中考幾何精析

徐曉東

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：第三學(xué)段（7—9年級）的“空間與圖形”包括四個(gè)方面的內(nèi)容：圖形的認(rèn)識，圖形與變換，圖形與坐標(biāo)，圖形與證明。它們都是圍繞圖形和空間的問題展開，既有內(nèi)在的聯(lián)系，又有各自的特點(diǎn)和側(cè)重。第一，要準(zhǔn)確把握“圖形的認(rèn)識”各部分內(nèi)容的要求，探索圖形的基本性質(zhì)及其相互關(guān)系，進(jìn)一步豐富對空間圖形的認(rèn)識和感受；第二，要恰當(dāng)把握“圖形與變換”的具體目標(biāo)和要求，學(xué)習(xí)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱的基本性質(zhì)，欣賞并體驗(yàn)變換在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用；第三，要準(zhǔn)確定位“圖形與坐標(biāo)”的具體要求，學(xué)習(xí)運(yùn)用坐標(biāo)系確定物體位置的方法，發(fā)展空間觀念；第四，要正確理解“圖形與證明”的具體目標(biāo)，在探索圖形性質(zhì)、與他人合作交流等活動中，發(fā)展合情推理，進(jìn)一步學(xué)習(xí)有條理地思考與表達(dá)，體會和理解證明的必要性，把握好“證明”的范圍和要求，掌握用綜合法證明的格式。

眾所周知，“空間與圖形”包含四個(gè)方面：圖形的認(rèn)識，圖形與變換，圖形與坐標(biāo)，圖形與證明。但從課改卷中可以意識到重點(diǎn)在“圖形的認(rèn)識”和“圖形與變換”以及“圖形與坐標(biāo)”。而“圖形與證明”在《課標(biāo)》中的要求有較大的調(diào)整，主要包括加強(qiáng)合情推理，降低演繹推理的難度和數(shù)量，強(qiáng)調(diào)“理解證明的必要性”，以及“言之有理、落筆有據(jù)”，掌握綜合法證明的格式，初步感受公理化思想。因而，“圖形與證明”不作專題分析。特此說明！

一、圖形的認(rèn)識

考點(diǎn)1：角、相交線與平行線

精析考點(diǎn)：本考點(diǎn)涉及的對象是“空間與圖形”中最簡單的平面圖形——點(diǎn)、線、面和角以及平行、垂直關(guān)系，主要包括線段、射線、直線和角（補(bǔ)角、余角、對頂角）的有關(guān)概念及其表示法、垂線的有關(guān)性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和判定等。本部分內(nèi)容對整個(gè)空間與圖形起到奠基作用。

把握方向：本考點(diǎn)的概念和有關(guān)性質(zhì)較多，其中，線與角是初中平面幾何的基礎(chǔ)知識，是課標(biāo)規(guī)定的“雙基”；相交線與平行線是歷年中考常見的考點(diǎn)，通常以填空題或選擇題的形式考查。利用“垂線段最短”解決實(shí)際問題是重點(diǎn)，特別是近兩年課改卷中出現(xiàn)了探索型的題目，務(wù)必引起關(guān)注。

精典例題：光線以如圖1-1所示的角度α照射以平面鏡Ⅰ上，然后在平面鏡Ⅰ、Ⅱ之間來回反射，已知∠α=600，∠β=500，則∠γ= 。

考點(diǎn)2：三角形

精析考點(diǎn)：本考點(diǎn)的內(nèi)容是“空間與圖形”中直線型部分最重要的內(nèi)容之一，主要內(nèi)容有運(yùn)用三角形三邊關(guān)系、全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形（含等邊三角形）、直角三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理及逆定理等進(jìn)行簡單的計(jì)算或證明。縱觀近幾年全國課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的中考試題，探索性的試題和從豐富的現(xiàn)實(shí)生活情境中抽象出三角形、全等形來解決實(shí)際問題的題型增多。

把握方向：三角形是本考點(diǎn)考查的重要內(nèi)容之一，除注重考查相關(guān)的基礎(chǔ)知識外，也有綜合性較強(qiáng)的大題出現(xiàn)。值得關(guān)注的是，在近幾年課改卷中，三角形的運(yùn)動、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)（如兩塊直角三角板的平移、旋轉(zhuǎn)）、拼接形成新的數(shù)學(xué)問題等操作性、探索性題型比例將逐漸增多。

精典例題：

1.如圖2-1，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形。

請你參考這個(gè)做全等三角形的方法，解答下列問題：

（1）如圖2-2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=600，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2-3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，請問，你在（1）中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

2.如圖3-1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起，現(xiàn)正方形ABCD保持不動，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。

（1）如圖3-2，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過觀察或測量BM、FN的長度，猜想BM、FN滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖3-3所示的位置時(shí)，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。

考點(diǎn)3：四邊形

精析考點(diǎn)：四邊形這一考點(diǎn)在新課標(biāo)中內(nèi)容變化不大，除等腰梯形要求略有降低外，其他內(nèi)容要求沒有多大改變，從整體上來看比以前更為重要。在2006年的全國各地課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的中考試題中，涉及四邊形的考查以證明、計(jì)算、小綜合題稍偏多。重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)和判定；矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定；梯形、等腰梯形、直角梯形的概念；直角梯形的性質(zhì)和判定以及三角形的中位線定理。

把握方向：在新課標(biāo)中由于圓部分知識點(diǎn)的難度逐漸削減，四邊形的重要性日益凸現(xiàn)出來。中考中對平行四邊形的考查大多結(jié)合三角形知識進(jìn)行考查；利用特殊四邊形的面積公式解決一類與面積有關(guān)的幾何問題（應(yīng)用問題）；考查由過去單一的證明演變?yōu)樽C明與計(jì)算的綜合運(yùn)用，也有不少地方出現(xiàn)了特殊四邊形的折疊與旋轉(zhuǎn)性的問題，以及與函數(shù)問題結(jié)合的壓軸問題。題型有填空題、選擇題，更多以計(jì)算、證明或小綜合的解答題以及探索性、幾何動態(tài)形式出現(xiàn)。其中平行四邊形、等腰梯形、矩形、菱形的性質(zhì)考查居多，特別關(guān)注圖形的平移、折疊、旋轉(zhuǎn)等類型的試題。

精典例題：如圖4-①，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD的中點(diǎn)，AF、DE相交于點(diǎn)G，則可得結(jié)論：①AF=DE；②AF⊥DE。（不需要證明）

（1）如圖4-②，若點(diǎn)E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點(diǎn)，但滿足CE=DF.則上面的結(jié)論①、②是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”）endprint

（2）如圖4-③，若點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊CP的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時(shí)上面的結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

（3）如圖4-④，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和EF，A若點(diǎn)M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點(diǎn)，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種？并寫出證明過程。

考點(diǎn)4：圓

精析考點(diǎn)：“圓”這一章新課標(biāo)中改動較大：縮減了課時(shí)，淡化了證明，刪除了相交弦定理、弦切角定理、圓冪定理及正多邊形有關(guān)概念和結(jié)論，圓和圓的位置關(guān)系僅?；靖拍?；重點(diǎn)考查對圓的基本概念、基本性質(zhì)的理解及運(yùn)用，特別是垂徑定理及推論、圓周角定理及推論的運(yùn)用，更注重圖形的變換、探索與應(yīng)用，強(qiáng)化了弧長和扇形面積的計(jì)算（包括圓柱、圓錐側(cè)面積和全面積的計(jì)算）；從2007年全國各地中考課改卷中“圓”的要求有所降低。因此，在“圓”這一章的復(fù)習(xí)中，要按新課標(biāo)的要求進(jìn)行有針對性的復(fù)習(xí).

把握方向：綜合運(yùn)用有關(guān)知識，重計(jì)算、重應(yīng)用的題目出現(xiàn)較多，而證明題逐漸變少，如需證明也常常放在第（1）問，難度較低；而對圓的綜合考查偏重于計(jì)算型與探索型的開放題。圓與三角形、四邊形、函數(shù)、方程、不等式相結(jié)合，且各種形式相互轉(zhuǎn)化的問題已成為新題型的主要考查方向，其中直線與圓的位置關(guān)系的開放題、探索題等題型值得關(guān)注。

圓與圓的五種位置關(guān)系有關(guān)證明要求不高，涉及圓與圓的題目難度逐步降低?；￠L和扇形面積的計(jì)算問題較多而難度不大，主要偏重生活中的應(yīng)用。

精典例題：1.如圖5，已知在⊙O中，直徑MN=10，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在半徑OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=450，則AB的長為 。

2.如圖6，已知等邊△ABC，以邊BC為直徑的半圓與邊AB、AC分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E。過點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為點(diǎn)F。

（1）判斷DF與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

（2）過點(diǎn)F作FH⊥BC，垂足為點(diǎn)H。若等邊△ABC的邊長為4，求FH的長（結(jié)果保留根號）。

考點(diǎn)5：視圖與投影

精析考點(diǎn)：視圖與投影是新課標(biāo)增加的內(nèi)容，與其他內(nèi)容相比，課標(biāo)確定的目標(biāo)難度不大卻與生活緊密聯(lián)系，因此受到全體學(xué)生的歡迎，此類題目若稍作深挖則會偏難。本考點(diǎn)的重點(diǎn)是能識別和會畫簡單幾何體的三視圖，并能應(yīng)用中心投影與平行投影的概念解決有關(guān)實(shí)際問題。

把握方向：這一部分內(nèi)容充滿了趣味性，是近幾年全國各地中考命題的熱點(diǎn)，已經(jīng)有中檔題目出現(xiàn)，而且在試題中的分量逐年上升，但難度估計(jì)會控制在中等以下。

精典例題：1.如圖7-①是一個(gè)正方形毛坯，將其沿一組對面的對角線切去一半，得到一個(gè)工件如圖12-②，對于這個(gè)工件，左視圖、俯視圖正確的一組是（ ）

A.a、b B.b、c C.a、c D.a、d

2.如圖8是一個(gè)長8m、寬和高5m的倉庫，在其內(nèi)壁的A（長的四等分點(diǎn)）處有一只壁虎，B（寬的三等分點(diǎn)）處有一只蚊子，則壁虎爬到蚊子處的最短距離為 m。

二、圖形與變換

考點(diǎn)6：圖形的軸對稱

精析考點(diǎn)：對稱是數(shù)學(xué)中的重要概念，生活中的對稱現(xiàn)象無處不在。新課標(biāo)關(guān)注基本圖形的對稱性及其相關(guān)性質(zhì)，要正確理解軸對稱與軸對稱圖形的聯(lián)系和區(qū)別，掌握軸對稱圖形的性質(zhì)，能根據(jù)要求正確地做出軸對稱圖形，并能利用軸對稱性質(zhì)進(jìn)行簡單的圖案設(shè)計(jì)；要注重生活中的軸對稱圖形的研究，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)際運(yùn)用。

把握方向：對稱的重要性，決定了該內(nèi)容的重要地位。近幾年來，各地中考命題更加注重對稱與實(shí)際生活的聯(lián)系，考查的分值也逐年增加；主要以選擇題、填空題和動手操作題等題型出現(xiàn)，內(nèi)容以圖形欣賞、設(shè)計(jì)（畫圖）與探索、剪貼、折疊及利用對稱的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行簡單計(jì)算與證明為主。

精典例題：將一張紙片沿任一方向翻折，得到折痕AB（如圖9-1）；再翻折一次，得到折痕OC（如圖9-2）；翻折使OA與OC重合，得到折痕OD（如圖9-3）；最后翻折使OB與OC重合，得到折痕OE（如圖9-4）。展開恢復(fù)成圖1形狀，則∠DOE的大小是 度。

考點(diǎn)7：圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

精析考點(diǎn)：圖形的平移與旋轉(zhuǎn)的這一部分內(nèi)容是課標(biāo)新增內(nèi)容（如圖形旋轉(zhuǎn)），還有一部分（如坐標(biāo)與圖形平移）的內(nèi)容，是原來人教版教科書沒有的知識點(diǎn).作為一個(gè)基本的知識點(diǎn)，多數(shù)以單獨(dú)成題，具有一定的靈活性，受到目前中考命題者的青睞。

把握方向：作為一個(gè)新的知識點(diǎn)，試卷的難度不大。從現(xiàn)有的課改區(qū)中考數(shù)學(xué)試題中可以看到，涉及這個(gè)考點(diǎn)的內(nèi)容多以選擇、填空出現(xiàn)；要注重對網(wǎng)格或坐標(biāo)內(nèi)圖形的變換試題的研究，熟練掌握其常用的解題方法，試題本身不難，但對于學(xué)生分析、觀察圖形能力還是有一定的要求；特別要關(guān)注圖形與變換的創(chuàng)新題，弄清其本質(zhì)，掌握其基本解題方法，如動手操作法、折疊法、旋轉(zhuǎn)法等。

精典例題：1.如圖10，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=450，AB=10cm，CD=4cm。等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點(diǎn)與N點(diǎn)重合，MN和AB在一條直線上，設(shè)等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動，直到點(diǎn)N與點(diǎn)B重合為止。

（1）等腰直角三角形PMN在整個(gè)移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由 形變化為 形。

（2）設(shè)當(dāng)?shù)妊苯侨切蜳MN移動x（s）時(shí)，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm2），求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式。

（3）x=4（s），求等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積。

2.如圖11-1所示，一張三角形紙片ABC，∠ACB=900，AC=8，BC=6。沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC1D1和△BC2D2兩個(gè)三角形（如圖11-2所示），將紙片△AC1D1沿直線D2B（AB）方向平移（點(diǎn)A、D1、D2、B始終在一條直線上），當(dāng)點(diǎn)D1與點(diǎn)B重合時(shí)，停止平移。在平移的過程中，C1D1與BC2交于點(diǎn)E，AC1與C2D2、BC2分別交于點(diǎn)F、P。endprint

（1）當(dāng)△AC1D1平移到如圖11-3所示的位置時(shí)，猜想圖中D1E與D2F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。

（2）設(shè)平移距離D2D1為x，△AC1D1與△BC2D2重疊部分的面積為y，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量x的取值范圍。

（3）對于（2）中結(jié)論是否存在這樣的x，使得重疊部分面積等于原△ABC紙片面積的 ？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由。

考點(diǎn)8：圖形的相似

精析考點(diǎn)：圖形的相似是一個(gè)傳統(tǒng)考點(diǎn)，新教材中加強(qiáng)了位似、黃金分割等內(nèi)容，降低了證明的要求，又把銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識點(diǎn)結(jié)合在一起，形成了一些新的變化。該內(nèi)容的概念、性質(zhì)、結(jié)論較多，要求學(xué)生結(jié)合圖形理解知識的來龍去脈，形成一定的體系，并能靈活運(yùn)用圖形的相似解決一些實(shí)際問題如利用相似測量旗桿或建筑物的高度）。

把握方向：本節(jié)的概念、性質(zhì)、定理都是研究相似形的理論基礎(chǔ)，在中考試卷中有一定的分量，是平面幾何中極為重要的內(nèi)容，是中考的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，重在基礎(chǔ)。利用圖形的相似解決一些實(shí)際問題，并進(jìn)行一些簡單的計(jì)算和證明。專門考查相似形和三角函數(shù)的解答題不是很多，但主要在綜合題中以探究性、開放性的形式出現(xiàn)，題型新穎，應(yīng)用廣泛，常與圓、三角形、四邊形、函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查，分值較大。

精典例題：1.在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l有 條。

2.如圖12，學(xué)習(xí)小組選一名身高CD為1.6m的同學(xué)直立于旗桿AB影子的頂端F處，其他人分為兩部分，一部分同學(xué)測量出該同學(xué)的影長DE為1.2m，另一部分同學(xué)測量同一時(shí)刻旗桿的影長BF為9m，那么該旗桿AB的高度是 m。

三、圖形與坐標(biāo)

考點(diǎn)9：圖形與坐標(biāo)

精析考點(diǎn)：圖形與坐標(biāo)是新教材加強(qiáng)的地方，淡化了坐標(biāo)的代數(shù)性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)了坐標(biāo)與圖形的聯(lián)系，形式多樣，一般不難。

把握方向：“圖形與坐標(biāo)”的內(nèi)容中，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用坐標(biāo)系確定物體位置，感受圖形變換后點(diǎn)坐標(biāo)的變化。作為中考內(nèi)容，以選擇題、填空題、作圖題等題型出現(xiàn)較多，且與平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等相結(jié)合，重點(diǎn)考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，難度不大，最高只達(dá)到小綜合。

精典例題：如圖13，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0）， （2，3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（ ）。

A.（3，7） B.（5，3） C.（7，3） D.（8，2）

四、綜合應(yīng)用

考點(diǎn)10：空間與圖形綜合

精析考點(diǎn)：新教材中的“幾何”被改稱“空間與圖形”，“幾何”拓展為“空間與圖形”是數(shù)學(xué)課程改革的一種國際趨勢?！翱臻g與圖形”與過去初中幾何相比更加強(qiáng)調(diào)了變換，同時(shí)把坐標(biāo)從代數(shù)移入到這里。

把握方向：新教材以“圖形的認(rèn)識、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明”等四條線索展開，增加了圖形變換、位置的確定、視圖與投影等內(nèi)容。

新教材注重對證明的理解，不追求證明的數(shù)量和技巧。減少了定理的數(shù)量，削弱了定理的證明，淡化了證明的技巧，降低了證明的難度，刪去了大量繁難的幾何證明題。

這種新的觀念必將深刻地影響“空間與圖形”的命題，改變傳統(tǒng)的命題方式和內(nèi)容，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注“觀察歸納型、實(shí)驗(yàn)操作型、開放探究型、閱讀理解型、方案設(shè)計(jì)與決策型”的題型。注重平移、旋轉(zhuǎn)、折疊（軸對稱）等題型的變換問題。

精典例題：已知，將一幅三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖14-1擺放，點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點(diǎn)。將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α即∠BCE=α0（00<α<900），在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE、AC相交于點(diǎn)M，直線DF、BC相交于點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H。

（1）當(dāng)α=300時(shí)（如圖14-2），求證：AG=DH。

（2）當(dāng)α=600時(shí)（如圖14-3），（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并說明理由。

（3）當(dāng)00<α<900時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并根據(jù)圖14-4說明理由。

五、變式訓(xùn)練，輕松備考

眾所周知，近幾年，隨著新課程改革的不斷深入，逐步推廣和實(shí)施《新課程標(biāo)準(zhǔn)》，在全國各地的中考試卷中，都將出現(xiàn)大量具有銳意進(jìn)取、推陳創(chuàng)新、充滿時(shí)代氣息的好試題。其構(gòu)造新穎、構(gòu)思精細(xì)、設(shè)計(jì)巧妙、令人敬佩。難道這么多的好試題是命題者憑空想象出來的嗎？顯然不是。那么他們是如何經(jīng)過巧妙的構(gòu)思而設(shè)計(jì)出新穎的好試題呢？其實(shí)，命題者就是通過變化習(xí)題中圖形的形狀、大小、位置關(guān)系而設(shè)計(jì)出一些具有特色的新試題。

變式訓(xùn)練一般有以下五種方法：變換原命題的題設(shè)與結(jié)論。②變換圖形、探究數(shù)量間的關(guān)系。③變換圖形、探究規(guī)律問題。④變換圖形、探究變量間的函數(shù)關(guān)系。⑤將習(xí)題變式、整合、改造與創(chuàng)新。

精典例題：如圖15（甲）是邊長分別為6 cm和3cm的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和DEF疊放在一起C（C與D重合）。

（1）操作：固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300得到△DEF連接AF/、BE/，CE/的延長線交AB與C。（圖15乙）

探究：在圖15（乙）中，線段BE/與AF/之間有何等量關(guān)系？并證明你的猜想。

（2）操作：將圖15（乙）中的△DE/F/，在線段CG上沿著CG方向以每秒1cm的速度平移，平移后的三角形設(shè)△PQR。（圖15丙）

探究：設(shè)△PQR移動的時(shí)間為x秒，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，

求y與x之間的函數(shù)解析式；并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍。

（3）操作：圖15（甲）中△DEF固定，先將△ABC向左平移2cm，然后將△ABC繞C點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α即（ ），其中邊BC交EF于點(diǎn)M，邊AC交DF于點(diǎn)。（圖15?。?/p>

探究：在圖15（丁）中，線段DN·EM的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請你求出DN·EM的值；如果有變化，請說明理由。

中考新試題的出現(xiàn)，并不是無源之水，無本之木。其根源就在課內(nèi)，源于教材而變于教材。只要我們認(rèn)真學(xué)習(xí)教材，探究教材，鉆研教材的深度和廣度，歸類收集和整理全國各地課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的中考試題，強(qiáng)化習(xí)題的多種變式訓(xùn)練，了解習(xí)題變式之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握例題、習(xí)題、試題的變化方法，探究它們的變化規(guī)律，就能跳出題海，舉一反三，取得事半功倍的顯著效果。

（作者單位：江蘇溧陽市實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）endprint

（1）當(dāng)△AC1D1平移到如圖11-3所示的位置時(shí)，猜想圖中D1E與D2F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。

（2）設(shè)平移距離D2D1為x，△AC1D1與△BC2D2重疊部分的面積為y，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量x的取值范圍。

（3）對于（2）中結(jié)論是否存在這樣的x，使得重疊部分面積等于原△ABC紙片面積的 ？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由。

考點(diǎn)8：圖形的相似

精析考點(diǎn)：圖形的相似是一個(gè)傳統(tǒng)考點(diǎn)，新教材中加強(qiáng)了位似、黃金分割等內(nèi)容，降低了證明的要求，又把銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識點(diǎn)結(jié)合在一起，形成了一些新的變化。該內(nèi)容的概念、性質(zhì)、結(jié)論較多，要求學(xué)生結(jié)合圖形理解知識的來龍去脈，形成一定的體系，并能靈活運(yùn)用圖形的相似解決一些實(shí)際問題如利用相似測量旗桿或建筑物的高度）。

把握方向：本節(jié)的概念、性質(zhì)、定理都是研究相似形的理論基礎(chǔ)，在中考試卷中有一定的分量，是平面幾何中極為重要的內(nèi)容，是中考的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，重在基礎(chǔ)。利用圖形的相似解決一些實(shí)際問題，并進(jìn)行一些簡單的計(jì)算和證明。專門考查相似形和三角函數(shù)的解答題不是很多，但主要在綜合題中以探究性、開放性的形式出現(xiàn)，題型新穎，應(yīng)用廣泛，常與圓、三角形、四邊形、函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查，分值較大。

精典例題：1.在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l有 條。

2.如圖12，學(xué)習(xí)小組選一名身高CD為1.6m的同學(xué)直立于旗桿AB影子的頂端F處，其他人分為兩部分，一部分同學(xué)測量出該同學(xué)的影長DE為1.2m，另一部分同學(xué)測量同一時(shí)刻旗桿的影長BF為9m，那么該旗桿AB的高度是 m。

三、圖形與坐標(biāo)

考點(diǎn)9：圖形與坐標(biāo)

精析考點(diǎn)：圖形與坐標(biāo)是新教材加強(qiáng)的地方，淡化了坐標(biāo)的代數(shù)性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)了坐標(biāo)與圖形的聯(lián)系，形式多樣，一般不難。

把握方向：“圖形與坐標(biāo)”的內(nèi)容中，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用坐標(biāo)系確定物體位置，感受圖形變換后點(diǎn)坐標(biāo)的變化。作為中考內(nèi)容，以選擇題、填空題、作圖題等題型出現(xiàn)較多，且與平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等相結(jié)合，重點(diǎn)考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，難度不大，最高只達(dá)到小綜合。

精典例題：如圖13，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0）， （2，3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（ ）。

A.（3，7） B.（5，3） C.（7，3） D.（8，2）

四、綜合應(yīng)用

考點(diǎn)10：空間與圖形綜合

精析考點(diǎn)：新教材中的“幾何”被改稱“空間與圖形”，“幾何”拓展為“空間與圖形”是數(shù)學(xué)課程改革的一種國際趨勢?！翱臻g與圖形”與過去初中幾何相比更加強(qiáng)調(diào)了變換，同時(shí)把坐標(biāo)從代數(shù)移入到這里。

把握方向：新教材以“圖形的認(rèn)識、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明”等四條線索展開，增加了圖形變換、位置的確定、視圖與投影等內(nèi)容。

新教材注重對證明的理解，不追求證明的數(shù)量和技巧。減少了定理的數(shù)量，削弱了定理的證明，淡化了證明的技巧，降低了證明的難度，刪去了大量繁難的幾何證明題。

這種新的觀念必將深刻地影響“空間與圖形”的命題，改變傳統(tǒng)的命題方式和內(nèi)容，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注“觀察歸納型、實(shí)驗(yàn)操作型、開放探究型、閱讀理解型、方案設(shè)計(jì)與決策型”的題型。注重平移、旋轉(zhuǎn)、折疊（軸對稱）等題型的變換問題。

精典例題：已知，將一幅三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖14-1擺放，點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點(diǎn)。將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α即∠BCE=α0（00<α<900），在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE、AC相交于點(diǎn)M，直線DF、BC相交于點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H。

（1）當(dāng)α=300時(shí)（如圖14-2），求證：AG=DH。

（2）當(dāng)α=600時(shí)（如圖14-3），（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并說明理由。

（3）當(dāng)00<α<900時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并根據(jù)圖14-4說明理由。

五、變式訓(xùn)練，輕松備考

眾所周知，近幾年，隨著新課程改革的不斷深入，逐步推廣和實(shí)施《新課程標(biāo)準(zhǔn)》，在全國各地的中考試卷中，都將出現(xiàn)大量具有銳意進(jìn)取、推陳創(chuàng)新、充滿時(shí)代氣息的好試題。其構(gòu)造新穎、構(gòu)思精細(xì)、設(shè)計(jì)巧妙、令人敬佩。難道這么多的好試題是命題者憑空想象出來的嗎？顯然不是。那么他們是如何經(jīng)過巧妙的構(gòu)思而設(shè)計(jì)出新穎的好試題呢？其實(shí)，命題者就是通過變化習(xí)題中圖形的形狀、大小、位置關(guān)系而設(shè)計(jì)出一些具有特色的新試題。

變式訓(xùn)練一般有以下五種方法：變換原命題的題設(shè)與結(jié)論。②變換圖形、探究數(shù)量間的關(guān)系。③變換圖形、探究規(guī)律問題。④變換圖形、探究變量間的函數(shù)關(guān)系。⑤將習(xí)題變式、整合、改造與創(chuàng)新。

精典例題：如圖15（甲）是邊長分別為6 cm和3cm的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和DEF疊放在一起C（C與D重合）。

（1）操作：固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300得到△DEF連接AF/、BE/，CE/的延長線交AB與C。（圖15乙）

探究：在圖15（乙）中，線段BE/與AF/之間有何等量關(guān)系？并證明你的猜想。

（2）操作：將圖15（乙）中的△DE/F/，在線段CG上沿著CG方向以每秒1cm的速度平移，平移后的三角形設(shè)△PQR。（圖15丙）

探究：設(shè)△PQR移動的時(shí)間為x秒，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，

求y與x之間的函數(shù)解析式；并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍。

（3）操作：圖15（甲）中△DEF固定，先將△ABC向左平移2cm，然后將△ABC繞C點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α即（ ），其中邊BC交EF于點(diǎn)M，邊AC交DF于點(diǎn)。（圖15?。?/p>

探究：在圖15（丁）中，線段DN·EM的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請你求出DN·EM的值；如果有變化，請說明理由。

中考新試題的出現(xiàn)，并不是無源之水，無本之木。其根源就在課內(nèi)，源于教材而變于教材。只要我們認(rèn)真學(xué)習(xí)教材，探究教材，鉆研教材的深度和廣度，歸類收集和整理全國各地課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的中考試題，強(qiáng)化習(xí)題的多種變式訓(xùn)練，了解習(xí)題變式之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握例題、習(xí)題、試題的變化方法，探究它們的變化規(guī)律，就能跳出題海，舉一反三，取得事半功倍的顯著效果。

（作者單位：江蘇溧陽市實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）endprint

（1）當(dāng)△AC1D1平移到如圖11-3所示的位置時(shí)，猜想圖中D1E與D2F的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想。

（2）設(shè)平移距離D2D1為x，△AC1D1與△BC2D2重疊部分的面積為y，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，以及自變量x的取值范圍。

（3）對于（2）中結(jié)論是否存在這樣的x，使得重疊部分面積等于原△ABC紙片面積的 ？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由。

考點(diǎn)8：圖形的相似

精析考點(diǎn)：圖形的相似是一個(gè)傳統(tǒng)考點(diǎn)，新教材中加強(qiáng)了位似、黃金分割等內(nèi)容，降低了證明的要求，又把銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識點(diǎn)結(jié)合在一起，形成了一些新的變化。該內(nèi)容的概念、性質(zhì)、結(jié)論較多，要求學(xué)生結(jié)合圖形理解知識的來龍去脈，形成一定的體系，并能靈活運(yùn)用圖形的相似解決一些實(shí)際問題如利用相似測量旗桿或建筑物的高度）。

把握方向：本節(jié)的概念、性質(zhì)、定理都是研究相似形的理論基礎(chǔ)，在中考試卷中有一定的分量，是平面幾何中極為重要的內(nèi)容，是中考的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，重在基礎(chǔ)。利用圖形的相似解決一些實(shí)際問題，并進(jìn)行一些簡單的計(jì)算和證明。專門考查相似形和三角函數(shù)的解答題不是很多，但主要在綜合題中以探究性、開放性的形式出現(xiàn)，題型新穎，應(yīng)用廣泛，常與圓、三角形、四邊形、函數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行考查，分值較大。

精典例題：1.在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作直線l，使截得的三角形與原三角形相似，這樣的直線l有 條。

2.如圖12，學(xué)習(xí)小組選一名身高CD為1.6m的同學(xué)直立于旗桿AB影子的頂端F處，其他人分為兩部分，一部分同學(xué)測量出該同學(xué)的影長DE為1.2m，另一部分同學(xué)測量同一時(shí)刻旗桿的影長BF為9m，那么該旗桿AB的高度是 m。

三、圖形與坐標(biāo)

考點(diǎn)9：圖形與坐標(biāo)

精析考點(diǎn)：圖形與坐標(biāo)是新教材加強(qiáng)的地方，淡化了坐標(biāo)的代數(shù)性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)了坐標(biāo)與圖形的聯(lián)系，形式多樣，一般不難。

把握方向：“圖形與坐標(biāo)”的內(nèi)容中，強(qiáng)調(diào)運(yùn)用坐標(biāo)系確定物體位置，感受圖形變換后點(diǎn)坐標(biāo)的變化。作為中考內(nèi)容，以選擇題、填空題、作圖題等題型出現(xiàn)較多，且與平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等相結(jié)合，重點(diǎn)考查平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征，難度不大，最高只達(dá)到小綜合。

精典例題：如圖13，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別是（0，0），（5，0）， （2，3），則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（ ）。

A.（3，7） B.（5，3） C.（7，3） D.（8，2）

四、綜合應(yīng)用

考點(diǎn)10：空間與圖形綜合

精析考點(diǎn)：新教材中的“幾何”被改稱“空間與圖形”，“幾何”拓展為“空間與圖形”是數(shù)學(xué)課程改革的一種國際趨勢?！翱臻g與圖形”與過去初中幾何相比更加強(qiáng)調(diào)了變換，同時(shí)把坐標(biāo)從代數(shù)移入到這里。

把握方向：新教材以“圖形的認(rèn)識、圖形與變換、圖形與坐標(biāo)、圖形與證明”等四條線索展開，增加了圖形變換、位置的確定、視圖與投影等內(nèi)容。

新教材注重對證明的理解，不追求證明的數(shù)量和技巧。減少了定理的數(shù)量，削弱了定理的證明，淡化了證明的技巧，降低了證明的難度，刪去了大量繁難的幾何證明題。

這種新的觀念必將深刻地影響“空間與圖形”的命題，改變傳統(tǒng)的命題方式和內(nèi)容，應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注“觀察歸納型、實(shí)驗(yàn)操作型、開放探究型、閱讀理解型、方案設(shè)計(jì)與決策型”的題型。注重平移、旋轉(zhuǎn)、折疊（軸對稱）等題型的變換問題。

精典例題：已知，將一幅三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖14-1擺放，點(diǎn)E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點(diǎn)。將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α即∠BCE=α0（00<α<900），在旋轉(zhuǎn)過程中，直線DE、AC相交于點(diǎn)M，直線DF、BC相交于點(diǎn)N，分別過點(diǎn)M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H。

（1）當(dāng)α=300時(shí)（如圖14-2），求證：AG=DH。

（2）當(dāng)α=600時(shí)（如圖14-3），（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并說明理由。

（3）當(dāng)00<α<900時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？請寫出你的結(jié)論，并根據(jù)圖14-4說明理由。

五、變式訓(xùn)練，輕松備考

眾所周知，近幾年，隨著新課程改革的不斷深入，逐步推廣和實(shí)施《新課程標(biāo)準(zhǔn)》，在全國各地的中考試卷中，都將出現(xiàn)大量具有銳意進(jìn)取、推陳創(chuàng)新、充滿時(shí)代氣息的好試題。其構(gòu)造新穎、構(gòu)思精細(xì)、設(shè)計(jì)巧妙、令人敬佩。難道這么多的好試題是命題者憑空想象出來的嗎？顯然不是。那么他們是如何經(jīng)過巧妙的構(gòu)思而設(shè)計(jì)出新穎的好試題呢？其實(shí)，命題者就是通過變化習(xí)題中圖形的形狀、大小、位置關(guān)系而設(shè)計(jì)出一些具有特色的新試題。

變式訓(xùn)練一般有以下五種方法：變換原命題的題設(shè)與結(jié)論。②變換圖形、探究數(shù)量間的關(guān)系。③變換圖形、探究規(guī)律問題。④變換圖形、探究變量間的函數(shù)關(guān)系。⑤將習(xí)題變式、整合、改造與創(chuàng)新。

精典例題：如圖15（甲）是邊長分別為6 cm和3cm的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和DEF疊放在一起C（C與D重合）。

（1）操作：固定△ABC，將△DEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)300得到△DEF連接AF/、BE/，CE/的延長線交AB與C。（圖15乙）

探究：在圖15（乙）中，線段BE/與AF/之間有何等量關(guān)系？并證明你的猜想。

（2）操作：將圖15（乙）中的△DE/F/，在線段CG上沿著CG方向以每秒1cm的速度平移，平移后的三角形設(shè)△PQR。（圖15丙）

探究：設(shè)△PQR移動的時(shí)間為x秒，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，

求y與x之間的函數(shù)解析式；并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍。

（3）操作：圖15（甲）中△DEF固定，先將△ABC向左平移2cm，然后將△ABC繞C點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α即（ ），其中邊BC交EF于點(diǎn)M，邊AC交DF于點(diǎn)。（圖15丁）

探究：在圖15（?。┲校€段DN·EM的值是否隨α的變化而變化？如果沒有變化，請你求出DN·EM的值；如果有變化，請說明理由。

中考新試題的出現(xiàn)，并不是無源之水，無本之木。其根源就在課內(nèi)，源于教材而變于教材。只要我們認(rèn)真學(xué)習(xí)教材，探究教材，鉆研教材的深度和廣度，歸類收集和整理全國各地課改實(shí)驗(yàn)區(qū)的中考試題，強(qiáng)化習(xí)題的多種變式訓(xùn)練，了解習(xí)題變式之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握例題、習(xí)題、試題的變化方法，探究它們的變化規(guī)律，就能跳出題海，舉一反三，取得事半功倍的顯著效果。

（作者單位：江蘇溧陽市實(shí)驗(yàn)初級中學(xué)）endprint