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    對(duì)一道課本習(xí)題的思索

    2014-02-26 06:51:28俞相順
    教育觀察 2014年35期
    關(guān)鍵詞:平分證法直角

    俞相順

    (南京市溧水區(qū)石湫中學(xué),江蘇南京,211222)

    一、例題

    在九年級(jí)數(shù)學(xué)的教學(xué)中有這樣一道題:如圖1,在直角梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC的中點(diǎn),DE平分∠ADC,求證:AE平分∠BAD。此題可以用多種方法證明。

    圖1

    (一)證法一,如圖1

    作EF⊥AD,垂足為F

    ∵EC⊥CD,EF⊥AD

    DE平分∠ADC

    ∴EC=EF

    又∵E是BC的中點(diǎn),EB=EC

    ∴EB=EF,且EF⊥AD,EB⊥AB

    ∴ 點(diǎn)E在∠BAD的平分線上

    即AE平分∠BAD

    圖2

    (二)證法二,如圖2

    延長(zhǎng)DE與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F

    ∵EC=EB, ∠C=∠EBF=90°, ∠1=∠2

    ∴ △ECD≌△EBF

    ∴ED=EF, ∠3=∠4

    又∵ ∠3=∠5

    ∴ ∠4=∠5

    ∴ △ADF為等腰三角形,且AE是底邊上的中線

    ∴AE平分∠BAD

    圖3

    (3)證法三,如圖3

    作EF∥AB

    ∵E是BC中點(diǎn)

    ∴F是AD中點(diǎn)

    ∵ ∠1=∠2,∠1=∠3

    ∴ ∠2=∠3

    ∴DF=EF=AF

    ∴ ∠4=∠5

    又∵ ∠4=∠6

    ∴ ∠5=∠6,即AE平分∠BAD

    二、條件與結(jié)論的變式

    初做此題,并未多想,只是覺得它是一道很普通的一題多解題。但在以后的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)這個(gè)基本圖形經(jīng)常出現(xiàn),這引起了筆者進(jìn)一步思考。

    (一)結(jié)論變式

    不難發(fā)現(xiàn)此題還有AE⊥DE,AD=AB+CD這兩個(gè)結(jié)論。在解完此題后對(duì)這兩個(gè)結(jié)論的證明應(yīng)該很容易了。

    (二)條件變式

    如果把題中的直角梯形換成一般梯形,問題還能解決嗎?上面的兩個(gè)結(jié)論還能成立嗎?仔細(xì)思考,會(huì)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)論仍然成立,只不過證明時(shí),不能用證法一來(lái)證明。

    (三)條件和結(jié)論互換變式

    又經(jīng)過一番思考,筆者有了一個(gè)猜想,對(duì)于此題中的五個(gè)條件(或結(jié)論),即EC=EB,DE平分∠ADC,AE平分∠BAD,AE⊥DE,AD=AB+CD,只要知道了其中兩個(gè)就可以用來(lái)證明其他三個(gè),于是又有了以下變式。

    圖4

    變式一:如圖4,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是BC上一點(diǎn),且DE、AF分別平分∠BAD、∠CDA。求證:①AE⊥DE;②E是BC中點(diǎn);③AD=AB+CD。

    變式二:如圖4,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是BC上中點(diǎn),且AE⊥DE。求證:①DE、AF分別平分∠BAD、∠CDA;②AD=AB+CD。

    變式三:如圖4,在梯形ABCD中,AB∥CD,E是BC上中點(diǎn),AD=AB+CD。求證:①AE⊥DE;②DE、AF分別平分∠BAD、∠CDA。

    變式四:如圖4,在梯形ABCD中,AB∥CD,AD=AB+CD,且DE平分∠CDA。求證:①AE⊥DE;②AF平分∠BAD;③E是BC中點(diǎn)。

    變式五:如圖4,在梯形ABCD中,E是BC上的一點(diǎn),AD=AB+CD,且AE⊥DE。求證:①E是BC中點(diǎn);②DE、AF分別平分∠BAD、∠CDA。

    對(duì)以上變式,經(jīng)過論證,意外地發(fā)現(xiàn)前四個(gè)變式都可以證明出來(lái),而只有變式五無(wú)法證明。所用的證明方法就是前面證法的一些逆向思維。

    三、進(jìn)一步思考

    從這道題的一系列變式中可以發(fā)現(xiàn)我們運(yùn)用了許多知識(shí),同時(shí)也可以歸納出一些方法,找到題目中一些規(guī)律性的結(jié)論,可是仍有一個(gè)變式不能證明。再回到原題,筆者又想到了這樣一個(gè)問題,即在滿足條件“一腰等于兩底和”的梯形中,另一腰的中點(diǎn)與前腰兩端點(diǎn)的連線互相垂直且分別平分兩個(gè)底角,在這樣的梯形中,這幾個(gè)關(guān)系應(yīng)達(dá)到一種和諧的統(tǒng)一。但為什么變式五無(wú)法證明呢?把原來(lái)直角梯形這一條件加上去呢?

    已知:如圖5,在直角梯形ABCD中,∠B=∠C=90°,E是BC上一點(diǎn),AD=AB+CD,且DE⊥AE,求證:E是BC中點(diǎn),DE平分∠CDA。

    分析:此題用“同一法”可以證明。

    取AD中點(diǎn)F,過F作FG⊥CB,垂足為G,連接EF

    ∴GF=1/2(AB+CD)=1/2AD

    圖5

    又∵EF=1/2AD

    ∴EF=FG,而FG⊥CD

    ∴FE與FG重合

    ∴FE∥CD

    ∴E是BC中點(diǎn),易證DE平分∠CDA

    由此可見,在一腰等于兩底和的直角梯形中,一定能在另一腰上找到一點(diǎn),使得該點(diǎn)與前腰兩端點(diǎn)連線互相垂直,且這一點(diǎn)必定是該腰的中點(diǎn),也就是說這樣的點(diǎn)有且只有一個(gè)。

    用上面的分析去思考前面無(wú)法證明的變式五,變式五中的圖形其實(shí)就相當(dāng)于將圖6中的BC繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)一定角度得到,如圖9,顯然,此時(shí)⊙F與B1C1有兩個(gè)交點(diǎn),也就是說B1C1上滿足條件ED⊥AE的點(diǎn)E不止一個(gè),這就很好地解釋了為什么變式五無(wú)法證明。

    圖6

    圖7

    圖8

    圖9

    [1] 李德忠,董方英.圓與梯形相珠聯(lián)——對(duì)一道課本習(xí)題的探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2010(7).

    [2] 方先進(jìn),張連姣.習(xí)題·模式·應(yīng)用[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2005(3).

    [3] 端凡俠.從《梯形》中一道習(xí)題得出的重要結(jié)論[J].初中生世界,2004(1).

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