關(guān)于不定方程x2＋11＝y(tǒng)3

高 麗，趙彩紅，趙喜燕

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000）

DOI：10.3969/J.ISSN.1004－602X.2014.01.001

關(guān)于不定方程x2＋11＝y(tǒng)3

高 麗，趙彩紅，趙喜燕

（延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西延安716000）

對(duì)于某些d，若Q（d）是Euclid域，則在其對(duì)應(yīng)的（d）中算數(shù)基本定理成立。利用此來(lái)證明不定方程x2＋11＝y(tǒng)3僅有整數(shù)解（x，y）＝（±58，15）。

不定方程；整數(shù)解；Euclid域

1 引言及預(yù)備知識(shí)

我們知道，有些丟番圖方程的求解是非常困難的，人們?yōu)榱私鉀Q這些丟番圖方程，創(chuàng)立了許多數(shù)學(xué)方法，例如代數(shù)數(shù)論方法，p－adic方法和丟番圖逼近方法等［1－3］，這些方法大大豐富了數(shù)論的內(nèi)容，所謂代數(shù)數(shù)論方法，就是把所給定的丟番圖方程放在代數(shù)數(shù)域中考慮，通過(guò)代數(shù)整數(shù)環(huán)性質(zhì)的討論，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化或展開(kāi)。

定義1［1］設(shè)w1，w2∈（）是Q（）的一組基。如果任意的θ∈（）必可表示為

θ＝uw1＋vw2，u，v∈Z

則稱(chēng)w1，w2是Q（）的一組基，它也稱(chēng)為是（）的一組基。

定義2［1］整數(shù)ε稱(chēng)為是單位數(shù)，如果它的倒數(shù)ε－1也是整數(shù)。

引理1［1］在二次域Q（）中的單位數(shù)是：（i）當(dāng)d＝－2或d≤－5時(shí)，僅有±1；

（ii）當(dāng)d＝－1時(shí)，有±1，±i；

（iv）當(dāng)d＞1，時(shí)d≡2，3（mod4）時(shí)，有

（v）當(dāng)d＞1，d≡1（mod4）時(shí)，有

九十年代，鄉(xiāng)愁是一陣清脆的鈴聲。1 989年底，父母承包了5畝棉花地，經(jīng)過(guò)大半年的精心侍候，年終拿到了1000元的獎(jiǎng)金。一向節(jié)儉的父母經(jīng)過(guò)反復(fù)商討，做出有生以來(lái)第一次“大手筆”的投資——加上他倆大半年的工資，共2400元安裝一部電話。母親第一次撥打電話的情景我至今記憶猶新：母親小心翼翼地按完一串?dāng)?shù)字后，“喂，你是哪個(gè)？”電話那頭一句久違的鄉(xiāng)音瞬間模糊了母親的雙眼：“我是招娣啊……”從此，父母與老家的聯(lián)系就方便了許多，小叔家的二哥考上了大學(xué)，大姑家新添了孫子，二舅家蓋上了新房……他們?cè)跐鉂獾泥l(xiāng)音中，傳遞相互的牽掛，分享彼此的喜悅。

引理2［1］設(shè)M是唯一分解環(huán)，正整數(shù)k≥2，以及α，β∈M。（α，β）＝1，那么，若αβ＝γk，γ∈M，則有

α＝ε1μk，β＝ε2vk，μ，v∈M

其中，ε1，ε2是M中的單位元素，且ε1ε2＝εk，ε為單位元素。

2 主要結(jié)果及證明

定理1不定方程

僅有整數(shù)解（x，y）＝（±58，15）。

故有

即

即有

比較等號(hào)兩邊的系數(shù)可知b＝±1。

情形1：當(dāng)b＝－1時(shí)，由（3）有3a2＝10，這與a∈Z矛盾；

情形2：當(dāng)b＝1時(shí)，由（3）有a2＝4，得a＝±2，此時(shí)：

當(dāng)a＝－2，b＝1時(shí)，x＝58，y＝15；

當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，x＝－58，y＝15。

綜上情形1和情形2的討論，不定方程（1）的整數(shù)解僅有（±58，15）。

［1］潘承洞，潘承彪.代數(shù)數(shù)論［M］.濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2003：99－217.

［2］曹富珍.丟番圖方程引論［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989：82－102.

［3］閩嗣鶴，嚴(yán)士鍵.初等數(shù)論［M］.北京：高等教育出版社，1982：14－17.

［責(zé)任編輯 賀小林］

On the Diophantine Equation x2＋11＝y(tǒng)3

GAO LI，ZHAO Cai-hong，ZHAO Xi-yan
（School of Mathematics and Computer Science，Yanan University，Yanan 716000，China）

For some d，if Q（d）is Euclidean field，in according Euclidean domain~Q（d），arithmetical fundamental theorem is carried out.Mainly using themethod to discuss the integer solution of Diophantine equation x2＋11＝y(tǒng)3has integer solution（x，y）＝（±58，15）.

Diophantine equation；integer solution；Euclid area

O156.4

A

1004－602X（2014）01－0001－02

2012-12-21

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（10271093）；陜西省教育廳專(zhuān)項(xiàng)科研計(jì)劃項(xiàng)目（07JK430）；延安大學(xué)自然科學(xué)專(zhuān)項(xiàng)科研基金項(xiàng)目（YDZ2013－04）

高 麗（1966－），女，陜西綏德人，延安大學(xué)教授。