隨機(jī)激勵下用分形維數(shù)曲率差概率法定位損傷＊

安永輝， 歐進(jìn)萍

（大連理工大學(xué)建設(shè)工程學(xué)部 大連，116023）

引 言

基于振動的結(jié)構(gòu)損傷識別主要研究如何從監(jiān)測數(shù)據(jù)識別損傷，反演結(jié)構(gòu)的健康狀況，它是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的熱點子課題，也是其最核心、最關(guān)鍵的問題之一［1］?；谡駝拥慕Y(jié)構(gòu)損傷識別的基本原理是損傷會帶來結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的改變，可以通過追蹤結(jié)構(gòu)動態(tài)特征參數(shù)的變化對結(jié)構(gòu)損傷進(jìn)行識別［2］。在眾多損傷識別方法中，以模態(tài)參數(shù)作為直接或間接指標(biāo)的研究較多，但目前在工程中基于模態(tài)參數(shù)的損傷識別還不能得到較好的應(yīng)用［3］。值得注意的是，直接基于振動響應(yīng)的時域識別方法利用結(jié)構(gòu)響應(yīng)時程信號構(gòu)建損傷指標(biāo)，并根據(jù)對指標(biāo)變化的分析來實現(xiàn)損傷識別，避免了模態(tài)參數(shù)識別或其他估計過程中的誤差，取得了較好的效果。這類方法中常見的有小波分析［4］、時間序列模型方法［5］等。

筆者介紹的方法直接基于結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng)進(jìn)行損傷識別，首先，基于分形理論提取結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)信號的特征值；其次，引入以往在模態(tài)振型上使用的曲率差法對分形特征值進(jìn)行處理；最后，使用多次識別的概率統(tǒng)計值作為損傷判斷和定位依據(jù)。在基于振動的損傷識別研究中，很多學(xué)者注意到有限元模型精確性和噪聲的影響。楊海峰等［6］提到初始有限元模型由于各種誤差會對結(jié)構(gòu)評估、健康監(jiān)測等造成誤判。姜紹飛［7］對結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測進(jìn)行研究展望時指出了幾個需要進(jìn)一步研究的問題，其中前兩個主要問題就是測量噪聲與模型誤差。本研究方法直接以結(jié)構(gòu)損傷前后的加速度為研究對象，集合了以上3個基礎(chǔ)方法或數(shù)學(xué)工具，大大降低了噪聲和有限元模型誤差帶來的影響。下面介紹一下這3個方法及它們的研究現(xiàn)狀。

為了描述不規(guī)則的幾何對象，Mandelbrot［8］提出了分形維數(shù)的概念。幾十年來，分形理論快速發(fā)展成為一個有力的非線性科學(xué)研究工具。在損傷識別領(lǐng)域，由于不同狀態(tài)下結(jié)構(gòu)振動響應(yīng)的分形維數(shù)不同，分形維數(shù)常被用來識別信號狀態(tài)的特征量進(jìn)而識別損傷［7，9］。雖然基于分形理論的損傷識別研究相比其應(yīng)用于巖石和混凝土材料的研究還很不成熟，但近10年來涌現(xiàn)了越來越多基于分形理論的損傷識別研究工作。姜紹飛等［10］較全面地總結(jié)了分形理論在土木工程材料、巖土工程、地震工程、損傷識別等具體領(lǐng)域的應(yīng)用。Carpinteri等［11］提出基于分形的應(yīng)力應(yīng)變定位技術(shù)。王步宇［9，12］對簡支梁和框架結(jié)構(gòu)不同損傷情況下振動信號的分形維數(shù)進(jìn)行了研究，并結(jié)合分形和其他方法提出了新的損傷識別技術(shù)。Cao等［13］提出基于分形理論對鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)進(jìn)行無損評估；Qiao等［14］提出基于振型和分形理論的損傷識別技術(shù)。Li等［15］基于Katz分形維數(shù)研究了簡支梁結(jié)構(gòu)的損傷識別。Bai等［16］基于高階振型的分形維數(shù)分析對梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識別。Li等［17］基于分形維數(shù)對剪切型樓房結(jié)構(gòu)進(jìn)行了地震損傷識別研究。然而，較少的研究直接使用損傷前后加速度響應(yīng)的分形維數(shù)去構(gòu)建損傷指標(biāo)。曲率模態(tài)法由Pandey等［18］于1991年提出，之后研究者基于該法做了模型試驗及實橋試驗的研究。但目前該法仍面臨著受振型識別精度影響大等困擾，離實際應(yīng)用還有一段距離。實際工程中，噪聲干擾、測量誤差、模型誤差、環(huán)境因素等給損傷識別帶來了各種不確定性，并可能導(dǎo)致結(jié)果錯誤［1］。Beck等［19］基于一個簡單的6層剪切型樓模型的模擬數(shù)據(jù)闡述了如何計算每層的損傷概率，并提出用統(tǒng)計方法來處理測試噪聲、模型誤差等不確定性。Housner等［20］指出，為了更好地解決監(jiān)測數(shù)據(jù)存在的不確定性問題，很有必要研究基于概率統(tǒng)計分析的方法。為了降低這些不確定性帶來的干擾，筆者采用多組數(shù)據(jù)計算結(jié)果的統(tǒng)計分析值（即損傷概率）作為最終損傷識別結(jié)果。

集合以上3個方法的優(yōu)點，筆者在早期工作［21］中提出了脈沖或階躍激勵下基于分形維數(shù)波形曲率差概率的損傷定位方法，并以簡支梁為研究對象進(jìn)行了數(shù)值模擬和試驗研究?？紤]到實際工程中很多結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)在服役中基底常承受來自各種振動源的隨機(jī)激勵，且工程中脈沖或階躍激勵存在可操作性差的缺點，筆者著重研究結(jié)構(gòu)基底隨機(jī)激勵下所提出方法的適用性。為此，選取最基本的結(jié)構(gòu)（質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)）作為研究對象，對基底白噪聲激勵下的單損傷工況及多損傷工況進(jìn)行系統(tǒng)的數(shù)值模擬研究，并在 University of Illinois at Urbana－Champaign設(shè)計、建造了一個6層剪切型集中質(zhì)量框架模型，基于該模型進(jìn)行了振動臺試驗驗證，得出了一些有益的結(jié)論。

1 分形維數(shù)波形曲率差概率法

1.1 方法的理論基礎(chǔ)

1.1.1 分形維數(shù)

分形維數(shù)是分形理論的核心概念，用來量化圖形的不規(guī)則度。其值越大，所描述對象越復(fù)雜和詳細(xì)。它有很多定義和計算方法，最常用的是盒維數(shù)。王步宇［9］指出，針對數(shù)字化離散空間信號點集，若采得的振動時域信號為x1，x2，…，xn，則其分形盒維數(shù)可按如下近似公式計算

其中：n為信號的點數(shù)；Δt為采樣時間間隔。

損傷前后用于計算的加速度響應(yīng)要有相同的點數(shù)。每個測點的加速度分形維數(shù)計算出來后，連接這些分形維數(shù)就得到了分形維數(shù)波形。結(jié)構(gòu)不同狀態(tài)下的振動響應(yīng)（尤其損傷位置的振動響應(yīng)）不同，分形維數(shù)可以量化結(jié)構(gòu)響應(yīng)信號的不規(guī)則程度，所以不同狀態(tài)的響應(yīng)有不同的分形維數(shù)。對結(jié)構(gòu)不同位置振動響應(yīng)的分形維數(shù)波形變化進(jìn)行處理可以獲得結(jié)構(gòu)損傷信息。

1.1.2 曲率

與無損狀態(tài)相比，結(jié)構(gòu)損傷后損傷位置的振動響應(yīng)發(fā)生變化，其分形維數(shù)也發(fā)生變化，由各測點分形維數(shù)連成的分形維數(shù)波形在損傷位置處就會發(fā)生變化。但是由于損傷前后的激勵水平不同，分形維數(shù)大小又與激勵水平相關(guān)，無法直接比較分形維數(shù)波形來獲得損傷。曲率表示一個波形偏離直線的程度，可以衡量波形的不平坦度。某一點的曲率越大，該波形在該點的偏離程度就越大。所以引入曲率來衡量結(jié)構(gòu)損傷前后分形維數(shù)波形的變化，進(jìn)而識別損傷位置。

對一個轉(zhuǎn)角較小的梁來說，其曲率k［18］為

其中：v″為模態(tài)位移v的二階倒數(shù)。

對位移模態(tài)進(jìn)行中心差分法后得到振型的曲率［18］為

其中：h為數(shù)值模型中的單元長度。

類似地，筆者定義分形維數(shù)波形的曲率如下

其中：Ci為分形維數(shù)波形在節(jié)點i處的曲率；Di為i處的分形維數(shù)。

1.2 方法及步驟

損傷前后分形維數(shù)波形曲率差Cd通過下式定義

其中：Cb和Ca分別為損傷前后的分形維數(shù)波形曲率。

根據(jù)式（4）計算，步驟如下。

1）所有的曲率差負(fù)值應(yīng)被剔除，原因是損傷后i點的加速度信號的分形維數(shù)比未損傷情況下的值變大了，根據(jù)式（4）曲率Ci比無損狀態(tài)時變小了，所以根據(jù)式（5），損傷處的曲率差應(yīng)該是正值。

2）剔除負(fù)值后剩余的曲率差正值被歸一化，記作。歸一化后的曲率差值中小于闕值δ的被剔除，最后損傷的單元集DE為

其中：δ為閾值。

不同的結(jié)構(gòu)該閾值可能不同，應(yīng)結(jié)合待測結(jié)構(gòu)無損工況的識別結(jié)果來確定δ，提出方法不需要有限元模型，節(jié)約了大量的建模和模型修正工作量。

3）由于噪聲等不確定性，基于一組數(shù)據(jù)的損傷嫌疑單元集識別結(jié)果中可能會出現(xiàn)誤識別單元。然而，多次識別中，損傷單元出現(xiàn)在損傷嫌疑單元集中的次數(shù)會遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于無損單元出現(xiàn)在損傷嫌疑單元集中的次數(shù)。為了統(tǒng)計這種不確定性，用多組數(shù)據(jù)的計算結(jié)果來確定損傷單元，最終的損傷單元是那些在多次（建議10次以上）識別結(jié)果中出現(xiàn)概率（筆者稱其為損傷概率）不小于ρ的單元，ρ為損傷概率閾值。若某工況的多次識別結(jié)果中每個單元的損傷概率都小于ρ，則此工況為無損工況。

2 基于質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)的數(shù)值驗證

2.1 數(shù)值模型

為了檢驗所提方法在基底隨機(jī)激勵下是否有效，選擇最基本也是概念最清晰的質(zhì)量-彈簧－阻尼多自由度系統(tǒng)（見圖1）作為研究對象進(jìn)行數(shù)值模擬驗證。多自由度系統(tǒng)的基本運(yùn)動方程為

其中：Ms，Cs，Ks分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

圖1 質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)Fig.1 The mass－spring－damper system

假設(shè)一個20自由度的質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng)，ki＝500kN／m，mi＝600kg，i＝1，2，…，20，阻尼比ξ＝0.02，獲得剛度矩陣Ks和質(zhì)量矩陣Ms后，則Rayleigh阻尼矩陣Cs為

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

其中：u為系統(tǒng)的輸入；y為系統(tǒng)的輸出；x為系統(tǒng)的狀態(tài)；A為系統(tǒng)矩陣；B為輸入矩陣；C為輸出矩陣；D為直接傳遞矩陣。

基底激勵下該系統(tǒng)的狀態(tài)空間矩陣A，B，C，D可用下式表示

建立該系統(tǒng)的SIMULINK模型，輸入為Bandlimited white noise模塊。需要指出的是，損傷前后獲得每組加速度數(shù)據(jù)時使用的白噪聲激勵的seed均不同（即在獲得加速度的每次模擬中，輸入模塊里的參數(shù)seed均不同，這樣每次輸入的白噪聲均不同），白噪聲的頻帶寬度也不同。為了較好地模擬白噪聲激勵，頻帶寬度上限不小于所關(guān)心的結(jié)構(gòu)頻率上限的10倍。系統(tǒng)的SIMULINK模型如圖2所示，據(jù)此可獲得損傷前后各測點的加速度響應(yīng)，并加入5%～15%的噪聲模擬測試誤差及環(huán)境噪聲。圖3所示為無損時該20自由度系統(tǒng)在基底隨機(jī)激勵下某測點的加速度響應(yīng)時程。

2.2 損傷工況及結(jié)果

2.2.1 損傷工況

表1為基于該20自由度系統(tǒng)的4種模擬損傷工況，其中損傷工況1和2是單損傷工況，損傷工況3和4為多損傷工況。

2.2.2 識別結(jié)果

基于不同噪聲水平下無損工況的平均歸一化曲率差結(jié)果確定閾值δ和ρ。δ應(yīng)是一個比無損工況的各個單元平均歸一化曲率差結(jié)果略大的值來避免誤識別單元的出現(xiàn)，最終確定δ為0.30。確定了δ后，基于無損工況的損傷概率結(jié)果確定閾值ρ為60%。以損傷工況1為例介紹基于分形維數(shù)波形曲率差概率法進(jìn)行損傷定位的過程。如圖4所示，圖4（a）為5%噪聲水平下20個測點（布置在20個質(zhì)量點上）損傷前后的分形維數(shù)波形，各10條，紅色為損傷后，并假設(shè)損傷前后激勵的能量（即白噪聲的功率譜密度）不同，圖中所示為損傷后大于損傷前；圖4（b）為圖4（a）的分形維數(shù)波形的曲率，從中可知損傷后節(jié)點8處的曲率明顯變小，同時可以看出，雖然圖4（a）中損傷前后白噪聲激勵大小不同，但曲率只反映波形的相對變化，與波形值的絕對大小無關(guān)，所以損傷前后激勵的大小不同不影響損傷定位結(jié)果；圖4（c）為圖4（b）中損傷前后曲率的差，從中可知，10組不同數(shù)據(jù)下節(jié)點8的曲率差總是為正并且最大，其他位置的曲率差時正時負(fù)并且歸一化后大都在閾值以下（見圖5第1行第1列的結(jié)果，該結(jié)果是最終統(tǒng)計的損傷工況1的10次識別中各節(jié)點曲率差大于閾值的個數(shù)所占比值，此比值即為損傷概率）。從圖5的這個結(jié)果可知，節(jié)點8處的損傷概率為100%。由于損傷工況1中預(yù)設(shè)的損傷為k9，可知，若剛度Kx損傷，結(jié)果中損傷概率較大的情況將出現(xiàn)在節(jié)點（x－1）。

表1 數(shù)值損傷工況Tab.1 Numerical damage cases

圖2 系統(tǒng)的SIMULINK模型Fig.2 The SIMULINK model of the system

圖3 無損時基底隨機(jī)激勵下某測點的加速度響應(yīng)Fig.3 The acceleration at a measured node of the undamaged system with stochastic excitation on the base

圖4 5%噪聲下?lián)p傷工況1的損傷定位過程（紅色波形為損傷后）Fig.4 The process of damage localization of damage case 1with 5%noise level（the red waweforms are based on data from the damaged structure）

圖5所示為損傷工況1至損傷工況4在噪聲水平分別為5%，10%及15%下的損傷定位結(jié)果匯總。由圖5可知，所有結(jié)果均符合當(dāng)剛度kx損傷時，結(jié)果顯示為節(jié)點（x－1）處損傷概率大于60%。至此，無論單損傷還是多損傷，所有損傷工況的數(shù)值模擬結(jié)果均成功定位了預(yù)設(shè)損傷，說明基底隨機(jī)激勵下提出方法的識別效果良好。

3 基于集中質(zhì)量框架模型的試驗驗證

為了進(jìn)一步試驗驗證該方法在基底隨機(jī)激勵下的有效性，筆者在美國University of Illinois at Urbana－Champaign的智能結(jié)構(gòu)技術(shù)實驗室里設(shè)計、建造了一個6層剪切型集中質(zhì)量框架模型，如圖7（a）所示。該模型層高為210mm，寬度為260mm，每層的彈簧鋼柱子的尺寸為50mm×1.27mm，每層的集中質(zhì)量（包括塑料梁、鋼塊、螺釘）為2.17kg。經(jīng)過模態(tài)試驗測試，該模型的前6階固有頻率依次為1.72，5.16，8.34，11.06，13.19和14.59Hz。損傷識別試驗前，首先基于損傷前結(jié)構(gòu)的試驗數(shù)據(jù)確定閾值δ。大致步驟如下：取一組無損結(jié)構(gòu)的加速度振動響應(yīng)作為基礎(chǔ)信號，把該信號近似當(dāng)做無噪聲信號，將不同水平的噪聲添加到這組基礎(chǔ)信號中。這樣由于噪聲是隨機(jī)的，可得到不同噪聲水平下的多組無損狀態(tài)下的響應(yīng)信號?；谶@些信號的多次識別可得到平均歸一化曲率差結(jié)果，從中可以確定閾值δ為0.30。確定了閾值δ后，另一個概率閾值ρ確定為60%。預(yù)備幾個厚度較小、其余尺寸不變的柱子作為損傷柱，試驗中通過將某層的柱子更換為損傷柱來模擬該層剛度的降低。

圖5 數(shù)值模擬時損傷定位結(jié)果Fig.5 Numerical damage localization results

3.1 試驗設(shè)備

圖6 試驗裝置Fig.6 The experimental setup

圖6所示為試驗所用各儀器之間的連接示意圖，圖7為試驗?zāi)Ｐ图霸O(shè)備。隨機(jī)信號從VIBPILOT（圖7（b））發(fā)射出來后通過控制器（圖7（c））輸送給振動臺（圖7（a）），進(jìn)而在模型的基底輸入隨機(jī)激勵，模型振動的側(cè)向加速度再通過加速度傳感器把信號傳遞給VIBPILOT的信號采集模塊進(jìn)行采集。試驗中采用Butter低通濾波對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，截止頻率為15Hz，加速度傳感器的靈敏度大約為100mV／g。

3.2 試驗工況及結(jié)果

如表2所示，3種試驗工況用來進(jìn)一步驗證提出的方法在基底隨機(jī)激勵下的損傷定位效果。在獲得多組損傷前后各層側(cè)向加速度數(shù)據(jù)后，基于前述方法對每個損傷工況進(jìn)行多次識別（文中進(jìn)行20次識別）并計算出最終的損傷概率。試驗結(jié)果如圖8所示，當(dāng)?shù)趚層損傷時識別結(jié)果為（x－1）層，此試驗結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果所呈現(xiàn)的規(guī)律一致，由此可成功定位出損傷層，再次驗證了所提出的損傷定位方法在基底隨機(jī)激勵下可以準(zhǔn)確地對損傷進(jìn)行定位。

表2 試驗損傷工況描述Tab.2 Experimental damage cases

圖7 試驗?zāi)Ｐ图霸O(shè)備Fig.7 Experimental model and equipments

圖8 3種試驗損傷工況的損傷定位結(jié)果Fig.8 Damage localization results of 3experimental damage cases

4 結(jié) 論

1）模擬及試驗結(jié)果均表明，基底隨機(jī)激勵下分形波形曲率差概率法能準(zhǔn)確地對損傷進(jìn)行定位，可較好地運(yùn)用在基底承受隨機(jī)振動的結(jié)構(gòu)及系統(tǒng)的健康監(jiān)測中。

2）所提出的方法具有以下優(yōu)點：a.抗噪聲能力強(qiáng)（15%甚至更高的噪聲下仍然可以得到滿意的結(jié)果）；b.該法不需要結(jié)構(gòu)有限元模型，避免了復(fù)雜的有限元建模及模型修正工作；c.該法使用易于準(zhǔn)確、快捷測量得到的加速度響應(yīng)構(gòu)建損傷指標(biāo)，避免了一系列的參數(shù)識別等估算過程，大大降低了中間誤差，同時提高了計算效率，適用于對結(jié)構(gòu)進(jìn)行在線實時監(jiān)測。

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