分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子的小波尺度譜分析方法研究

李志農(nóng)，王海峰，何旭平，肖堯先

(南昌航空大學(xué) 無(wú)損檢測(cè)技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江西 南昌330063)

0 引言

裂紋是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的常見(jiàn)故障，其潛在的危害性非常大。裂紋的產(chǎn)生主要是由轉(zhuǎn)子制造加工中的缺陷以及長(zhǎng)期運(yùn)轉(zhuǎn)出現(xiàn)疲勞等因素形成的。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在高溫、高壓等惡劣工作環(huán)境的影響下容易加速裂紋的擴(kuò)展，如果不能被及時(shí)檢測(cè)診斷出來(lái)，任其進(jìn)一步發(fā)展將會(huì)造成機(jī)毀人亡的災(zāi)難性后果和巨大的經(jīng)濟(jì)損失。因此研究裂紋軸的診斷方法，是一項(xiàng)有重要意義的課題。

當(dāng)前，對(duì)轉(zhuǎn)子裂紋故障的研究已取得了很大的進(jìn)展，提出了許多行之有效的方法［1-8］，其中采用比較典型的方法是小波分析方法。然而，由于小波變換同樣受Heisenberg 測(cè)不準(zhǔn)原理的制約，不能在時(shí)域和頻域同時(shí)保持良好的集中性。基于此不足，F(xiàn)rancois 等［9］提出了小波重分配尺度譜的概念，該方法是一種能有效克服時(shí)頻分布聚焦性矛盾的后處理方法，能大大提高信號(hào)的時(shí)頻分布的可讀性。目前，重分配尺度譜在機(jī)械故障診斷領(lǐng)域中得到了一些成功的應(yīng)用［10-16］。文獻(xiàn)［10 -12］運(yùn)用尺度譜和重分配尺度譜對(duì)轉(zhuǎn)子碰摩故障進(jìn)行了診斷。任朝暉等［16］對(duì)含有裂紋的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究并結(jié)合三維譜振圖和小波尺度譜進(jìn)行分析。雖然小波尺度譜在轉(zhuǎn)子裂紋故障診斷中有些應(yīng)用，但這些應(yīng)用研究?jī)H僅限于在不同轉(zhuǎn)速下的裂紋轉(zhuǎn)子故障特征的分析，并沒(méi)有考慮不同的裂紋深度的小波尺度譜特性。另外，小波尺度譜在轉(zhuǎn)子裂紋故障診斷中的應(yīng)用，主要是針對(duì)整數(shù)階微積分的動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上進(jìn)行的，并沒(méi)有考慮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階特性。

由于許多物理系統(tǒng)因其特殊的材料和化學(xué)特性而展現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)行為，而實(shí)際系統(tǒng)大都是分?jǐn)?shù)階的［17］，采用分?jǐn)?shù)階描述那些本身帶有分?jǐn)?shù)階特性的對(duì)象時(shí)，能更好地揭示對(duì)象的本質(zhì)特性及其行為。分?jǐn)?shù)階微積分最基本的特征是記憶特性，其演化與過(guò)去歷史有關(guān)，對(duì)描述具有記憶特征的阻尼材料能更好地揭示對(duì)象的本質(zhì)特性及其行為?；诖耍疚慕Y(jié)合在分?jǐn)?shù)階微積分的基礎(chǔ)上建立了裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，并結(jié)合小波尺度譜，提出了基于小波尺度譜的分?jǐn)?shù)階阻尼的轉(zhuǎn)子裂紋故障診斷方法，并討論了不同裂紋深度的分?jǐn)?shù)階阻尼的轉(zhuǎn)子裂紋系統(tǒng)的尺度譜和重分配尺度譜特性，并用實(shí)驗(yàn)研究進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 小波尺度譜和重分配尺度譜

x(t)是能量有限空間的一個(gè)函數(shù)，則x(t)的小波變換可以定義為

相應(yīng)地，x(t)的小波變換逆變換為

由逆變換可知，信號(hào)x(t)的小波變換并沒(méi)有損失任何信息，能量是守恒的，因此

由(5)式可知，把|Wx(ρ，τ;ψ)|2/(Cψρ2)看成平面(ρ，τ)上能量密度函數(shù)，它給出以尺度ρ 和時(shí)間τ 為中心、尺度間隔為Δρ、時(shí)間間隔為Δτ 的能量。因此，小波變換幅值的平方稱為小波尺度譜，即

雖然小波尺度譜具有恒定相對(duì)帶寬的譜圖性質(zhì)，能夠保留小波變換的所有特性，反映信號(hào)的時(shí)頻信息。但尺度譜受到Heisenberg 不確定性原理的極限制約，在高頻段很難獲得很好的時(shí)頻集中性。為了改善尺度譜的時(shí)頻域集中性，F(xiàn)rancois 等［9］提出了尺度譜的再分配方法，得到再分配尺度譜，即

式中:

式中:ω0為信號(hào)的角頻率;δ(·)為脈沖函數(shù)。

重分配小波尺度譜通過(guò)把時(shí)頻窗口的幾何中心平移到局域能量的重心，平移后更能代表這個(gè)局部區(qū)域的能量分布。因此，重分配小波尺度譜能得到較少的干擾項(xiàng)和更好的時(shí)頻聚集性。由于干擾項(xiàng)的減少，重分配小波尺度譜可以更好地識(shí)別極可能代表著故障的特征能量較小的弱信號(hào)［12］。

2 仿真研究

本文研究對(duì)象是以兩端簡(jiǎn)支、圓盤質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為L(zhǎng)、軸半徑為R 的無(wú)質(zhì)量彈性圓軸所組成的含裂紋Jeffcott 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)［18］，如圖1 所示。

圖1 裂紋Jeffcott 轉(zhuǎn)子及裂紋軸橫斷面示意圖Fig.1 Model of cracked Jeffcott rotor system and schematic diagram of cracked shaft cross-section

考察的裂紋深度范圍是0≤a/R≤1，其中a 是裂紋深度，R 是轉(zhuǎn)軸半徑。

分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)方程可表示為

式中:Drx 和Dry 分別表示x 和y 的r 階導(dǎo)數(shù);kx、ky分別為裂紋軸沿x 和y 方向的剛度;kxy、kyx為x 和y方向的耦合剛度;c 為阻尼;e 為不平衡偏心距;Ω 為轉(zhuǎn)速;β 為不平衡量與裂紋法向的夾角。

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的剛度矩陣可表示為

式中:k 為無(wú)裂紋轉(zhuǎn)子剛度;Δkξ、Δkη分別為裂紋法向和切向剛度的變化量;f(Φ)為描述裂紋開(kāi)閉的函數(shù)，其形式與所采用的開(kāi)閉裂紋模型有關(guān)，

使用分?jǐn)?shù)階微積分得到的分?jǐn)?shù)階阻尼力為

采用4 階Runge-Kutta 法對(duì)(16)式進(jìn)行數(shù)值積分，積分步長(zhǎng)取為2π/200，計(jì)算時(shí)取阻尼比ζ =0.01，無(wú)量綱不平衡量ε =0.1，不平衡量與裂紋法向之間的相位角β=0°，轉(zhuǎn)速比Ω/ωn=0.38.

首先，分析在一定的裂紋深度和轉(zhuǎn)速情況下，分?jǐn)?shù)階階次對(duì)分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響。隨著分?jǐn)?shù)階階次的變化，得到系統(tǒng)響應(yīng)的分岔圖，如圖2 所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階階次的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram of cracked rotor system

由圖2 可知，分?jǐn)?shù)階階次的改變對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性有很大的影響，隨著分?jǐn)?shù)階階次r 從0.1增大到1.0 的過(guò)程中，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)依次會(huì)經(jīng)歷混沌狀態(tài)、倍周期狀態(tài)和單周期狀態(tài)，因此，可以通過(guò)改變分?jǐn)?shù)階階次來(lái)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性。由于裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)模型具有分?jǐn)?shù)階動(dòng)力學(xué)特性，其振動(dòng)特性受轉(zhuǎn)速、裂紋深度的影響較大，在建立運(yùn)動(dòng)模型時(shí)可以靈活調(diào)節(jié)分?jǐn)?shù)階階次來(lái)改變轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性以達(dá)到診斷轉(zhuǎn)子裂紋的最佳效果。在此，通過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次r =0.6 時(shí)，能清晰地反應(yīng)裂紋的故障信息。為此，本文選取分?jǐn)?shù)階階次r=0.6.

圖3、圖4、圖5 分別給出了不同的裂紋深度下分?jǐn)?shù)階阻尼的裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的小波尺度圖和重分配尺度圖。

圖3 分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子的尺度譜和重分配尺度譜(a/R=0)Fig.3 Scalogram and reassigned scalogram in the fractional damping cracked rotor system(a/R=0)

由圖3 可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)正常運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，處于無(wú)裂紋狀態(tài)時(shí)，尺度譜和重分配尺度譜中只有不平衡量引起的1 倍頻。重分配尺度譜具有更高的時(shí)頻分辨率，使時(shí)域和頻域的集中性大大提高，使交叉項(xiàng)得到了很好的抑制，但邊界點(diǎn)所攜帶的能量都向內(nèi)被分配到了其他點(diǎn)上，在邊界有更嚴(yán)重的扭曲現(xiàn)象。

當(dāng)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)出現(xiàn)裂紋時(shí)，對(duì)比圖3、圖4 和圖5，不論是在尺度譜上，還是在重分配尺度譜上，都比無(wú)裂紋狀態(tài)表現(xiàn)出更豐富的特征。如圖4，當(dāng)裂紋相對(duì)深度a/R=0.25 時(shí)，也就是說(shuō)，在淺裂紋出現(xiàn)時(shí)，剛度變化量不大，對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響較小，尺度譜和重分配尺度譜中主要有1 倍頻分量和2 倍頻分量，并且2 倍頻分量明顯小于1 倍頻分量。隨著裂紋深度加深，一些新的高次諧波成分相繼出現(xiàn)，如圖5 所示，在裂紋相對(duì)深度a/R =0.5 時(shí)的尺度譜和重分配尺度譜中，可以看出存在1 倍頻、2 倍頻和3 倍頻分量，高倍頻信號(hào)較弱，其中2 倍頻和3 倍頻分量最為明顯，清晰地反應(yīng)了裂紋的故障信息。

圖4 分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子尺度譜和重分配尺度譜(a/R=0.25)Fig.4 Scalogram and reassigned scalogram in the fractional damping cracked rotor system (a/R=0.25)

圖5 分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子的尺度譜和重分配尺度譜(a/R=0.5)Fig.5 Scalogram and reassigned scalogram in the fractional damping cracked rotor system (a/R=0.5)

通過(guò)以上分析，在分?jǐn)?shù)階阻尼裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，分?jǐn)?shù)階階次的改變對(duì)對(duì)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)特性有很大影響，在轉(zhuǎn)速、裂紋深度、不平衡量等一定的情況下，可以確定診斷裂紋故障的最佳階次。隨著裂紋的加深，轉(zhuǎn)子的剛度逐漸減小，裂紋故障特征越來(lái)越明顯，2 倍頻、3 倍頻以及高倍頻相繼出現(xiàn)。用重分配小波尺度譜對(duì)裂紋轉(zhuǎn)子故障特征進(jìn)行特征提取，顯示了其改善時(shí)頻聚集性的良好效果，減少了干擾項(xiàng)，能很好地提取裂紋故障信息中的弱信號(hào)，精確地提取了裂紋故障產(chǎn)生的特征頻率。

3 實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)是在Bently 轉(zhuǎn)子試驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)依據(jù)鍵相信號(hào)經(jīng)倍頻后跟蹤轉(zhuǎn)速采集振動(dòng)信號(hào)，采用的傳感器是電渦流傳感器，采集裝置見(jiàn)文獻(xiàn)［18 -19］. 為了研究轉(zhuǎn)軸上裂紋深度對(duì)轉(zhuǎn)子振動(dòng)特性的影響，為此定制了2 根尺寸和材料完全一樣的轉(zhuǎn)軸，第1 根裂紋軸的裂紋相對(duì)深度a/R =0.25，第2 根裂紋軸的裂紋相對(duì)深度a/R =0.5，裂紋通過(guò)線切割加工而成。圖6 和圖7 分別是裂紋相對(duì)深度a/R=0.25 和a/R=0.5 時(shí)，裂紋轉(zhuǎn)子振動(dòng)信號(hào)尺度譜和重分配尺度譜。

圖6 淺裂紋轉(zhuǎn)子尺度譜和重分配尺度譜Fig.6 Scalogram and reassigned scalogram of shallow crack

圖7 深裂紋轉(zhuǎn)子尺度譜和重分配尺度譜Fig.7 Scalogram and reassigned scalogram of deep crack

從圖6 和圖7 中可看出，淺裂紋時(shí)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的尺度譜和重分配尺度譜1 倍頻和2 倍頻占主要成分;深裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)1 倍頻、2 倍頻和3 倍頻占主要成分，其他高倍頻成分相對(duì)較弱，這與理論分析結(jié)果相吻合，從而驗(yàn)證了本文建立的分?jǐn)?shù)階阻尼的裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的準(zhǔn)確性。

4 結(jié)論

本文建立了分?jǐn)?shù)階阻尼的裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，并將小波尺度譜引入到該系統(tǒng)中，提出了基于小波尺度譜的分?jǐn)?shù)階阻尼的裂紋轉(zhuǎn)子故障診斷方法。研究表明，分?jǐn)?shù)階階次的改變對(duì)轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)特性有很大影響，在固定轉(zhuǎn)速、裂紋深度和不平衡量等情況下，通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)階階次的調(diào)節(jié)，可以得到裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)阻尼的最佳階次。隨著裂紋深度的加深，轉(zhuǎn)子的剛度逐漸減小，振動(dòng)特性越來(lái)越復(fù)雜，用小波尺度譜能精確地提取轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)中相繼出現(xiàn)的1 倍頻、2 倍頻、3 倍頻和高倍頻分量。當(dāng)無(wú)裂紋時(shí)，振動(dòng)響應(yīng)的重分配尺度譜中只有不平衡量引起的1 倍頻。當(dāng)裂紋深度較淺時(shí)，小波尺度譜中出現(xiàn)了1 倍頻、2 倍頻分量，只不過(guò)2 倍頻成分相對(duì)較弱。隨著裂紋深度的加深，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的故障特征越來(lái)越明顯，在小波尺度譜中，1 倍頻、2 倍頻和3 倍頻占主要成分，其他高倍頻成分也會(huì)相繼出現(xiàn)。最后用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果和理論數(shù)值分析的結(jié)果相吻合，驗(yàn)證了本文建立的分?jǐn)?shù)階阻尼的裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的正確性。

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