基于結(jié)構(gòu)化模型的金融衍生品流動(dòng)性分析

李少華，程遠(yuǎn)杰

（同濟(jì)大學(xué) 數(shù)學(xué)系，上海200092）

對(duì)于流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)有很多刻畫方法，目前國際金融界主要的研究結(jié)果有以下幾種，認(rèn)為流動(dòng)性的大小可以由供求關(guān)系來確定，例如 Grossman and Miller［1］指出市場的流動(dòng)性是由當(dāng)前的供給關(guān)系決定的.Cetin等［2］在套利定價(jià)理論中加入了流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，假設(shè)給定一條隨機(jī)供給曲線的情況下，指出金融資產(chǎn)的價(jià)格是關(guān)于交易數(shù)量的函數(shù)，而流動(dòng)性補(bǔ)償則由資產(chǎn)價(jià)格和交易量同時(shí)決定.Jarrow等［3］假設(shè)交易價(jià)格是關(guān)于交易數(shù)量的函數(shù)，用隨機(jī)供給曲線來描述流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，給出了標(biāo)的資產(chǎn)不具有完全流動(dòng)性的情況下的期權(quán)定價(jià).另一種認(rèn)為流動(dòng)性的大小可以由企業(yè)債券的收益利差來決定.收益利差是指在同等條件下不同流動(dòng)性的企業(yè)債券的收益率之差；Amihud等［4］通過分析具有相同到期日的美國國庫券，來分析流動(dòng)性利差，同時(shí)它們的差值是一個(gè)關(guān)于到期時(shí)間的遞減函數(shù).為了能把流動(dòng)性利差從企業(yè)債券的收益利差中分離出來，Longstaff等［5］先對(duì)流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行建模，此模型主要通過約化方法（reduced form models）來做的，其含義是將流動(dòng)性假設(shè)成強(qiáng)度過程，這個(gè)強(qiáng)度一般用lt來表示，lt滿足下面的隨機(jī)微分方程dlt=K（θ-lt）dt+βdWt，其中K，θ，β為常數(shù)，Wt表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).其次是通過流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)給投資者帶來的損失來定量流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，Zheng［6］描述了用結(jié)構(gòu)化模型——structural models，來研究流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)在金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)中的相互影響，它的模型主要是通過假設(shè)企業(yè)總資產(chǎn)價(jià)值以及總資產(chǎn)的破產(chǎn)邊界來描述流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，Ericsson等［7］給出了一個(gè)同時(shí)具有流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)的企業(yè)債券價(jià)格的結(jié)構(gòu)化模型，并指出在企業(yè)債券利差中，流動(dòng)性利差與信用利差具有正相關(guān)的關(guān)系，并且二者都是關(guān)于到期時(shí)間的遞減函數(shù).在定價(jià)領(lǐng)域中，關(guān)于流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的內(nèi)容還有其他很多方面的研究：Amihud等［4］介紹了流動(dòng)性對(duì)證券定價(jià)的影響；Cetin等［2］研究了納入流動(dòng)性影響的期權(quán)定價(jià)；還有其他學(xué)者分析了流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)對(duì)利率模型的影響.

流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)是指金融資產(chǎn)在轉(zhuǎn)換成貨幣或貨幣等價(jià)物時(shí)，其價(jià)值不會(huì)蒙受損失的能力的大小，其實(shí)是一種綜合性風(fēng)險(xiǎn)，它可以由操作風(fēng)險(xiǎn)，信用風(fēng)險(xiǎn)等風(fēng)險(xiǎn)引起，在本文中將流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)分離成兩個(gè)部分：系統(tǒng)性流動(dòng)性和個(gè)體流動(dòng)性，前者是指市場中固有的流動(dòng)性，對(duì)于不同的產(chǎn)品，該流動(dòng)性是不會(huì)變化的，它是受市場整個(gè)環(huán)境以及財(cái)政政策等系統(tǒng)因素的影響，后者是指產(chǎn)品本身的流動(dòng)性，也就是說不同的產(chǎn)品都有不同的變現(xiàn)能力，即隨產(chǎn)品不同而變現(xiàn)能力不同的就是個(gè)體流動(dòng)性差異所致.在理論研究金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)時(shí)，通?？紤]的是違約風(fēng)險(xiǎn)，忽略了流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，而流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)可能會(huì)給投資者帶來損失，這使得實(shí)際模擬驗(yàn)證時(shí)有些出入.在實(shí)際金融背景下，金融資產(chǎn)的信用風(fēng)險(xiǎn)和流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)是相互影響的，很難具體區(qū)分開來，不少金融專家都對(duì)此作了闡述，Zheng［6］假定信用風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生時(shí)刻與流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生時(shí)刻是相互獨(dú)立的，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了相關(guān)的研究，但在金融實(shí)踐中，流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)相互影響，在某種情況下，這種相互作用會(huì)使金融市場迅速惡化，因此對(duì)兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)的非獨(dú)立性研究顯得尤為重要，為此，筆者在文章中給出了信用風(fēng)險(xiǎn)和流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生時(shí)刻不獨(dú)立的損失值模型，最后提出流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)可以劃分為兩部分即市場的系統(tǒng)流動(dòng)性以及特殊金融產(chǎn)品本身的流動(dòng)性，并通過研究國債以及信用等級(jí)為AAA的企業(yè)債券的流動(dòng)利差，來驗(yàn)證確實(shí)存在市場系統(tǒng)流動(dòng)性和產(chǎn)品本身流動(dòng)性.

1 流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)和信用風(fēng)險(xiǎn)的損失值模型

假設(shè)市場上有一組交易對(duì)手，A表示持有方，B表示發(fā)行方，對(duì)于持有方來說，不僅面臨對(duì)手的違約風(fēng)險(xiǎn)，另外，一旦自己破產(chǎn)，亦存在清算時(shí)資產(chǎn)的變現(xiàn)問題，即流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn).已知 Ω，G，（P）是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性的概率測度空間，F(xiàn)t是表示到時(shí)間t時(shí)市場變量（如股票價(jià)格，利率等）的信息，F(xiàn)=（Ft）t≥0是定義在Ω，G，（P）上的域流，其中∪t≥0Ft?G.

1.1 違約與清算時(shí)間相互獨(dú)立的損失模型

首先假定τ1，τ2是定義在（Ω，G，P）上的非負(fù)隨機(jī)變量，τ1為合約發(fā)行方違約的時(shí)刻，τ2為由于合約持有方破產(chǎn)而實(shí)施清算的時(shí)刻，τ=min（τ1，τ2）表示合約發(fā)行方違約和持有方清算合約二者先發(fā)生的時(shí)刻，V表示合約的價(jià)值.對(duì)于合約持有方來說，到期日為T的一份合約損失現(xiàn)金流如下：如果τ＞T，即合約到期前沒有發(fā)生B違約和A清算的情況，A損失為零.如果t＜τ≤T，表示在合約生存期信用事件或流動(dòng)性事件發(fā)生的情況：

（2）當(dāng)τ=τ2時(shí)，持有方清算合約，則會(huì)遇到流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，假設(shè)δ2為單位交易成本，δ3為一個(gè)固定的交易成本，若Vτ＜0，則持有方支付（1+δ2）·（-Vτ），損失為δ2（-Vτ），若Vτ＞0，則持有方的損失為δ2Vτ，損失為（1-δ2）Vτ，在該時(shí)刻的損失為δ2|Vτ|+δ3.

為了計(jì)算合約的損失值，先介紹下面幾個(gè)基本性質(zhì)：

性質(zhì)1［6］若隨機(jī)變量τ1，τ2滿足下面的條件，對(duì)任意的T＞0和任意的t1，t2∈［0，T］，

式（1）表示在給定FT的情況下，τ1，τ2是相互獨(dú)立的（主要為了提供一個(gè)簡單的計(jì)算），式（2）表示兩件事情不可能同時(shí)發(fā)生；

性質(zhì)3 令｛Zt｝t≥0是一個(gè)有界F 可料過程，則對(duì)任意t＜T＜∞，

1.2 違約與清算時(shí)間非獨(dú)立的損失模型

首先構(gòu)造一個(gè)馬氏鏈，知道該合約有4個(gè)狀態(tài)：發(fā)行方不違約以及持有方?jīng)]有發(fā)生清算，發(fā)行方違約以及持有方?jīng)]有發(fā)生清算，發(fā)行方不違約以及持有方發(fā)生清算，發(fā)行發(fā)違約以及持有方發(fā)生清算同時(shí)發(fā)生.分別用1；2；3；4標(biāo)注上述狀態(tài)，即：Ct=1表示發(fā)行方不違約以及持有方?jīng)]有發(fā)生清算；Ct=2表示發(fā)行方違約以及持有方?jīng)]有發(fā)生清算；Ct=3表示發(fā)行方不違約以及持有方發(fā)生清算；Ct=4表示發(fā)行方違約以及持有方發(fā)生清算同時(shí)發(fā)生.相應(yīng)的轉(zhuǎn)移密度矩陣為Λ（t）=｛λij（t）｝i，j=1，2，3，4其中λij（t）∈Ft.假設(shè)轉(zhuǎn)移密度矩陣服從Markov copula條件，即λ22=λ13+λ14，λ33=λ12+λ14.設(shè)λ12=λ1，λ13=λ2，，λ14=λ3，則轉(zhuǎn)移密度矩陣Λ（t）可寫為：

性質(zhì)4 在轉(zhuǎn)移密度矩陣下就可以有如下這些公式：

從而在前一部分的基礎(chǔ)上，只要在總的損失中加入同時(shí)發(fā)生時(shí)刻損失現(xiàn)金流的貼現(xiàn)，就可得到一份合約的總損失Lt0為

1.3 利差模型

現(xiàn)對(duì)一份標(biāo)準(zhǔn)合約進(jìn)行定價(jià)，如果Sti，i=0，1，2依次表示總利差，信用利差，流動(dòng)性利差，rt表示無風(fēng)險(xiǎn)利率，則合約的現(xiàn)價(jià)為：VTe-（St0+r）（T-t），另一方面，由前面對(duì)損失值模型的分析其定價(jià)公式為：Vt-Lt0，對(duì)于同一份合約，其價(jià)值應(yīng)該是一致的，于是有：

同理，對(duì)于信用利差和流動(dòng)性利差分別用信用事件和流動(dòng)性事件發(fā)生時(shí)帶來的損失值進(jìn)行定義，這樣就得到所有利差的公式：

2 違約以及清算時(shí)間的分布

假設(shè)合約持有方清算時(shí)刻τ2服從參數(shù)為λ指數(shù)分布，F(xiàn)ui是τi＜u的條件分布，即合約持有方發(fā)生清算的概率為［7］

其中：r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，σ為波動(dòng)率；并且r、σ都是常數(shù)；Wt是標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng).式（5）的解為

其中，A0是資產(chǎn)在初始時(shí)刻的值，m=r-σ2/2.

該模型的主要思想是結(jié)構(gòu)化方法，當(dāng)B公司的資產(chǎn)At低于某個(gè)常數(shù)邊界L時(shí)，B公司發(fā)生違約，即τ1是資產(chǎn)Au第一次碰到L的時(shí)刻，τ1=inf｛u：Au＜L｝.知道公司B的生存概率即違約發(fā)生的分布函數(shù)，

3 實(shí)證分析

利用債券市場的交易數(shù)據(jù)，通過第1.3節(jié)和第2節(jié)中的模型對(duì)利差的計(jì)算，來驗(yàn)證一份債券確實(shí)存在市場系統(tǒng)流動(dòng)性和產(chǎn)品本身流動(dòng)性.實(shí)證中需要假設(shè)認(rèn)為國債的流動(dòng)性利差為市場的流動(dòng)性利差，企業(yè)債券的流動(dòng)性利差包括市場的流動(dòng)性利差以及債券本身的流動(dòng)性利差，這樣通過國債與企業(yè)債就可以把債券的流動(dòng)性利差區(qū)分開來，表1是收集到的關(guān)于國債和企業(yè)債券的數(shù)據(jù).

對(duì)于其他條件都相同但流動(dòng)性不一樣的兩個(gè)資產(chǎn)，其二者收益率之差即為流動(dòng)性利差.具體操作方法是通過債券交易市場獲得的數(shù)據(jù)計(jì)算出債券的到期收益率，其次選取一年期銀行間國債收益率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率或者說基準(zhǔn)利率，將二者作差得到的結(jié)果即為流動(dòng)性利差，而本文選擇一年期銀行間國債主要從兩方面來進(jìn)行考慮，一是銀行間的國債可以認(rèn)為是無違約風(fēng)險(xiǎn)的（違約利差比較小，相對(duì)于流動(dòng)性利差可以忽略不計(jì)），二是期限短，可以認(rèn)為它的流動(dòng)性比較好，甚至流動(dòng)性的補(bǔ)償為零，這樣其他所有債券到期收益率與其之差就是該債券的流動(dòng)性利差.由式（3）—（4）可知在沒有考慮信用風(fēng)險(xiǎn)即Lt1=0的情況下，可知此時(shí)損失值公式表達(dá)式：

表1 國債和企業(yè)債的年化收益數(shù)據(jù)Tab.1 Treasury bonds and corporate debt in the yield data

那么通過前面每個(gè)觀察點(diǎn)的數(shù)據(jù)，可以回歸出流動(dòng)性利差中的參數(shù)（表2），回歸得到的模型統(tǒng)計(jì)量R2均高于0.8，

表2 利差回歸參數(shù)Tab.2 The regression parameters of spread

有了表2的參數(shù)估計(jì)后，可以將國債和企業(yè)債券的流動(dòng)性利差與剩余時(shí)間的關(guān)系用圖1來表示，同時(shí)可以研究流動(dòng)性利差的結(jié)構(gòu)關(guān)系.

通過圖1發(fā)現(xiàn)兩個(gè)流動(dòng)性利差之差大約在0.6至0.7個(gè)百分點(diǎn)左右，在不考慮信用利差的情況下，基于前面的實(shí)證假設(shè)，把國債的流動(dòng)性利差認(rèn)為是市場的流動(dòng)性利差，國債與企業(yè)債的流動(dòng)性利差之差作為債券本身的流動(dòng)性利差來考慮.發(fā)現(xiàn)，在總的流動(dòng)性利差中，整個(gè)債券市場的流動(dòng)性利差占總流動(dòng)性利差的比重較大，也就是說，市場上的每一份債券，它們的流動(dòng)性不足主要是因?yàn)檎麄€(gè)債券市場環(huán)境的流動(dòng)性缺乏所致，但是，不同的企業(yè)他們發(fā)行的債券所面臨的流動(dòng)性不足大小各異，主要是因?yàn)閭旧淼牧鲃?dòng)性不同所引起.

圖1 國債與企業(yè)債流動(dòng)性利差期限結(jié)構(gòu)Fig.1 Treasury bonds and corporate debt maturity structure of liquidity spreads

4 主要結(jié)果

（1）本文主要研究了資產(chǎn)的流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)，在結(jié)構(gòu)化模型的基礎(chǔ)上，給出了信用風(fēng)險(xiǎn)以及流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)的損失值模型以及利差模型.

（2）流動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)與信用風(fēng)險(xiǎn)是很難區(qū)分開來的，這個(gè)可以通過損失值模型容易發(fā)現(xiàn)，它們的表達(dá)式始終都包含了二者風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生時(shí)刻服從的分布函數(shù)，從而在刻畫兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，很難將它們進(jìn)行區(qū)分開來，它們的相關(guān)性是不容忽視的.

（3）在最后的實(shí)證部分主要基于無違約風(fēng)險(xiǎn)的債券進(jìn)行流動(dòng)性利差研究，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)結(jié)果：①是債券的流動(dòng)性利差隨著剩余時(shí)間的減小而增大的，并且接近呈線性函數(shù)關(guān)系；②是發(fā)現(xiàn)流動(dòng)性利差可以看成有兩部分來組成，即合約本身的流動(dòng)性利差與市場環(huán)境的流動(dòng)性利差，并且后者在總的流動(dòng)性利差中占大部分（在75%左右），前者比重較小.

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