煤層氣數(shù)值模擬的二維交替隱式求解

陳 林 潘 毅 蘇 靜 王富平 李宜南 馮慶華

（1.成都理工大學(xué)能源學(xué)院，四川 成都 610059；2.中國石油西南油氣田公司川中油氣礦，四川 遂寧 629000；3.油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室·西南石油大學(xué)，四川 成都 610500；4.中國石油西南油氣田公司天然氣經(jīng)濟研究所，四川 成都 610051）

煤層氣數(shù)值模擬的二維交替隱式求解

陳 林1，2潘 毅3蘇 靜2王富平4李宜南2馮慶華2

（1.成都理工大學(xué)能源學(xué)院，四川 成都 610059；2.中國石油西南油氣田公司川中油氣礦，四川 遂寧 629000；3.油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國家重點實驗室·西南石油大學(xué)，四川 成都 610500；4.中國石油西南油氣田公司天然氣經(jīng)濟研究所，四川 成都 610051）

數(shù)值模擬是確定煤層氣開發(fā)方案和評價采收率的有效方法，目前廣泛應(yīng)用的三維全隱式差分法求解難度大，計算復(fù)雜。根據(jù)煤層氣的儲氣特征、吸附特征和解吸機理建立了反映煤層氣解吸、擴散及滲流過程的氣、水兩相耦合流動三維數(shù)學(xué)模型，模型考慮了煤層非均質(zhì)各向異性的影響，運用塊中心差分格式，對氣、水相偏微分方程進行空間差分和時間差分，采用二維交替隱式求解，實現(xiàn)了煤層氣數(shù)值模擬計算。在此基礎(chǔ)上開發(fā)出煤層氣井?dāng)?shù)值模擬軟件，適用于煤層氣整個開采期，可以對煤層氣生產(chǎn)進行預(yù)測，以此制定合理的開發(fā)方案，優(yōu)化煤層氣開采。

煤層氣 非均質(zhì)各向異性 二維交替隱式解法 數(shù)值模擬 生產(chǎn)預(yù)測

0 引言

煤層氣氣水兩相滲流耦合模型是一復(fù)雜高階非線性數(shù)學(xué)模型，涉及到的參數(shù)較多，包括流體飽和度、相對滲透率、煤層氣的平衡吸附量等，再加上一些輔助方程，模型的求解難度較大。筆者建立了反映煤層氣解吸、擴散及滲流過程的氣、水兩相耦合流動三維數(shù)學(xué)模型，并采用塊中心差分格式，相對于煤層的平面展布厚度較薄，簡化為平面二維模型，通過采用二維交替隱式法求解，實現(xiàn)了數(shù)值模擬計算［1］。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 基本假設(shè)

煤層被認(rèn)為由基質(zhì)微孔系統(tǒng)和裂隙宏觀孔隙系統(tǒng)組成的雙孔單滲特殊雙重介質(zhì)；儲層具有非均質(zhì)、各向異性；煤層內(nèi)的流動為等溫流動，原始狀態(tài)下被水100%飽和，不含游離氣及溶解氣，氣體均以吸附態(tài)儲集在煤基質(zhì)的內(nèi)表面；氣體在裂隙系統(tǒng)中的流動服從滲流和擴散機理，水的流動機理為滲流，滲流和擴散分別服從Darcy定律及Fick第一定律；井筒水平段流動過程中無壓損。

1.2 基質(zhì)系統(tǒng)中解吸擴散方程

煤層氣解吸用Langmuir等溫吸附方程描述［2］：

式中，Ve為基質(zhì)—裂隙面上煤層氣的平衡吸附量，m3／t；pfg為裂縫系統(tǒng)中氣相的壓力，MPa；VL為Langmuir體積，即單位體積固體的最大吸附量，m3／t；b為Langmuir常數(shù)，1／MPa。

煤層氣從基質(zhì)向割理的擴散遵循Fick第一定律，認(rèn)為解吸速度與煤基質(zhì)內(nèi)表面氣體濃度和煤基質(zhì)中平均濃度的差成正比，定義吸附時間常數(shù)

式中，τ為吸附時間常數(shù)；Vm為基質(zhì)中吸附氣平均含量，m3／kg；Dm為煤基質(zhì)的氣體擴散系數(shù)，m2／d；σ為Warren-Root形狀因子，與基質(zhì)單元的尺寸大小和形狀有關(guān)；Bg為氣體的體積系數(shù)；qvm為單位體積儲層的煤基質(zhì)表面煤層氣經(jīng)解吸擴散進入裂隙系統(tǒng)中

的速率，m3／（m3·d）；ρc為煤層基質(zhì)密度，kg／m3。

1.3 裂隙系統(tǒng)氣、水流動方程

對于裂隙系統(tǒng)，氣體從基質(zhì)塊中不斷擴散進入其中，可以看作連續(xù)性方程中的源項，裂隙系統(tǒng)中氣相的流動方程為［3］：

式中，Krg為氣相相對滲透率；μg為氣體的黏度，mPa·s；γg為氣體的重度，γg＝ρgg，N／m3；Df為裂隙的氣體擴散系數(shù)，m3／d；qvg為井點所在網(wǎng)格單位體積儲層的產(chǎn)氣量，m3／（m3·d）；φf為裂隙的孔隙度，小數(shù)；Sg為裂隙中氣體的飽和度，小數(shù)；Kf為裂縫系統(tǒng)絕對滲透率，mD；H為基準(zhǔn)高度，m。

裂隙系統(tǒng)中的水相主要以滲透方式運移，利用連續(xù)性方程和Darcy定律，可得水相的流動方程為：

式中，Krw為水相相對滲透率；Bw為水的體積系數(shù)；μw為水的黏度，mPa·s；ρw為水的密度，kg／m3；Pfw為裂隙系統(tǒng)中水相壓力，MPa；Sw為含水飽和度。

1.4 氣、水產(chǎn)量方程

采用三維直角坐標(biāo)塊中心網(wǎng)格，煤層厚度方向為Z方向，并取向下為正，定向羽狀水平井位于XY平面上，垂向坐標(biāo)為Z＝0。X，Y，Z方向上網(wǎng)格編號分別用i，j，k表示，編號的順序X是由左到右，Y是由里到外，Z是由上到下，并規(guī)定重力方向向下（圖1）。

圖1 煤層氣水平井網(wǎng)格剖面圖

XY平面上的網(wǎng)格將煤層氣水平井分為若干微段，由于每段長度較短，可認(rèn)為煤層氣藏流入該段內(nèi)的流量均勻分布，則對任意網(wǎng)格，給定井筒流動壓力，單位體積煤層的產(chǎn)量qvw，qvg計算方法如下［4］：

式中，pwf為該網(wǎng)格內(nèi)所包含井段的井筒流壓，MPa；PID為井指數(shù)［1］P48，在沒有井段的網(wǎng)格，PID＝0

式中，Ke為煤層各向異性介質(zhì)等價的同等滲透率，，kx、ky、kz分別為x，y，z方向的滲透率，mD；Lp為變換的空間上網(wǎng)格內(nèi)井段的長度，m，L為位于該網(wǎng)格內(nèi)井段的長度，m；ω為與x軸的夾角，°；rb是井格塊的等效半徑，m；，

rw為等效井徑，m；rwx＝Rwxcosω，rwy＝RwysinωR為w真實井徑，m；S為表皮因子，小數(shù)。

1.5 定解條件

初始條件：給定煤層氣開發(fā)的某一時刻作為初始時刻，給定此時刻的煤儲層內(nèi)的壓力分布和飽和度分布為：

式中，pi為裂隙系統(tǒng)初始壓力，MPa；Swi為裂隙系統(tǒng)初始含水飽和度，小數(shù)；Vmi為初始含氣量，m3／t。

外邊界條件：在煤層氣儲層數(shù)值模擬中，一般取定壓邊界或封閉邊界，即：pfg|Γpi

內(nèi)邊界條件：在煤層氣儲層數(shù)值模擬中，給定井底流動壓力。

1.6 煤層氣開采數(shù)學(xué)模型

相對于煤層的橫向展布，煤層厚度相對較薄，可只考慮平面上流動，簡化為二維滲流模型，根據(jù)物質(zhì)平衡原理，描述煤儲層中煤層氣解吸擴散、運移及產(chǎn)出的完整數(shù)學(xué)模型如下：

2 模型的數(shù)值求解

采用塊中心差分格式，對氣、水相偏微分方程的左端項進行空間差分，右端項進行時間差分。結(jié)合滲透率方程、擴散方程、黏度方程、體積系數(shù)方程等，采用交替隱式解法求解。如果按全隱式差分直接從時間步n求出下一時間步n＋1時的壓力和流體飽和度分布，則需要求解一個xy維的方程組。通過利用交替隱式解法，在時間步n到n＋1間加入過渡時間步n＋0.5，從n到n＋0.5只在x方向上求解，從n＋0.5到n＋1只在y方向上求解，這樣就把方程的維數(shù)大大降低了，增加了求解的速度，此方法是無條件收斂的［5-6］。

即n到n＋0.5時間步，采用如下差分形式：

n＋0.5到n＋1時間步，采用如下差分形式：

3 算例分析

用以上模型及解法編制了煤層氣多分支水平井?dāng)?shù)值模擬程序，模擬了沁水盆地某區(qū)塊定向羽狀水平井開采過程，單組羽狀水平井井身結(jié)構(gòu)如圖2所示，水平井地面距離直井100m，水平井主支穿過煤層段約1200m，水平井段左右各打6個分支井眼，分支長93～800m，間距200m，一個井組控制面積約4.9km。該區(qū)塊煤層參數(shù)見表1。

圖2 羽狀水平井結(jié)構(gòu)圖

圖3和圖4分別是該井組8年產(chǎn)量和累積產(chǎn)量預(yù)測結(jié)果，產(chǎn)氣量峰值是7.7×104m3／d，出現(xiàn)峰值的時間在排水開采320d后［7］。與同等條件煤層氣產(chǎn)量模擬曲線［1］P50相比，兩者高峰期以及日產(chǎn)量和累積產(chǎn)量總趨勢相近。

表1 煤層數(shù)值模擬基礎(chǔ)參數(shù)表

圖3 煤層氣產(chǎn)量模擬結(jié)果圖

圖4 累積產(chǎn)量模擬結(jié)果圖

4 結(jié)論

建立了反映煤層氣解吸、擴散及滲流過程的氣、水兩相耦合流動三維數(shù)學(xué)模型，給出了數(shù)值求解的方法，利用二維交替隱式求解實現(xiàn)了數(shù)值模擬計算，該方法計算穩(wěn)定，收斂速度快。采用上述數(shù)值模擬模型編制了煤層氣多分支水平井?dāng)?shù)值模擬軟件，利用沁水盆地某試驗井進行了模擬計算，與其他模型對比，算例的模擬結(jié)果是合理的，證明了模型及其算法的正確性。

［1］張冬麗，王新海.煤層氣羽狀水平井開采數(shù)值模擬研究［J］.煤田地質(zhì)與勘探，2005，33（4）：47-51.

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［4］張亞蒲.煤層氣數(shù)值模擬技術(shù)應(yīng)用研究［D］.北京：中國科學(xué)院滲流力學(xué)研究所，2006.

［5］KhalidAziz，AntioninSettari.油藏數(shù)值模擬［M］.北京：石油工業(yè)出版社，2004.

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［7］張海茹，李昊.煤層氣峰值產(chǎn)量擬合及產(chǎn)量動態(tài)預(yù)測方法研究［J］.巖性油氣藏，2013，25（4）：116-118.

（編輯：李臻）

A

2095-1132（2014）01-0030-04

10.3969／j.issn.2095-1132.2014.01.009

2013-10-30

2014-01-14

國家科技重大專項項目“大型油氣田及煤層氣開發(fā)”（編號：2011ZX05047）。

陳林（1983-），工程師，從事復(fù)雜天然氣藏開發(fā)技術(shù)與理論研究工作。E-mail：chenlinpost@petrochina.com.cn。