馬特拉算法在遙測數(shù)據(jù)短期預(yù)測中的應(yīng)用

任國恒，朱 變，朱 海

(周口師范學(xué)院計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河南 周口 466001)

0 引 言

遙測數(shù)據(jù)直接反映了衛(wèi)星在軌運行的狀態(tài).衛(wèi)星的遙測數(shù)據(jù)具有非平穩(wěn)變化的特點，而具有非平穩(wěn)性的遙測數(shù)據(jù)的各階常用統(tǒng)計量(如均值、自相關(guān)函數(shù)等)經(jīng)常隨時間的變化而改變[1]，這給遙測數(shù)據(jù)的預(yù)測帶來了很大的困難.傳統(tǒng)的預(yù)測方法，如自回歸模型(Auto-Regressive model，簡稱AR)、自動回歸移動平均模型(Auto-Regressive and Moving Average model，簡稱ARMA)等常用預(yù)測模型，適合處理平穩(wěn)的數(shù)據(jù)[2]，對于非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)不能滿足預(yù)測需要.

筆者通過對衛(wèi)星歷史遙測數(shù)據(jù)分析研究建立適用于非平穩(wěn)時間序列的預(yù)測模型，對遙測參數(shù)的未來趨勢進行短期預(yù)測，通過預(yù)測遙測數(shù)據(jù)序列潛在的故障趨勢，為指導(dǎo)故障發(fā)生前的正確決策提供重要支持[3]，降低衛(wèi)星潛在的風(fēng)險，提高衛(wèi)星運行可靠性.

筆者以衛(wèi)星運行期間太陽翼的輸出功率數(shù)據(jù)為研究對象.太陽翼的輸出功率序列具有隨機性和一定的周期性，這是不同頻率分量的疊加結(jié)果.遙測數(shù)據(jù)的不同頻率分量可分兩部分，即慢變和快變，其中慢變部分反映了序列主體，快變部分體現(xiàn)了序列的細(xì)節(jié)[4].對遙測數(shù)據(jù)進行短期的預(yù)測要求能夠捕捉到在時域上表現(xiàn)瞬時、隨機的分量.由于遙測數(shù)據(jù)的趨勢中心隨時間變化，傳統(tǒng)的時域分析方法不能準(zhǔn)確分析瞬時、隨機的分量變化規(guī)律，而小波分析可對遙測數(shù)據(jù)信號中的頻率分量進行粗細(xì)分離.

1 小波變換相關(guān)工作

采用多分辨率分析思想用小波變換對遙測數(shù)據(jù)序列進行分解，得到反映序列主體變化的低頻分量和代表序列細(xì)節(jié)的高頻部分[5].遙測數(shù)據(jù)原始序列根據(jù)所選擇的小波基函數(shù)和適宜的分解尺度被分解為頻率不同的分量，各分量在長度上與原序列保持一致[6].低頻分量代表原始序列中基本不變的主體部分[7]，即太陽翼基本輸出功率；高頻分量表示原序列中的瞬時、隨機的分量，即太陽翼隨機輸出功率.

1.1 小波基選擇

在工程應(yīng)用中小波函數(shù)除了要滿足容許條件和正則性條件，還要滿足以下3個條件：良好的緊支撐性；Ψ(t)具有消失矩；滿足正交性.常用的小波函數(shù)，如Morlet、Mexican小波函數(shù)不存在尺度函數(shù)，即不滿足正交性；Haar小波在時域上不是連續(xù)的，不適合做小波基.筆者選擇dbN(Daubechies小波)小波函數(shù)做小波基，dbN小波是具有高階消失矩的緊支集正交小波函數(shù)，階數(shù)N的具體取值通過小波變換對實際序列分解的結(jié)果判定.

圖1是某同步衛(wèi)星太陽翼輸出功率序列采用dbN小波在N取1、2、3時進行分解后，近似部分與原序列的比較結(jié)果.N為3時，較好的體現(xiàn)了序列的變化趨勢，且趨勢中的突出點被保留下來；N為1、2時，序列的平滑度不利于分量預(yù)測模型的建立.所以，選擇db3小波作為小波基對原序列進行分解.

圖1 dbN小波分解結(jié)果Fig.1 Decomposition result based on dbN

1.2 分解尺度研究

遙測數(shù)據(jù)的變化是緩變和快變結(jié)合，與之對應(yīng)的是長度周期嵌套.這是時間序列的能量集中分布在一些頻率帶上的結(jié)果[8].因此，將不同的頻率分量分開，使其變化規(guī)律更加直觀.

對遙測序列進行分解結(jié)果是將原序列分解為幾個細(xì)節(jié)部分和一個近似部分.分解尺度偏大，序列的采樣密度會變稀，序列的主體曲線會越來越平滑，導(dǎo)致獲得的近似序列失真；分解尺度若偏小，序列的主體變化趨勢又不太明顯，不易觀察到各分量的變化規(guī)律[9].

圖2是經(jīng)db3小波分解后的近似部分aN在不同尺度下的分解結(jié)果.分析圖2發(fā)現(xiàn)分解尺度

圖2 不同分解尺度下近似部分比較Fig.2 Comparation of aN with different scale

為2時，近似部分的曲線a2已經(jīng)足夠光滑，同時保持了原曲線的形狀；而a3、a4隨著分解次數(shù)的增加，采樣點減少，所得曲線過分平滑，序列的變化趨勢已失真，因此本文選擇的分解尺度為2.

2 基于小波變換的預(yù)測模型構(gòu)建

2.1 周期自回歸模型

若有一時間序列X，表達式為

Xt=a0t+a1tXt-1+…+aptXt-p+εt

(1)

滿足以下條件：

XKT+T=a0T+a1TXKT+T-1+…+

apTXKT+T-p+εKT+T

(2)

a01+a11Xn+…+ap1Xn-p-1

(3)

(4)

對于遙測數(shù)據(jù)分解序列建立一小時預(yù)測模型，選取周期的長度為60，即p=T=60.負(fù)荷序列的PAR模型如式(5)：

(5)

遙測數(shù)據(jù)短期預(yù)測模型共有未知參數(shù)(p+1)T個，記為

a(i)=(a0,i,a1,i,…,a60,i)

(6)

式(5)中的未知參數(shù)可由式(6)確定.已知ai擬合式(5)的殘差平方和定義為

St=

[Xn+k-a0,kXt(k-1)-…-a60,kXt(k-60)]2

(7)

j=0,1,2,…,p

(8)

2.2 遙測數(shù)據(jù)短期預(yù)測模型

利用馬特拉(Mallat)小波變換算法和db3小波基對太陽翼輸出功率數(shù)據(jù)序列進行2尺度的分解，圖3是對4小時內(nèi)的輸出功率負(fù)荷的原始序列和進行分解后的小波分量結(jié)果.

圖3 太陽翼輸出功率數(shù)據(jù)分解結(jié)果Fig.3 Decomposition result of solar panel output power

從圖3可以看出對數(shù)據(jù)進行2尺度分解后，得到的低頻數(shù)據(jù)a2具有較強的周期性，這是因為低頻數(shù)據(jù)反映原序列的主體信息，變化規(guī)律較強；高頻數(shù)據(jù)d1、d2體現(xiàn)原序列的細(xì)節(jié)，是待分解序列中變化較快的部分.

由于分量d1、d2和a2的曲線變化特征不同，應(yīng)根據(jù)不同分量的特點構(gòu)建預(yù)測模型.筆者對各個子序列作如下區(qū)別對待：

(1)主體信息a2周期性顯著，變化相對平緩，對分解得到的15個點進行周期自回歸預(yù)測；

(2)高頻分量d1、d2隨機性較強，為提高預(yù)測的實時性，高頻部分采用二次指數(shù)平滑法進行預(yù)測.

指數(shù)平滑法由R.G.Brown提出，該算法的優(yōu)點是預(yù)測模型構(gòu)建過程中只需少量的歷史數(shù)據(jù)，計算量小，便于實時預(yù)測.模型建立過程中是利用算法對原始時間序列的不規(guī)則性進行平滑，獲得原序列的變化規(guī)律和趨勢，對未來某時刻的數(shù)據(jù)進行預(yù)測，更多的考慮數(shù)據(jù)的更新.指數(shù)平滑法計算公式如式(9)：

Yt=yt=axt -1+(1-a)yt -1

(9)

式(9)中:xt -1、yt -1分別是t-1時刻的實際值和預(yù)測值；yt為t時刻的平滑值；Yt為t時刻的預(yù)測值；a為平滑系數(shù)，取值范圍為0

Yt=yt=

axt+(1-a)[yt -1+(yt -1-yt -2)]

(10)

式(10)中:xt為t時刻的實際值；yt為t時刻的二次指數(shù)平滑預(yù)測值；yt -1、yt -2為t-1時刻的一次指數(shù)平滑值；一次指數(shù)平滑與二次指數(shù)平滑區(qū)別是二次指數(shù)平滑利用一次指數(shù)平滑得到的預(yù)測值來建立預(yù)測模型.二次指數(shù)平滑的預(yù)測模型為：

(11)

指數(shù)平滑法對高頻數(shù)據(jù)預(yù)測時平滑系數(shù)a根據(jù)時間序列的情況在0～1之間選擇.由圖3可以看出高頻數(shù)據(jù)的變化的隨機性很大，筆者在實際計算中將a的取值范圍定在了0.6～0.8，對平滑參數(shù)a取不同值時高頻序列d1、d2進行預(yù)測后的均方根誤差分析發(fā)現(xiàn)，序列d1、d2在a=0.8時，均方根誤差最小，因此，筆者在進行實際計算中取平滑參數(shù)a值為0.8.

針對太陽翼輸出功率所建立的基于Mallat算法的時間序列預(yù)測模型框圖如圖4所示.

圖4 基于Mallat算法的預(yù)測模型框圖Fig.4 Forecasting model based on Mallat algorithm

3 遙測數(shù)據(jù)預(yù)測實例分析

基于構(gòu)建的模型對所研究某衛(wèi)星2011年1月12日11:00至15:00這4小時太陽翼輸出功率為歷史數(shù)據(jù)輸入模型，對未來15:00至16:00這1小時內(nèi)輸出功率進行預(yù)測.圖5為低頻數(shù)據(jù)a2和高頻數(shù)據(jù)d1、d2的預(yù)測結(jié)果.

圖5 低頻數(shù)據(jù)a2和高頻數(shù)據(jù)d1、d2的預(yù)測結(jié)果Fig.5 Prediction result of a2 and d1、d2

對各分量序列進行重構(gòu)的預(yù)測值與原始輸出功率趨勢進行對比的結(jié)果如圖6所示.

圖6 基于Mallat算法的預(yù)測值Fig.6 Forecasting value based on Mallat algorithm

通過實際的太陽翼輸出功率的變化趨勢與預(yù)測值的對比分析發(fā)現(xiàn)預(yù)測結(jié)果的邊界和突變的趨勢不是很理想.

Mallat算法對序列進行分解時，每分解一次都要進行二元抽樣，使得序列不能在每個時間點上建立直觀的尺度關(guān)系，影響了對突變點的預(yù)測.另外，小波變換算法都是建立在多分辨分析的基礎(chǔ)上的，在快速Mallat算法中每次進行小波變換時都把序列看成是無限長的，但是在實際的應(yīng)用中，輸出功率序列是有限的.所以，待預(yù)測序列在經(jīng)Mallat小波變換算法分解時會對序列進行延拓，這就使得在對各個子序列進行重構(gòu)時，小波變換后的低頻部分和高頻部分的數(shù)據(jù)總數(shù)將大于原始輸入序列的長度；并且這種情況在濾波器長度增大時，數(shù)據(jù)量也會隨之增大，顯然會引起邊界數(shù)據(jù)不可信，在重構(gòu)預(yù)測結(jié)果時導(dǎo)致峰值和谷值的預(yù)測誤差也較大.通過上面的分析可知，預(yù)測誤差是由以下3種原因產(chǎn)生的：

(1)用Mallat進行序列分解時因抽樣產(chǎn)生的誤差；

(2)輸入的序列長度有限，而經(jīng)小波變換算法后使各個子序列的長度增加，并將此數(shù)據(jù)作為了各個序列預(yù)測的初始值；

(3)各子序列的預(yù)測結(jié)果進行重構(gòu)時，在進行小波逆變換時并沒進行數(shù)據(jù)的壓縮，沒有實現(xiàn)精確的重構(gòu)從而產(chǎn)生預(yù)測誤差.

Mallat算法自身產(chǎn)生的誤差無法消除，針對后兩種情況的解決方案是在對序列進行分解前，先對序列的邊界進行延拓.在小波分析中常用的邊界延拓方法有零延拓、周期延拓、平滑延拓等.由于太陽翼輸出功率本身就有一定的周期性，所以筆者選用周期延拓對序列進行邊界的延拓，周期延拓的思想是將信號看成是一個周期信號.

具體的處理工作如下：

(1)對序列進行小波變換前先對序列進行邊界延拓，使其成為無限長的序列，讓序列通過濾波器并進行隔點抽樣，保證盡可能不丟失信息的情況下，對各個子序列適當(dāng)?shù)慕厝〉皖l部分和高頻部分，以保證序列的數(shù)據(jù)總量不變；

(2) 在重構(gòu)前先對有限的子序列延拓，然后進行向上的抽樣并濾波，對濾波后的結(jié)果進行適當(dāng)?shù)慕厝。謴?fù)原信號.

圖7 修正后的預(yù)測值Fig.7 Corrected forecasting value

由圖7可以看出，在對序列進行延拓后再做小波變換，所得的預(yù)測結(jié)果要比直接做小波變換所得預(yù)測結(jié)果的邊界吻合效果更加理想.

對筆者提出的預(yù)測模型和常用的指數(shù)平滑模型的性能進行分析評價.以平均絕對誤差、均方值誤差、計算時間、最大誤差為評價的指標(biāo)，分別對未來1小時的輸出功率進行預(yù)測.經(jīng)計算，基于Mallat算法的預(yù)測時間為25.76 s，平均絕對誤差為1.545，最大誤差為5.196，均方根誤差為1.891；指數(shù)平滑模型的預(yù)測時間為18.76 s，平均絕對誤差為1.418，最大誤差為5.996，均方根誤差為2.040.由此可見，筆者提出的預(yù)測模型在預(yù)測精度上具有明顯的優(yōu)勢，預(yù)測時間相對增加的原因是原始序列需要經(jīng)過頻率分解，增加了計算量，但在衛(wèi)星遙測數(shù)據(jù)的短期預(yù)測應(yīng)用中，預(yù)測的精度是預(yù)測模型性能的主要評價指標(biāo).

4 結(jié) 語

筆者依據(jù)衛(wèi)星遙測數(shù)據(jù)短期預(yù)測的要求和意義，對遙測數(shù)據(jù)特性進行了分析，針對遙測數(shù)據(jù)具有非平穩(wěn)性和一定周期性的特點，筆者提出了基于Mallat算法對遙測數(shù)據(jù)序列進行分解的方法，將序列中的分量分解到不同的頻率帶上，非平穩(wěn)序列簡化為變化緩慢的平穩(wěn)序列和一些特殊的序列的分量組合.針對每個分量的變化特點建立合適的時間序列預(yù)測模型對各個子序列進行預(yù)報，并將各個子序列的預(yù)測結(jié)果采用小波變換的逆算法進行重構(gòu)，依據(jù)模型，以歷史輸出功率數(shù)據(jù)為源數(shù)據(jù)對未來1小時的輸出功率進行預(yù)測，并進行驗證分析，得到理想的預(yù)測結(jié)果，表明筆者提出的預(yù)測方法可以有效的解決遙測數(shù)據(jù)的短期預(yù)測問題，滿足了工程應(yīng)用需要.

致 謝

本研究在開展、實驗驗證分析過程中和論文撰寫過程中，西安工業(yè)大學(xué)于帆教授提出了很多寶貴的建議，謹(jǐn)致謝意.感謝國家自然科學(xué)基金委員會對本研究提供的資金支持.

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