Privalov 定理的一個(gè)推廣

畢文姍，劉 華

(天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)理學(xué)院，天津 300222)

Privalov 定理是幾何函數(shù)理論尤其是解析函數(shù)邊值問題研究方向的奠基性工作.經(jīng)典的Privalov 定理［1］指對(duì)光滑簡單曲線Γ 上的H?lder指數(shù)為0 ＜μ ＜1 的連續(xù)函數(shù)f(t)，其Cauchy 積分

在Γ 上的正負(fù)邊值F+(t)、F－(t)均存在且屬于H?lder 空間Hμ(Γ).同時(shí)f(t)的奇異積分

也屬于Hμ(Γ)，或者換句話說，Hμ(Γ)是奇異積分算子的不變子空間.這在奇異積分方程理論的研究中是至關(guān)重要的.

現(xiàn)代數(shù)學(xué)和工程技術(shù)的發(fā)展，使得在研究解析函數(shù)邊值問題和奇異積分方程時(shí)需要擺脫H?lder 條件的束縛.如電磁場(chǎng)的邊界就可能很復(fù)雜［3］，即使在經(jīng)典的材料力學(xué)的應(yīng)用上，由于分子水平材料技術(shù)的興起，連續(xù)的邊界值理論已不夠用［4］.另外，奇異積分方程的擾動(dòng)理論也不可避免地要用到非連續(xù)數(shù)據(jù)［5］.

本文就針對(duì)這些應(yīng)用，嘗試把Privolov 理論推廣到不連續(xù)情況.實(shí)際上，Privalov 定理可以推廣到L2空間中［2］，但這個(gè)空間太大，在實(shí)際應(yīng)用中不夠精細(xì)，力學(xué)中最重要的奇性分析就得不到.因此，作者需要尋找一類合適的空間來討論.

1 預(yù)備知識(shí)

記復(fù)平面的單位圓盤為D，其邊界?D 以逆時(shí)針為正方向，對(duì)f(t)∈Lp(?D)，其對(duì)應(yīng)的分區(qū)解析函數(shù)和奇異積分變換如(1)、(2)所示.

帶權(quán)Besov 解析函數(shù)Bps空間是滿足

的D 上的解析函數(shù)的集合，其中1 ＜P ＜∞，0 ＜S ＜ 1.后文中用dAP，S(z)=(1－，即

對(duì)于f(t)∈LP(?D)，如果

則稱f ∈LP(?D)，其范數(shù)定義為

可以證明LPS(?D)是一個(gè)Banach 空間［6］.

LPS(?D)空間可以看作是H?lder 空間的某種完備化.實(shí)際上，設(shè)f(t )(?D)，S' ＜S，則

這里C 代表某個(gè)常數(shù).這個(gè)記號(hào)在后文中用到的時(shí)候也是如此，即不同的常數(shù)都用C 表示而不作區(qū)分.

2 主要定理

先給出兩個(gè)引理:

引理1 設(shè)1 ＜P ＜∞，0 ＜S ＜1，F(xiàn) ∈A1(D)，limF(reiθ)對(duì)eiθ∈?D 幾乎處處存在.如果，則f ∈LPS.

由文獻(xiàn)［7］中的引理4.1 得證.

因?yàn)锽esov 空間是Hardy 空間的子空間，所以Besov 函數(shù)在邊界的極限總是存在的，故引理1 指出Besov 空間BPS中函數(shù)的邊界值在空間LPS中.實(shí)際上，下面引理說明它反過來也是對(duì)的，即對(duì)任一個(gè)f ∈LP(?D)，存在ˉf ∈BPS，使得f 是ˉf的非切向邊值.

引理2 設(shè)1 ＜P ＜∞，0 ＜S ＜1，且f ∈LP(?D)，f ∈LPS，則

證明 設(shè)z=reiμ，則由文獻(xiàn)［1］引理1.3.2證明(即里面的zL=eiμ)有

由H?lder 不等式

再由(5)式得

由文獻(xiàn)［7］中(4.4)式

故(6)式和(7)式聯(lián)合給出

證畢.

本文的主要定理如下:

定理3 設(shè)1 ＜P ＜∞，0 ＜S ＜1，且f(t)∈LP(?D)∩LPS(?D)則F+(t)、F－(t)和SF(t)均在LP(?D)∩LPS(?D)中.

證明 由文獻(xiàn)［2］LP情形下的Privalov 定理，F(xiàn)+(t)、F－(t)及 SF(t)均 屬 于 空 間LP(D).又由引理2 知

再由引理1 得知F(z)的正邊值F+(t)∈LPS(D).

最后，由Plemelj 公式［2］有

都在空間LPS(?D)中.

3 結(jié)論

本文證明了在單位圓圈上作為H?lder 函數(shù)空間的某些推廣空間LPS是奇異積分算子的不變子空間.這樣的結(jié)論在常用的LP(R)空間以及Hilbert變換是不對(duì)的(那里只是兩個(gè)非平凡的無窮維不變子空間).本文的工作是把經(jīng)典的解析函數(shù)邊值問題和奇異積分方程理論推廣到現(xiàn)代函數(shù)空間的準(zhǔn)備.

［1］ 路見可.解析函數(shù)邊值問題教程［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2009.

［2］ Mikhlin S G，Prossdorf S.Singular integral operators［M］.Berlin：Springer-verlag，1986.

［3］ Li X，Long Y Y，Shi P P.The thermal effect of antiplane crack in a functi-onally graded piezoelectric strip under electric shock［R］.The 13th International Conference on Fracture，June 16 -21，2013，Beijing.

［4］ Slobdrain R J，Rioux C，Piche M.A review of metallic fractal aggregates［J］.Open Journal of Metal，2011(1) ：17 -24.

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［6］ EM.Singular integrals and differentiability properties of functions［M］.Princeton：Princeton University Press，1971.

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