理論應力集中系數(shù)的有限元計算方法研究

1、中北大學機械與動力工程學院 馮占闖 張翼 苗會2、中國人民解放軍93437部隊 張廣顯

引言

缺口使零件應力應變增大的現(xiàn)象稱為應力集中，任何結構或機械零構件幾乎都存在應力集中。零構件的疲勞強度取決于局部應力應變狀態(tài)，因此應力集中部位是結構的疲勞薄弱環(huán)節(jié)，控制了結構的疲勞壽命[1]。

理論應力集中系數(shù)可以通過實驗獲取，雖然數(shù)據(jù)可靠，但是耗資費時，實際操作難度大；也可通過工程圖表查詢，但只有簡單的結構形式可供參考，而針對不同材料、不同結構和復雜受力狀況的結構則沒有合適的圖表可用；還可用經(jīng)驗公式法求取，但因公式資源少，只能用于簡單和相似的結構，而且該方法誤差較大[2]，不利于工程實際應用。

隨著計算機的飛速發(fā)展和有限元數(shù)值計算方法的建立和不斷完善，工程實際結構的應力集中系數(shù)Kt可通過有限元數(shù)值計算方法準確求取[3]。本文采用最大主應力有限元數(shù)值計算方法求解理論應力集中系數(shù)Kt，對有限元數(shù)值計算方法的可行性及名義應力法假設的合理性進行驗證。

1 理論應力集中系數(shù)Kt

缺口應力集中的嚴重程度用應力集中系數(shù)Kt表示[1,4-6]，其表達式如下：作者簡介：馮占闖，1988年生，河北省晉州市人，碩士研究生，研究領域：動力機械結構強度與動態(tài)設計技術。

式中：σmax為最大彈性局部彈性應力，σ0為名義應力，其中名義應力有兩種定義：

一是凈面積應力，為缺口處凈截面上的名義應力，即圖1中的A-A截面上的名義應力。

二是毛面積應力，為構件無缺口時截面上的名義應力，即圖1中的B-B截面上的名義應力。毛面積名義應力計算時結果偏大，用于疲勞壽命估算過于保守，而采用凈面積名義應力計算與工程實際更接近[7]。

圖1 帶缺口的板受拉伸載荷時的應力分布

最大局部彈性應力選用最大主應力[7]，其表達式如式（2）：

2 有限元法求解理論應力集中系數(shù)

2.1 計算流程

有限元數(shù)值計算法求解理論應力集中系數(shù)Kt的流程如圖2所示。

圖2 計算流程圖

2.2 有限元計算模型建立

本文研究對象為兩側各一半圓缺口板條，尺寸為20mm×20mm，兩側中央各有一半徑為1mm的半圓缺口?？紤]到結構的對稱性，只取其1/4結構進行有限元分析，如圖3所示。其中，A0表示凈面積，AL表示毛面積，σ0表示名義應力，σL表示拉伸載荷，線段MN（下邊）為積分路徑。

圖3 平面幾何模型

在有限元數(shù)值計算軟件ANSYS中建立模型，其中模型選用平面4節(jié)點單元Plane42，厚度實常數(shù)設定為1，所用材料為45號鋼，其彈性模量E為200GPa，泊松比μ為0.3。模型劃分網(wǎng)格時，對缺口部位網(wǎng)格細化，模型右側和下側施加位移對稱約束；由于載荷大小對計算結果沒有影響[2]，為方便計算，因此本例選用均布載荷σL為10MPa，有限元模型如圖4所示。

圖4 有限元模型

2.3 有限元求解及后處理

在求解器中對有限元模型進行計算，其最大主應力云圖如圖5所示。從圖5中可看出，最大主應力出現(xiàn)在圓孔與下邊交點處，其值為30.042MPa。

圖5 最大主應力云圖

根據(jù)主應力性質和載荷方向，可知截面MN是主平面，相應的MN線段為積分路徑，在積分路徑上提取結果如圖6所示，在路徑上進行應力積分如圖7所示。

圖6 路徑上的應力分布曲線

圖7 路徑上的應力積分

基于應力積分值，便可求解名義應力σ0：

式中，σ為第一主應力，s為積分路徑的長度，最后根據(jù)式（1）可求出理論應力集中系數(shù)Kt：

而根據(jù)理論求解名義應力[6]進而計算Kt為2.704，有限元法計算結果與其非常接近。

式中，σmax為最大主應力，σ0為名義應力，σL表示拉伸載荷，A0為凈面積，AL為毛面積。

3 有限元數(shù)值計算結果準確性的驗證

3.1 有限元數(shù)值計算與理論計算結果的對比驗證

本文應用 APDL（ANSYS Parametric Design Language）進行參數(shù)化建模，對不同網(wǎng)格密度的理論應力集中系數(shù)Kt進行求解。有限元計算結果與理論計算結果比較由表1給出。

表1 有限元數(shù)值計算與理論計算結果的對比

圖8 相對誤差隨網(wǎng)格數(shù)目的變化曲線

4 結論

本文基于ANSYS參數(shù)化建模，采用最大主應力有限元數(shù)值計算方法求解理論應力集中系數(shù)Kt，對有限元數(shù)值計算方法的可行性及名義應力法假設的合理性進行驗證。得出以下結論：

4.1 有限元數(shù)值計算方法與理論計算方法的結果誤差在1%以內。而且隨著網(wǎng)格密度的增大，兩者間的誤差不斷減小。

4.2 有限元數(shù)值計算結果與理論計算值相吻合，驗證了有限元數(shù)值計算理論應力集中系數(shù)方法的準確性和可行性，為進一步進行疲勞壽命估算提供了準確的依據(jù)。

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