漸開線圓柱斜齒輪的齒廓方程推導(dǎo)

關(guān)欣 關(guān)德穎

1遼寧廣播電視大學(xué) （沈陽 110034） 2朝陽工程技術(shù)學(xué)校 （朝陽 122000）

漸開線斜齒輪的齒廓曲線方程、端法面參數(shù)關(guān)系、幾何尺寸關(guān)系以及正確嚙合條件共同構(gòu)成漸開線斜齒輪的數(shù)學(xué)模型。基于該數(shù)學(xué)模型，可以在各CAD軟件中建立精確的漸開線圓柱斜齒輪三維模型，并可以驗(yàn)證其他模型的精確性。

1 齒廓曲線方程

漸開線圓柱斜齒輪的齒廓曲面為螺旋漸開面。螺旋漸開面的生成機(jī)理是：平面沿一圓柱（稱為基圓柱，半徑為rb）面滾動(dòng)，則S上的一條與該圓柱軸線呈βb角的直線KK在運(yùn)動(dòng)過程中就形成了螺旋漸開面（圖1）。

圖1 螺旋漸開面生成機(jī)理

在半徑大于基圓柱的任何圓柱面上，此曲面的截線為螺旋線。螺旋漸開面被不同半徑的圓柱面所截得的螺旋線有不同的螺旋角，滿足：

其中βb稱為基圓螺旋角，下標(biāo)K表示基圓柱外任意圓柱面。

斜齒輪的齒廓曲面就是螺旋漸開面被齒頂圓柱面、齒根圓柱面所截的部分。

如圖2所示，斜齒輪的端面齒形由以下兩個(gè)部分組成：a-b段為漸開線齒廓，由刀具的直線部分范成得到；b-c段為齒根過渡曲線，由刀具的圓角部分范成得到。c-c段為齒輪的齒根圓，實(shí)際齒輪的這一段齒廓線存在與否取決于所選擇加工刀具的形式[1]。

圖2 斜齒輪端面齒形圖

實(shí)際上，斜齒輪的端面齒形與直齒輪相似，只是各參數(shù)不再是標(biāo)準(zhǔn)值，所以采用直齒輪的齒形為例來推導(dǎo)斜齒輪端面相關(guān)曲線的方程與參數(shù)表達(dá)式。斜齒輪的端面齒形由漸開線部分、過渡曲線部分以及齒根、齒頂圓弧組成。其中漸開線部分齒廓是保證齒輪傳動(dòng)比不變的關(guān)鍵因素，是保證精確建模的前提。

當(dāng)一條直線在圓周上作純滾動(dòng)時(shí)，直線上任意一點(diǎn)的軌跡稱為該圓的漸開線；這個(gè)圓稱為漸開線的基圓，它的半徑用rb表示；直線BK稱為漸開線的發(fā)生線；K為漸開線上的任意一點(diǎn)，它的向徑用rk表示，漸開線AK段的展角用θk表示；漸開線在K點(diǎn)的壓力角用αk表示。

圖3 漸開線發(fā)生機(jī)理

由漸開線發(fā)生機(jī)理，可以得到漸開線在極坐標(biāo)下的方程：

經(jīng)過轉(zhuǎn)化得到漸開線的直角坐標(biāo)方程：

注意到（4）、（5）均是在自由坐標(biāo)系下生成的，沒有考慮到加工過程。以齒輪中心為原點(diǎn)，齒輪某齒齒厚對稱線為y軸，建立如圖4所示的坐標(biāo)系：

圖4 齒輪加工坐標(biāo)系中的漸開線

設(shè)漸開線齒廓上任意一點(diǎn)為C（與自由坐標(biāo)系相區(qū)別），由圖4可得漸開線在加工坐標(biāo)系中的直角坐標(biāo)方程為：

其中rc為漸開線上任意一點(diǎn)的向徑，φc為該點(diǎn)向徑與y軸的夾角。設(shè)漸開線齒廓上C點(diǎn)處對應(yīng)的齒厚為Sc，則有：

聯(lián)立（5）（6）（7）得到漸開線在加工坐標(biāo)系內(nèi)的方程：

由于漸開線齒廓在齒頂圓處結(jié)束，所以方程中自變量αc的最大值為齒頂圓處的壓力角處；受加工刀具的影響，漸開線的真正發(fā)生點(diǎn)并不在基圓上，而是位于[2]：

2 端法面參數(shù)關(guān)系

由螺旋漸開面的生成機(jī)理可以得出，漸開線斜齒輪的端面齒廓是漸開線，因而齒輪的幾何尺寸按照端面計(jì)算。垂直于斜齒輪分度圓柱上螺旋線切線的截面稱為法面，由于切制齒輪時(shí)沿螺旋線方向進(jìn)刀，故法面齒形參數(shù)應(yīng)與刀具齒形參數(shù)一致，是標(biāo)準(zhǔn)值[1]，所以在進(jìn)行斜齒輪模型的幾何計(jì)算時(shí)，要進(jìn)行端面參數(shù)與法面參數(shù)之間的換算。

定義β為螺旋漸開面被分度圓柱面所截得螺旋線的螺旋角，則端面參數(shù)與法面參數(shù)之間存在如下關(guān)系：

以上諸式中下標(biāo)“n”，“t”分別表示法面及端面；β為分度圓上的螺旋角。由于法面參數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)值，端面參數(shù)隨β變化，故而不是標(biāo)準(zhǔn)值。

3 齒根過渡曲線方程

用齒條型刀具加工齒輪，相當(dāng)于齒條齒輪的嚙合。被加工齒輪齒廓的漸開線部分由刀具的直線部分切出，過渡曲線部分由刀具的圓角部分切出。加工過程中，刀具的加工節(jié)線與齒輪的加工節(jié)圓相切純滾動(dòng)，刀具圓角的圓角Cp將描繪出延伸漸開線，于是可以得到齒輪的過渡曲線是延伸漸開線的等距曲線。

用齒輪型刀具加工齒輪，相當(dāng)于一對齒輪嚙合，被被加工齒輪齒廓的漸開線部分由刀具的漸開線部分切出，過渡曲線部分由刀具的圓角部分切出。加工過程中，刀具的加工節(jié)圓與齒輪的加工節(jié)圓純滾相切，顯然刀具圓角的圓心Cp將描繪出延伸外擺線，于是，可得到齒輪的過渡曲線是延伸外擺線的等距曲線。

目前，機(jī)械工業(yè)生產(chǎn)中常見的過渡曲線主要有以下三種形式[2]：

（1）當(dāng)采用齒條型刀具加工齒輪時(shí)，如果刀具齒廓的頂部有兩個(gè)圓角，則過渡曲線如圖5a所示，Ⅰ、Ⅱ兩段為延伸漸開線的等距曲線，Ⅲ段為齒輪的齒根圓?。蝗绻毒啐X廓的頂部有一個(gè)圓角，則過渡曲線如圖5b所示，Ⅰ段為一整段延伸漸開線的等距曲線。

（2）當(dāng)采用齒輪型刀具加工齒輪時(shí)，如果刀具齒廓的頂部有兩個(gè)圓角，則過渡曲線如圖5a所示，Ⅰ、Ⅱ兩段為延伸外擺線的等距曲線，Ⅲ段為齒輪的齒根圓?。蝗绻毒啐X廓的頂部有一個(gè)圓角，則過渡曲線如圖5b所示，Ⅰ段為一整段延伸外擺線的等距曲線。

（3）若齒輪以仿形法加工，則過渡曲線形式與刀具有關(guān)，一般為一整段圓弧。

圖5 過渡曲線的形式

本文以齒條型刀具加工的齒輪為例，來推導(dǎo)齒根過渡曲線方程，即推導(dǎo)延伸漸開線的等距曲線方程。對于延伸外擺線的等距曲線方程，可以參加文獻(xiàn)[2]。雙圓角齒條型加工刀具的示意圖如下：

圖6 雙圓角齒條型加工刀具示意圖

圖中所標(biāo)注的參數(shù)值如下式：

雖然刀具的圓角形式不同，但在刀具與齒輪坯嚙合過程中的范成運(yùn)動(dòng)規(guī)律是完全相同的，所以可以將刀具加工所得的過渡曲線推導(dǎo)過程統(tǒng)一起來，建立相同的過度曲線方程后，代入不同的刀具參數(shù)即可分別得到各自加工出來的過度曲線方程[2]。

過渡曲線方程推導(dǎo)坐標(biāo)系與齒輪漸開線齒廓方程推導(dǎo)坐標(biāo)系相同，如圖4。設(shè)過渡曲線上任意一點(diǎn)為（η，λ），則：

將（9）與（10）聯(lián)立便可得到過渡曲線的方程。根據(jù)實(shí)際加工過程，α’的取值范圍是（α，90°）。在α’取α?xí)r，過渡曲線與漸開線相連并相切于各自的起點(diǎn)；取90°時(shí)，過渡曲線與齒根圓相切。

4 漸開線圓柱齒輪的數(shù)學(xué)模型

綜合公式(1)-(10)可以得到以雙圓弧齒條型刀具加工的斜齒輪齒端面齒廓方程。

漸開線部分齒廓：

至此，漸開線圓柱斜齒輪的數(shù)學(xué)模型已經(jīng)建立。無論是漸開線方程還是過渡曲線方程均為顯式方程，可以方便快捷的在CAD軟件中實(shí)現(xiàn)。較隱式方程必須通過描點(diǎn)、插值擬合生成曲線的方法，既提高了運(yùn)算速度，也提高了模型精度。

[1]吳繼澤,王統(tǒng).齒根過渡曲線與齒根應(yīng)力[M].北京:國防工業(yè)出版社,1989.

[2]F.L.Litvin.齒輪幾何學(xué)與應(yīng)用理論[M].上海:上?？茖W(xué)技術(shù)出版社,2008.