幾類埃爾米特插值及計(jì)算

王曉娥，蘇岐芳

（臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

幾類埃爾米特插值及計(jì)算

王曉娥，蘇岐芳＊

（臺州學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

討論了兩類埃爾米特插值多項(xiàng)式的構(gòu)造方法，一類是帶有一個(gè)導(dǎo)數(shù)的埃爾米特插值，另一類是帶有多個(gè)導(dǎo)數(shù)的埃爾米特插值．分別從節(jié)點(diǎn)為幾個(gè)的特殊情況，推廣到具有任意多個(gè)節(jié)點(diǎn)的情況，推導(dǎo)出他們的插值多項(xiàng)式模型，給出了計(jì)算實(shí)例。

導(dǎo)數(shù)；節(jié)點(diǎn)；均差；埃爾米特插值

0 引言

在許多實(shí)際問題中，都用函數(shù)y=f（x）來表示具有某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系．但是，一般通過實(shí)驗(yàn)或觀察得到的是部分?jǐn)?shù)據(jù)，而不是全部數(shù)據(jù)．可利用給定的部分?jǐn)?shù)據(jù)，通過插值法來構(gòu)造一個(gè)既能反映函數(shù)f（x）的特性，又便于計(jì)算的簡單函數(shù)P（x），即用P（x）近似f（x）．要求插值多項(xiàng)式P（x）與函數(shù)f（x）在插值節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值相等，也就保證了插值函數(shù)的連續(xù)性．但有些實(shí)際問題還需要插值的光滑度，即要求在節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至高階導(dǎo)數(shù)也相等，滿足這種要求的插值多項(xiàng)式稱為埃爾米特（Hermite）插值多項(xiàng)式［1-3］.埃爾米特插值法具有一定的實(shí)際應(yīng)用，現(xiàn)代仿生學(xué)就是一個(gè)典型的實(shí)例.在設(shè)計(jì)交通工具的外形時(shí)，就是參照海豚標(biāo)本上的已知點(diǎn)及若干已知點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)做插值，在計(jì)算機(jī)上模擬海豚的外形設(shè)計(jì)飛機(jī)、汽車等的外形［4-9］.

定義函數(shù)f（x）關(guān)于點(diǎn)x0，x1的一階均差為

關(guān)于x0，x1，x2的二階均差為

關(guān)于x0，x1，…，xk的k階均差為

1 帶有一個(gè)導(dǎo)數(shù)值的埃爾米特插值

1.1 三個(gè)節(jié)點(diǎn)的埃爾米特插值

要獲得滿足條件P（xi）=f（xi）（i=0，1，2）和P'（x1）=f'（x1）的插值多項(xiàng)式P（x），則由已知的條件，可確定它是次數(shù)不超過3的插值多項(xiàng)式.由于插值多項(xiàng)式通過點(diǎn)

故其形式可設(shè)為

其中A為待定系數(shù)，由條件P'（x1）=f'（x1）確定.通過計(jì)算可得

1.2 四個(gè)節(jié)點(diǎn)的埃爾米特插值

要獲得滿足條件P（xi）=f（xi）（i=0，1，2，3）及P'（x1）=f'（x1）的插值多項(xiàng)式P（x），則由已知的條件，可確定它是次數(shù)不超過4的插值多項(xiàng)式．由于插值多項(xiàng)式通過點(diǎn)

1.3 節(jié)點(diǎn)為任意個(gè)的埃爾米特插值

要獲得滿足條件P（xi）=f（xi）（i=0，1，2，…n）及P'（x1）=f'（x1）的插值多項(xiàng)式P（x），則由已知的條件，可確定它是次數(shù)不超過n+1的插值多項(xiàng)式.由于插值多項(xiàng)式通過點(diǎn)

故可設(shè)其形式為

2 帶有多個(gè)導(dǎo)數(shù)值的埃爾米特插值

2.1 帶有兩個(gè)導(dǎo)數(shù)值的埃爾米特插值

要獲得滿足條件P（xi）=f（xi）（i=0，1，2）及P'（x0）=f'（x0），P'（x1）=f'（x1）的插值多項(xiàng)式P（x），則由已知的條件，可確定它是次數(shù)不超過4的插值多項(xiàng)式．由于插值多項(xiàng)式通過點(diǎn)

故可設(shè)其形式為

2.2 一般條件下的埃爾米特插值

要獲得滿足條件P（xi）=f（xi），（i=0，1，2）及P'（xj）=f'（xj），（j=0，1，2，…，m，m≤n）的插值多項(xiàng)式P（x），則由給定的條件，可確定它是次數(shù)不超過m+n+1的插值多項(xiàng)式.由于插值多項(xiàng)式通過點(diǎn)

故可設(shè)其形式為

其中a0，a1，…，am為待定系數(shù)，可由條件確定.

3 埃爾米特插值法的應(yīng)用

1.已知P（0）=0，P（1）=1，P（3）=9，P（5）=25，且f'（1）=P'（1），求滿足條件的插值多項(xiàng)式P（x）．

由已知條件，可確定P（x）是次數(shù)不超過4的插值多項(xiàng)式，考慮到此多項(xiàng)式通過點(diǎn)

故可設(shè)

其中f［ 0，1 ］=0，f［ 0，1，3 ］=0，f［ 0，1，3，5 ］=0，A為待定系數(shù)，可由f'（1）=P'（1）=2確定．

代入公式（4）可得A=0，因此滿足條件的插值多項(xiàng)式為P（x）=x2．

2.已知P（1）=2，P（2）=4，P（3）=16，且f'（1）=P'（1）=3，f'（2）=P'（2）=9，求滿足條件的插值多項(xiàng)式P（x）．

由已知條件，可確定P（x）是次數(shù)不超過4的插值多項(xiàng)式，考慮到此多項(xiàng)式通過點(diǎn)

故可設(shè)

其中f［ 1，2 ］=2，f［ 1，2，3 ］=5，A，B為待定系數(shù)，可由f'（1）=P'（1）=3，f'（2）=P'（2）=9確定．

這里

因此，滿足條件的插值多項(xiàng)式為

4 結(jié)束語

根據(jù)不同的條件，推導(dǎo)出了幾類埃爾米特插值公式，可以直接應(yīng)用到求解相關(guān)的實(shí)際問題中．在給定的條件下，可將已知數(shù)據(jù)直接代入到求得的公式中，方便快捷地求出插值多項(xiàng)式P（x），以便了解輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)之間的某種內(nèi)在規(guī)律與關(guān)系．對于大規(guī)模數(shù)據(jù)，可設(shè)計(jì)算法的程序，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行快速計(jì)算。

［1］李慶揚(yáng)，王能超,易大義.數(shù)值分析［M］.5版.北京：清華大學(xué)出版社，2008．

［2］Richard L.Burden，J.Douglas Faires.數(shù)值分析 （NUMERICAL ANALYSIS）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［3］David Kincaid，Ward Cheney.數(shù)值分析 （Numerical Analysis）［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003.

［4］張洪波.插值法應(yīng)用的實(shí)例分析［J］.華北科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，7（3）:71-73.

［5］文暢平.埃爾米特插值函數(shù)的工程應(yīng)用［J］.人民黃河，2006,28（4）:69-70.

［6］文暢平.埃爾米特插值函數(shù)在公路平面線形設(shè)計(jì)中的應(yīng)用［J］.測繪科學(xué)，2007，32（3）:149-150.

［7］胡新源，沈以鴻，朱澤煌，等.應(yīng)用埃爾米特插值作心電圖基線漂移校正［J］.電子學(xué)報(bào)，1990（4）:35-41.

［8］王芳.牛頓插值法在中數(shù)中的應(yīng)用［J］.浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,1994,17(4):67-73.

［9］李鵬,顧宏斌,高振興.三次樣條插值法在氣動導(dǎo)數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用［J］.飛行力學(xué),2008,26（2）:74-80.

Some Hermite Interpolations and Applications

WANG Xiao-e，SU Qi-fang＊

（School of Mathematics and Information Engineering,Taizhou University,Linhai 317000,China）

Two constructive methods about Hermite interpolation are discussed in this paper.One is Hermite interpolation with one derivative,and the other is Hermite interpolation with multiple derivatives.We first consider some special cases with some nodes,then extend to the general case.We derive some formulas of Hermite interpolation and give some examples.

derivative;node;difference quotient;Hermite interpolation

10.13853/j.cnki.issn.1672-3708.2014.06.001

（責(zé)任編輯：耿繼祥）

2014-11-05；修改日期：2014-11-12

簡介：蘇岐芳（1964- ），女，黑龍江綏化人，副教授，碩土，主要從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究。