模糊聚類分析及其應(yīng)用研究

李新社 姚俊平

（高新技術(shù)研究所 陜西 710025）

0 引言

模糊聚類分析技術(shù)是智能信息處理中的一個(gè)重要研究方向，是用模糊數(shù)學(xué)方法研究聚類問題，模糊聚類算法[1，2]由于具有良好的聚類性能與數(shù)據(jù)表達(dá)能力，已經(jīng)成為近年來研究的熱點(diǎn)，廣泛的應(yīng)用在分析和解決實(shí)際問題當(dāng)中，包括工程、計(jì)算機(jī)科學(xué)、生命和醫(yī)學(xué)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、無導(dǎo)師的學(xué)習(xí)、類型學(xué)分析或劃分。這是由于實(shí)際問題中，一組事物是否屬于某一類常常帶有模糊性，也就是問題的界限不是十分清晰。我們不能明確回答是或否，而只能在某種程度上回答是。聚類分析研究已經(jīng)有幾十年的歷史，它的重要性及與其他研究方向的交叉特性均已得到人們的肯定，其中模糊聚類是數(shù)據(jù)挖掘、模式識(shí)別等研究方向的重要研究內(nèi)容之一，在天氣形勢分類、建筑的水泥適應(yīng)性、漢字職別等方面具有極其重要的作用。本文將模糊聚類分析原理與實(shí)際問題結(jié)合起來，重點(diǎn)研究模糊聚類分析的過程和步驟，特別是聚類過程中參數(shù)的客主觀處理方法。

1 基本概念與定理

定義1 設(shè) R= (rij)n×n是n階模糊方陣，I是n階單位方陣，若R滿足自反性 （ RI≤），對(duì)稱性（ RRT=），傳遞性（ RR≤2），則稱R為模糊等價(jià)矩陣。

定義2 設(shè) R= (rij)n×n是n階模糊方陣，I是n階單位方陣，若R滿足自反性（ RI≤），對(duì)稱性（ RRT=），則稱R為模糊相似矩陣。

定理1 R是n階模糊等價(jià)矩陣? ],1,0[∈?λλR是等價(jià)的布爾矩陣。

定理2設(shè)R是n階模糊等價(jià)矩陣，則 ?0 ≤λ＜ μ≤1,Rμ所決定的分類中的每一個(gè)類是 λR 所決定的分類中的某個(gè)子類。

定理2表明，當(dāng) λ＜ μ時(shí)， Rμ的分類是 Rλ分類的加細(xì)，當(dāng)λ由1變到0時(shí)， Rλ的分類由細(xì)變粗，形成一個(gè)動(dòng)態(tài)的聚類過程。

定理3 設(shè)R是n階模糊相似矩陣，則存在一個(gè)最小的自然數(shù) )( nkk ≤，使得kR 為模糊等價(jià)矩陣，且對(duì)一切大于k的自然數(shù)l，恒有klRR= 。

2 模糊聚類方法與步驟

模糊聚類分析的實(shí)質(zhì)一般是指根據(jù)研究對(duì)象本身的屬性來構(gòu)造模糊矩陣，并在此基礎(chǔ)上根據(jù)一定的隸屬度來確定聚類關(guān)系，即用模糊數(shù)學(xué)方法把樣本之間的模糊關(guān)系定量的確定，從而客觀且準(zhǔn)確地進(jìn)行聚類。但大多數(shù)對(duì)象并沒有嚴(yán)格的類屬性和隸屬關(guān)系，它們?cè)趯傩缘确矫娲嬖谥丿B性和交叉性，具有亦此亦被的性質(zhì)。

（1）建立數(shù)據(jù)矩陣

設(shè)論域 U={ x1,x2,…,xn}為被分類對(duì)象，每個(gè)對(duì)象又由m個(gè)指標(biāo)表示其性狀：

則得到原始數(shù)據(jù)矩陣為 X= (xij)n×m。

在實(shí)際問題中，不同的數(shù)據(jù)一般有不同的量綱，為了使觀察的特征值具有相對(duì)意義，使各特征值取值限定在[0，1]上，需進(jìn)行規(guī)格化處理，方法很多。

（2）建立X上的模糊相似矩陣

鑒別X中xi與xj的接近程度，用[0，1]中的數(shù)rij表示xi與xj的相似程度，得到相似矩陣（rij）n×m，對(duì)其求等價(jià)閉包或等價(jià)類，就可對(duì)X中的元素進(jìn)行分類。這里需要指出的是相似系數(shù)矩陣必須符合自反性、對(duì)稱性要求，可根據(jù)實(shí)際情況選擇數(shù)量積法、夾角余選法、相關(guān)指數(shù)、指數(shù)相似系數(shù)法等。

相關(guān)系數(shù)法

最小最大法

絕對(duì)值指數(shù)法

采用何種方法要根據(jù)具體問題具體性質(zhì)確定。這里注意有些模糊概念不具備此類特點(diǎn)，比如不能根據(jù)信任關(guān)系對(duì)人員分類，因?yàn)樾湃侮P(guān)系不具有對(duì)稱性。

（3）聚類方法

此外，最大樹法和編網(wǎng)法也經(jīng)常用到。

3 模糊聚類方法應(yīng)用

表

每個(gè)環(huán)境單元可以包括空氣、水分、土壤、作物等四個(gè)因素。環(huán)境單元的污染狀況由污染物在四要素中的超限度來描寫。假設(shè)有五個(gè)單元x1，x2，x3，x4，x5，它們的污染數(shù)據(jù)為如表2所示。

數(shù)據(jù)矩陣為

采用最大值規(guī)格化法將數(shù)據(jù)規(guī)格化

用最大最小貼近度法構(gòu)造模糊相似矩陣得到

用平方追趕法可得傳遞閉包

取λ=1，分成5類 {x1} ,{x2},{x3},{x4},{x5}；取λ=0.7，分成4類 {x1} ,{ x2, x4}, {x3},{x5}； 類似處理下去直至合成一類{x1, x2, x4, x3, x5}。動(dòng)態(tài)聚類結(jié)果如圖-1所示。

圖1 動(dòng)態(tài)聚類結(jié)果

上面聚類方法是平方追趕法的應(yīng)用過程，也可直接下從面相似矩陣R出發(fā)，以取λ=0.63為例說明。

在R0.63中，顯然 r14=r24=1，于是{x2，x4}，{x1，x4} 為相似類，所以有公共元素x4的相似類為 {x1，x2，x4}，故分類應(yīng)為{x1，x2，x4}，{x3}，{x5}。

4 模糊聚類應(yīng)用分析

圖2 模糊聚類步驟

模糊聚類步驟可如圖2所示。模糊聚類最終結(jié)論的可靠性或者說參考價(jià)值與三大因素緊密相關(guān)：①樣本選取是否隨機(jī)，是否具有代表性；②規(guī)格化和相似度計(jì)算，特別是相似度計(jì)算；③閾值選取直接決定判斷者的意圖或結(jié)論。如何使模糊聚類分析的結(jié)果更加符合客觀實(shí)際，仍然是今后研究的重點(diǎn)問題。

5 結(jié)論

本文將模糊聚類分析原理與實(shí)際問題結(jié)合起來，重點(diǎn)研究模糊聚類分析的過程和步驟，特別是聚類過程中參數(shù)的客主觀處理方法，并就模糊聚類所存在的一些模糊問題進(jìn)行了討論，同時(shí)指出了未來研究的重點(diǎn)和方向。

[1] 孫吉貴，劉杰，趙連宇.聚類算法研究[J].軟件學(xué)報(bào)，2008，19（1）：48-61.

[2] 王亮，王士同.動(dòng)態(tài)權(quán)值混合C-均值模糊核聚類算法[J].軟件學(xué)報(bào)，2011，28（8）：2852-2855.