具乘性白噪聲耗散KdV型方程的隨機(jī)吸引子

蔡東洪, 范小明, 葉建軍

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610031)

具乘性白噪聲耗散KdV型方程的隨機(jī)吸引子

蔡東洪, 范小明, 葉建軍

(西南交通大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610031)

考慮具乘性噪聲的耗散KdV型方程在一維有界區(qū)域上的長時(shí)間行為.通過變換將該方程化為不含白噪聲的隨機(jī)KdV型方程, 通過討論新方程所確定動(dòng)力系統(tǒng)的吸收性與漸近緊性, 從而證明了原方程所確定動(dòng)力系統(tǒng)隨機(jī)吸引子的存在性.

隨機(jī)吸引子;乘性白噪聲;耗散KdV方程;隨機(jī)半徑;隨機(jī)吸收集

引言

耗散KdV方程是描述孤波現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型[1], 在長波小振幅近似情況下, 它可以描述管的下部流體運(yùn)動(dòng),等離子體離子聲波液氣兩種混合態(tài)的壓力波等物理現(xiàn)象.確定型耗散KdV型方程各方面已經(jīng)有很好的研究[2-9].文[10-11]證明了具加性白噪聲的耗散型KdV型方程隨機(jī)吸引子的存在性.

本文考慮具乘性白噪聲的耗散KdV型方程.通過合適的變換將(1)化為不含白噪聲的隨機(jī)KdV型方程.在新方程中, 樣本可視為一個(gè)普通參數(shù).利用確定KdV型方程的方法和技巧以及Wiener過程的緩增性, 新方程所確定動(dòng)力系統(tǒng)的吸收性與漸近緊性能被得到, 從而證明新方程隨機(jī)吸引子的存在性.由變換的可逆性, 具乘性白噪聲的耗散KdV型方程所確定動(dòng)力系統(tǒng)隨機(jī)吸引子也是存在的.

下面的記號將在本文中被經(jīng)常用到:

1 隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)

本節(jié)將引進(jìn)一個(gè)可逆變換,消掉(1)中的白噪聲,得到一個(gè)不含白噪聲的新隨機(jī)微分方程.新方程解是存在的、唯一的且是整體的, 從而其確定一個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).既然該變換是可逆的, 則(1)-(3)也確定一個(gè)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).

引入隨機(jī)過程:

成為由具有白噪聲隨機(jī)耗散Kdv型方程(1)所確定的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).

2 隨機(jī)吸引子

再由Poincare不等式, 得

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Random attractor for dissipative KdV equation with multiplicative white noise

CAI Dong-hong, FAN Xiao-ming, YE Jian-jun
(Department of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, P.R.C.)

This paper considers the long time behavior of the dissipative KdV equation on one dimension dounded domain D.A process is introduced, which enables us to transform this equation into a stochastic equation without white noise. Then this paper studies the absorbent and asymptotic compactness of the dynamical system generated by the new equation. It proves the existence of random attractor for the dissipative KdV equation finally.

random attractor; multiplicative white noise; dissipative KdV equation; random ridua; random absorting set

O175.2

A

1003-4271(2014)06-0900-05

10.3969/j.issn.1003-4271.2014.06.18

2014-06-05

蔡東洪(1991-), 男, 漢族, 廣東人, 碩士研究生; 研究方向: 偏微分方程、隨機(jī)微分方程以及動(dòng)力系統(tǒng).E-mail:cdhswjtu@163.com.

國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目(71273214); 中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)創(chuàng)新項(xiàng)目(SWJTU11CX154).