，其中，墩高H=12 m，截面寬度b=1.5 m、高度h=2.0 m，經(jīng)截面換算后的縱向鋼筋總面積As=0.3 m2，截面上下(沿截面高度方向)兩側(cè)鋼筋的變換面積As1=0.13 m2，截面左右(沿截面寬度方向)兩側(cè)鋼筋的變換面積As2=0.17 m2、鋼筋的寬度ρ=0.043 m，鋼筋四周對(duì)稱布置，軸壓比μ=0.2，材料采用C30混凝土，其抗壓強(qiáng)度設(shè)計(jì)值fcd=13.8 MPa，彈性模量Ec=3×104MPa；縱向鋼筋采用HRB335鋼筋，彈性模量Es=2×105MPa。為便于計(jì)算分析，水平力的加載模式采用集中力單向加載，墩頂水平力F由0逐漸增加的過(guò)程中，當(dāng)墩底截面縱向邊緣受拉鋼筋應(yīng)變?chǔ)舤=0.002時(shí)即發(fā)生屈服，以鋼筋屈服為界，分析其在屈服前的受力特性及截面剛度、整體剛度的變化情況。

經(jīng)計(jì)算，當(dāng)墩底縱向受拉鋼筋的應(yīng)變?chǔ)舤=0.002時(shí)，墩柱開裂截面的受壓區(qū)高度的分布曲線以及截面形心軸沿墩高的分布曲線如圖8，墩柱在不考慮P-Δ效應(yīng)的情況下總彎矩分布如圖8。

圖8 橋墩開裂及彎矩分布Fig.8 Diagram of the pier cracking and bending moment

在分析該混凝土墩柱的整體剛度之前，先對(duì)墩柱的變形進(jìn)行分析，當(dāng)不考慮形心軸附加彎矩的情況下計(jì)算出墩頂?shù)奈灰疲划?dāng)考慮形心軸附加彎矩影響時(shí)計(jì)算出墩頂位移，得到如圖9的水平力-位移曲線。

圖9 橋墩墩頂水平力-位移曲線Fig.9 Diagram of force-displacement curve of the horizontal force at the top of bridge pier

由圖9可知，在墩頂最大水平力作用下，不考慮形心軸附加彎矩情況下的墩頂位移明顯大于考慮形心軸附加彎矩情況下的墩頂位移，這說(shuō)明混凝土墩柱此時(shí)有一定的位移儲(chǔ)備。換句話說(shuō)，在墩頂承受相同的位移時(shí)，考慮形心軸附加彎矩比不考慮形心軸附加彎矩能承受更大的水平力。經(jīng)計(jì)算，考慮形心軸附加彎矩的墩頂位移與不考慮形心軸附加彎矩時(shí)的墩頂位移之差約占不考慮形心軸附加彎矩情況下墩頂位移的20%。圖9曲線上任意一點(diǎn)的割線斜率即為該墩的整體剛度，將兩種情況下的割線斜率繪制成如圖10的墩柱整體剛度變化曲線。

圖10 橋墩歸一化割線剛度變化Fig.10 Diagram of normalization secant stiffness of the bridge pier

從圖10中可以看出，當(dāng)橋墩有水平力F與軸壓力N共同作用時(shí)，混凝土墩柱由于墩身的截面開裂而使混凝土墩柱的整體剛度明顯下降，且當(dāng)考慮形心軸附加彎矩時(shí)，混凝土墩柱整體剛度的退化比不考慮形心軸附加彎矩時(shí)要緩一些，即形心軸附加彎矩具有減緩混凝土墩柱整體剛度退化以及抑制截面開裂作用。

5 結(jié) 論

四周布筋混凝土墩柱在墩頂水平力和軸壓力的共同作用下靠近墩底區(qū)域的部分截面開裂，軸向力引起的形心軸附加彎矩對(duì)混凝土墩柱的受力和變形都有一定的影響。通過(guò)理論分析、推導(dǎo)及具體實(shí)例的計(jì)算，得到如下結(jié)論：

1)當(dāng)計(jì)入形心軸附加彎矩對(duì)墩柱的影響時(shí)，墩柱的總彎矩在靠近墩底的截面開裂區(qū)域呈曲線分布，而不再是直線分布。

2)形心軸附加彎矩具有減緩混凝土墩柱整體剛度退化以及抑制截面開裂作用，與不考慮形心軸附加彎矩影響的混凝土墩柱相比，考慮形心軸附加彎矩可使四周布筋的混凝土墩柱構(gòu)件承受更大的水平力。

3)在水平推力一定的條件下，考慮形心軸附加彎矩時(shí)的墩頂位移小于不考慮形心軸附加彎矩時(shí)的位移，說(shuō)明混凝土墩柱此時(shí)有一定的位移儲(chǔ)備。因此，建議在相關(guān)的抗震研究分析中考慮形心軸附加彎矩對(duì)墩柱變形的影響。

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