電力市場中一類博弈模型的脈沖延遲反饋控制法

王國棟

到現(xiàn)在為止，人們對非線性動力系統(tǒng)的研究有很多［1－5］，而脈沖動力系統(tǒng)的研究在過去幾十年成為人們研究的主要對象.通過研究發(fā)現(xiàn)，脈沖動力系統(tǒng)可以提供現(xiàn)實世界中某些瞬間變化的自然進(jìn)化過程中的數(shù)學(xué)模型.最近學(xué)者們對經(jīng)濟(jì)動力系統(tǒng)的研究往往會在微分方程中加入時間延遲因素［6］，而一般的微分方程并不能全面描述一些經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.動態(tài)的經(jīng)濟(jì)變量存在時滯的原因有:(1)做出的經(jīng)濟(jì)決策與決策發(fā)生效力之間存在時間延遲;(2)經(jīng)濟(jì)代理人被認(rèn)為是完全理性的.完全理性博弈是基于兩個假設(shè)前提:一是每個發(fā)電商在決策時，都具有完備的信息;二是每個發(fā)電商都是基于完全理性進(jìn)行決策的.在現(xiàn)實中，發(fā)電商之間的博弈是不斷進(jìn)行的，不可能立即達(dá)到Nash均衡狀態(tài)，同時每個發(fā)電商掌握的信息都是不充分的，而且發(fā)電商決策都是由人做出的，而人的決策也不可能是完全理性的，只能是有限理性［7］.

1 模型的建立

假設(shè)市場由兩個區(qū)域市場組成，記發(fā)電商團(tuán)隊為A、B，每個投資方的戰(zhàn)略空間是選擇投資的發(fā)電量，利潤是支付，發(fā)電商團(tuán)隊A 是有2 個合作的發(fā)電商1 和發(fā)電商2 組成，團(tuán)隊B 中只有1 個發(fā)電商3.假設(shè)發(fā)電商1 和發(fā)電商2 均為有限理性調(diào)整型，發(fā)電商3 是自適應(yīng)調(diào)整型，且他們的逆需求函數(shù)均為非線性的，即

其中ai，bi，ci＞0，a 為非負(fù)參數(shù).發(fā)電商1 和2是合作關(guān)系，存在技術(shù)價格情報共享等.不妨假設(shè)a1=a2，b1=b2，c1=c2.合作的團(tuán)隊往往是出于共同的利益來選擇合作，而發(fā)電商之間實力的差異，必然存在利益的分配問題，團(tuán)隊A 中發(fā)電商1 和發(fā)電商2 的利益分配權(quán)重分別為w 和1－w，團(tuán)隊A 和團(tuán)隊B 的利潤函數(shù)πA和πB分別為:

其中0 ＜w ＜1.在實際電力市場中，每個發(fā)電商并不具有完全的市場信息，也不可能完全預(yù)測未來的市場變化情況，因而他們的決策往往基于部分信息而做出.本文假設(shè)投資方A 是基于上一時刻的邊際利潤的基礎(chǔ)上做出有限理性調(diào)整.如果發(fā)電商團(tuán)隊A 認(rèn)為第t 時刻邊際利潤為正，則他將會在第t+1 時刻增加發(fā)電量;反之如果邊際利潤為負(fù)，他就會減少發(fā)電量.于是可得到發(fā)電商1 和2 在第t +1 時刻的發(fā)電量為:

式中:i=1，2 ;αi＞0 為調(diào)整率.發(fā)電商3 是根據(jù)t 時刻自身的發(fā)電量以及競爭對手t 時刻的反應(yīng)發(fā)電量

并給予比例來決t +1 時期的發(fā)電量.具有如下形式:

可以得到發(fā)電商在t +1 時刻的投資模型

2 模型的分析

2.1 投資商1 加入時間延遲反饋控制

由前面的研究可以知道，當(dāng)參數(shù)取

a=15，w=0.28，α2=0.2，a1=5，a2=6，b1=b2=c1=c2=0，v=0.5 系統(tǒng)會出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.為了防止系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)，我們可以加入時間延遲的方法來控制.

μ(t)= ω(x(t +1－T)－ x(t +1))，t ＞T T 為延遲時間，ω 為控制系數(shù).

如果我們對有限理性投資者A 加入時間延遲決策，則控制系統(tǒng)(5)改寫為:

我們選擇T=1，控制系統(tǒng)(6)可以表示為

則系統(tǒng)(7)的Jocobian 矩陣為:

將混沌參數(shù)

a=15，w=0.28，α1=0.75，α2=0.2，

a1=5，a2=6，b1=b2=c1=c2=0，v=0.5，

則Jocobian 矩陣變?yōu)?

根據(jù)Jury 條件，通過計算得出，且僅當(dāng)ω ＞0.646 7，也就是說當(dāng)ω 滿足ω ＞0.646 7 時，系統(tǒng)的特征值是小于1 的，系統(tǒng)是圍繞Nash 均衡點穩(wěn)定的.

當(dāng)取參數(shù)a=15，w=0.28，α2=0.2，a1=5，a2=6，b1=b2=c1=c2=0，v=0.5，系統(tǒng)出現(xiàn)混沌狀態(tài)，如圖1所示.

在系統(tǒng)中引入時間延遲反饋控制參數(shù)后，取參數(shù)a=15，w=0.28，α1=0.75，α2=0.2，c1=5，c2=6，v=0.5，系統(tǒng)變得穩(wěn)定，如圖2所示.

圖1 投資商2 的時序圖

圖2 系統(tǒng)7 的投資量時序圖

2.2 整個系統(tǒng)引入時間延遲反饋控制

由于投資市場信息的不完全性，以及投資者行為有限理性，為達(dá)到投資系統(tǒng)共同控制混沌的效果，3 個投資商均采用時間延遲反饋控制，則系統(tǒng)可以改寫為系統(tǒng)(8)

令T=1，則系統(tǒng)(8)變?yōu)橄到y(tǒng)(9)

上式的Jocobian 矩陣為:

將混沌參數(shù)

a=15，w=0.28，α1=0.75，

α2=0.2，a1=5，a2=6，

b1=b2=c1=c2=0，v=0.5

可以求得Jocobian 矩陣為:

根據(jù)Jury 條件，系統(tǒng)如果要保持穩(wěn)定而不進(jìn)入混沌狀態(tài)，通過計算可以得出;當(dāng)且僅當(dāng)ω ＞0.482 7 時，系統(tǒng)(9)的所有特征值都小于1，說明系統(tǒng)是圍繞Nash 均衡點穩(wěn)定的.意味著離散的動力系統(tǒng)即投資系統(tǒng)在滿足時間延遲反饋控制系數(shù)ω ＞0.482 7 時，3 個投資商是穩(wěn)定共存的.如圖3，圖4分別表示一家投資商加入時間延遲反饋控制與3 家投資商都加入時間延遲反饋控制.

圖3 一家投資商加入時間延遲反饋控制

圖4 三家投資商加入時間延遲反饋控制

由圖3與圖4的比較，可以看出，當(dāng)只有一家投資商加入時間延遲反饋控制，反饋參數(shù)只有滿足ω ＞0.646 7 時，系統(tǒng)才達(dá)到Nash 均衡穩(wěn)定，當(dāng)3 家都加入時間延遲反饋控制時，反饋控制參數(shù)只需要滿足ω ＞0.482 7 時，系統(tǒng)就可以達(dá)到Nash 均衡.也就是說3 家投資商均采用時滯延遲控制的方法比只有一家采用時滯延遲控制更能有限快速的達(dá)到混沌控制的目的.

3 結(jié)語

本文在電力市場中建立一類含差異化策略的博弈模型，針對模型出現(xiàn)的混沌狀態(tài)，在系統(tǒng)中加入時間延遲反饋控制參數(shù)，對系統(tǒng)進(jìn)行控制，還就一家投資商加入時間延遲反饋參數(shù)與3 家同時加入時間延遲反饋控制參數(shù)利用非線性理論進(jìn)行分析，這兩種控制方法都成功使原來不穩(wěn)定的系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，且3 家投資商同時加入延遲反饋控制參數(shù)要比其中一家加入延遲反饋控制參數(shù)更快達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).

［1］ 姚洪興，潘紅.一類含脈沖延遲反饋金融系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報，2011(3) ：32 －34.

［2］ 姚洪興，王娜娜.含時滯的企業(yè)競爭動力系統(tǒng)模型穩(wěn)定性分析［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報，2010(3) ：31 －33.

［3］ 姚洪興，張芳.差異化策略的兩組動態(tài)古諾模型的分析［J］.江蘇大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，33：365－368.

［4］ Chian A C L，Borotto F A，Rempel E L，et al.Attractor merging crisis in chaotie business eyeles［J］.Chaos Solitions，2005(24) ：869 －875.

［5］ Chian A C L，Rempel E L.Rogers complex economic dynamics chaotic saddle crisis and intermitteney［J］.Chaos Solitons，2006(29) ：1194 －1218.

［6］ Chen W C.Dynamics and control of finanes system with time－delayed feedbacks［J］.Chaos Solitons，2008(37) ：1198 －1207.

［7］ 姚洪興，徐峰.雙寡頭有限理性廣告競爭博弈模型的復(fù)雜性分析［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2005(12) ：22 －28.