基于奇異強(qiáng)度理論的疲勞特性評(píng)估方法

高嵩，徐麗，Nigel BARLTROP，王大政

1 交通運(yùn)輸部水運(yùn)科學(xué)研究院，北京100088

2 哈爾濱工業(yè)大學(xué)（威海）船舶與海洋工程學(xué)院，山東威海264209

3 斯特萊斯克萊德大學(xué) 船舶與海洋工程系，英國格拉斯哥G4 0LZ

0 引 言

各種類型的海洋工程結(jié)構(gòu)在海上作業(yè)時(shí)，都會(huì)受到交變的波浪載荷作用，致使結(jié)構(gòu)拐角節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象，萌生疲勞裂紋，最終造成疲勞破壞；因此，研究結(jié)構(gòu)拐角節(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力集中至關(guān)重要。

考慮到應(yīng)力集中程度取決于焊趾周邊的結(jié)構(gòu)尺寸，其函數(shù)形式并不明確，疲勞強(qiáng)度與垂直于裂紋擴(kuò)展方向的法向應(yīng)力場(chǎng)有關(guān)，法向應(yīng)力場(chǎng)又忽略了每個(gè)尺寸下的應(yīng)力增長和焊接的影響，所以大部分船級(jí)社規(guī)范都應(yīng)用了S-N 曲線方法。雖然S-N 曲線法結(jié)合利用應(yīng)力集中系數(shù)求取的計(jì)算應(yīng)力可估算結(jié)構(gòu)的疲勞壽命，但無法給出裂紋擴(kuò)展時(shí)間歷程。而基于斷裂力學(xué)法的Paris 裂紋擴(kuò)展法則能針對(duì)任意時(shí)刻給出裂紋擴(kuò)展情況。Yung等［1］對(duì)應(yīng)力集中最顯著的結(jié)構(gòu)（拐角過渡半徑為0）進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，為求取實(shí)際應(yīng)力分布，需要考慮焊趾或焊根處拐角半徑尺寸的影響，否則，就要考慮應(yīng)力奇異性（無窮大應(yīng)力）。Maddox［2］和Gurney［3］為了在疲勞分析中考慮焊趾幾何形狀的影響，應(yīng)用斷裂力學(xué)方法，結(jié)合應(yīng)力強(qiáng)度因子（SIF）求解了裂紋擴(kuò)展率，同時(shí)針對(duì)實(shí)時(shí)檢測(cè)缺陷和未被發(fā)現(xiàn)的假想裂紋缺陷問題，將疲勞應(yīng)力應(yīng)用于結(jié)構(gòu)壽命評(píng)估。但是，由于微裂紋萌生時(shí)間較長、裂紋太小，因此，應(yīng)用線彈性斷裂力學(xué)方法分析疲勞裂紋擴(kuò)展受到限制。為此，學(xué)者們研究了不同于斷裂力學(xué)法和S-N 曲線的新方法，即切口應(yīng)力強(qiáng)度因子理論（N-SIF）。

Williams［4］最早研究了裂紋尖端的應(yīng)力場(chǎng)并得到了解析函數(shù)，此后，Gross 等［5］研究了N-SIF 理論并拓展了用來描述裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)的SIF 定義，用其來描述V 型鋒利角處的應(yīng)力場(chǎng)。Lazzarin等［6-7］對(duì)不同構(gòu)件進(jìn)行定量分析，得到了應(yīng)力場(chǎng)與結(jié)構(gòu)尺寸相關(guān)的函數(shù)并加以驗(yàn)證，應(yīng)用時(shí)，結(jié)果雖準(zhǔn)確，但函數(shù)眾多，參數(shù)選取復(fù)雜，計(jì)算繁瑣。因此，高嵩和徐麗等基于N-SIF 理論，簡化了結(jié)構(gòu)拐角處應(yīng)力函數(shù)及參數(shù)的選取，定義了“奇異應(yīng)力函數(shù)”［8］（見式（1）），引入了與結(jié)構(gòu)尺寸相關(guān)聯(lián)的奇異強(qiáng)度as 概念，同時(shí)，分別針對(duì)薄板直角結(jié)構(gòu)和135°拐角結(jié)構(gòu)給出了與結(jié)構(gòu)幾何尺寸的關(guān)系函數(shù)as=min（H/2，L/25）［9］和as=min［t（H/h）0.1/6，（2h+L）/8］［8］（式中：t 為受載板高，H 為非受載板高，L 為非受載板長，h 為肘板高，單位均為m，如圖1 所示）。

式中：q=3p-0.5，p 取決于拐角處角度［4］，其中，直角結(jié)構(gòu)p=0.455，135°拐角結(jié)構(gòu)p=0.326；x 為到拐角的距離；as 為表征奇異點(diǎn)特性的長度量（奇異強(qiáng)度）；σn為均布拉伸名義應(yīng)力，進(jìn)而可求得本文所研究的135°薄板拐角結(jié)構(gòu)（圖1）中應(yīng)力分析線上沿Y 方向的應(yīng)力分布，并結(jié)合S-N 曲線進(jìn)行疲勞特性分析。

圖1 受分析的結(jié)構(gòu)邊緣Fig.1 The edge of structure for analyzing

本文擬在上述研究的基礎(chǔ)上，基于N-SIF 理論并結(jié)合S-N 曲線與線彈性斷裂力學(xué)方法，給出通過由結(jié)構(gòu)尺寸決定的奇異強(qiáng)度as 直接計(jì)算應(yīng)力集中系數(shù)SCF 的方法。該方法將簡化復(fù)雜參數(shù)的選取，并將考慮焊趾尺寸對(duì)拐角應(yīng)力的影響，最終利用奇異強(qiáng)度即可直接計(jì)算SIF、應(yīng)力集中系數(shù)SCF 及拐角處的節(jié)點(diǎn)應(yīng)力，從而提供一種僅利用結(jié)構(gòu)幾何尺寸的簡便方法。分析時(shí)，將采用ANSYS 數(shù)值模擬和MathCAD 數(shù)據(jù)擬合，最后得到本文“奇異強(qiáng)度理論”，希望能納入船舶相關(guān)規(guī)范中做參考。

1 奇異權(quán)函數(shù)法

基于線彈性斷裂力學(xué)，在結(jié)構(gòu)拐角節(jié)點(diǎn)處萌生裂紋后，需確定臨界裂紋尺寸、裂紋擴(kuò)展速率及疲勞壽命，并依據(jù)斷裂判據(jù)進(jìn)行校核。因此，求解與其相關(guān)的SIF（單位：MPa·m1/2）至關(guān)重要。在應(yīng)力場(chǎng)中，如果裂紋區(qū)域的權(quán)函數(shù)已知，那么裂紋擴(kuò)展過程中的SIF 可見式（2）［10］：

式中：h(x，a)為取決于構(gòu)件幾何形狀的權(quán)函數(shù)；σ(x)為無裂紋構(gòu)件中沿預(yù)期裂紋擴(kuò)展線的奇異應(yīng)力分布，即式（1）；a 為計(jì)算裂紋尺寸；x 為擴(kuò)展線上節(jié)點(diǎn)至裂紋尖端的距離。

因此，只要得到權(quán)函數(shù)就可積分求解SIF。針對(duì)圖1 所示的本文研究的135°薄板拐角結(jié)構(gòu)，得到“奇異權(quán)函數(shù)”并以此計(jì)算SIF，此法命名為“奇異權(quán)函數(shù)法”?？紤]到裂紋左邊與肘板相連，可近似為半無限裂紋［11］，裂紋右邊可近似為邊緣裂紋［12］，可得到在裂紋兩邊均受載情況下，半無限裂紋的權(quán)函數(shù)近似于式（3）［11］，邊緣裂紋的權(quán)函數(shù)近似于式（4）［12］，最終的奇異權(quán)函數(shù)利用上述兩個(gè)權(quán)函數(shù)的平均值近似估算，簡化后的結(jié)構(gòu)如圖2 所示。

式中，D0和D1是基于無限小裂紋情況，利用Fett 權(quán)函數(shù)［12］進(jìn)行取值，但考慮到結(jié)構(gòu)的奇異性，在裂紋尺寸小于0.2 倍受載板高t（此例t=2 m）的條件下，需對(duì)式（4）進(jìn)行修正（裂紋尺寸過大結(jié)構(gòu)將失效），得到修正因子Q。分析發(fā)現(xiàn)，權(quán)函數(shù)式（4）是針對(duì)邊緣裂紋而言，而邊緣裂紋的形狀系數(shù)Y=1.12 已知，因此可以直接利用邊緣裂紋計(jì)算SIF 的一般公式擬合得到Q，結(jié)果見表1。

圖2 拐角處裂紋權(quán)函數(shù)的近似法Fig.2 Weight function approximation of cracks at the corners

表1 權(quán)函數(shù)法下的參數(shù)選取Tab.1 Parameter selection under the weight function method

式（4）可進(jìn)一步簡化，舍去參數(shù)D0和D1，并直接修正得到式（5）：

對(duì)比式（4）與式（5）計(jì)算的SIF（圖3）發(fā)現(xiàn)，二者差別很小。

圖3 奇異權(quán)函數(shù)公式與邊緣裂紋的SIF 公式的結(jié)果比較Fig.3 Comparison of calculated SIFs by using singular weight function method and the edge crack SIF equation

最后，利用權(quán)函數(shù)式（3）與式（5）之和的平均值得到135°拐角處的權(quán)函數(shù)，見式（6）。

綜上，在已知拐角處的奇異應(yīng)力分布式（1），和奇異權(quán)函數(shù)式（6）后，可利用式（2）來求解SIF。圖4 示出了用3 種不同的權(quán)函數(shù)計(jì)算的SIF，從圖中可以看出，用奇異權(quán)函數(shù)法得到的SIF 介于用Fett 和Paris & Sih 權(quán)函數(shù)計(jì)算的SIF 之間，這是由于奇異權(quán)函數(shù)綜合體現(xiàn)了裂紋上、下表面應(yīng)力分布奇異性的結(jié)果。

圖4 各權(quán)函數(shù)計(jì)算的SIF 結(jié)果比較Fig.4 Comparison of SIF calculation results by using different weight functions

注意，如果以邊緣裂紋計(jì)算得到的SIF 公式替代Fett 權(quán)函數(shù)修正式計(jì)算得到的SIF（Fett 權(quán)函數(shù)是針對(duì)邊緣裂紋提出的），進(jìn)而與Paris & Sih 權(quán)函數(shù)計(jì)算得到的SIF 求和取平均值，結(jié)果將出現(xiàn)較大誤差，如圖5 所示。這是由于本文奇異強(qiáng)度理論下的奇異權(quán)函數(shù)考慮了奇異強(qiáng)度影響下的奇異應(yīng)力而進(jìn)行積分計(jì)算，其表現(xiàn)了裂紋上、下表面應(yīng)力分布的奇異性，但邊緣裂紋計(jì)算的SIF 在無裂紋時(shí)，無應(yīng)力集中。而在圖1 所示的拐角節(jié)點(diǎn)處，即使裂紋不存在，仍舊存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，其應(yīng)力就是本文的奇異應(yīng)力，所以無法替代計(jì)算。

圖5 邊緣裂紋的SIF 公式替代結(jié)果比較Fig.5 Comparison of SIF alternative results for edge cracks

2 奇異等效裂紋法

圖6 回歸Y 值比較Fig.6 Comparison of regression Y values

考慮到135°拐角處的應(yīng)力分布函數(shù)（∝1/r0.326）與裂紋尖端應(yīng)力分布函數(shù)（∝1/r0.5）相近，且其他度數(shù)拐角結(jié)構(gòu)與裂紋尖端也有相似性（∝1/rp）［4］，故將拐角近似成一等效裂紋長度ae，并以此為參量來做相應(yīng)的分析。這樣，拐角處裂紋的計(jì)算長度a 為實(shí)際裂紋長度ac 與等效裂紋長度ae 之和，見式（7），同時(shí)應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算見式（8）。

式中，σy可根據(jù)式（1）求得，通過回歸，發(fā)現(xiàn)Y 與ae 將隨著ac 而改變（表2），所以這樣的公式形式也不易確定。為使奇異等效裂紋與奇異強(qiáng)度理論相關(guān)聯(lián)，所以利用奇異強(qiáng)度as 來近似估算等效裂紋長度ae，并通過回歸估算出Y=1 時(shí)ae=0.35as，從而得到奇異等效裂紋初始公式

式中，D=0.35。

表2 Y 與ae 準(zhǔn)確的擬合結(jié)果Tab.2 Accurate fitting results of Y and ae

圖7 顯示了利用式（9）計(jì)算的SIF。由圖中可看出，式（9）計(jì)算結(jié)果在一定范圍內(nèi)與ANSYS 結(jié)果擬合較好，誤差小于5%，但越趨近于裂紋尖端差別越大，且ac=0時(shí)式（9）并未給出Kae=0。

圖7 等效裂紋初始公式下的SIFFig.7 SIFs of equivalent crack under the initial formula

鑒于此，定義式（9）的適用范圍（ac≥q·as），而對(duì)于小裂紋情況（ac＜q·as），則需修正初始公式以滿足ac=0 時(shí)Kae=0 的要求。因此，建立了實(shí)際裂紋y 軸與計(jì)算裂紋x 軸的關(guān)系曲線，并將實(shí)際裂紋用修正的as 替代進(jìn)行分析，見圖8。同時(shí)考慮建立冪函數(shù)曲線式（10），并認(rèn)為其反函數(shù)式（11）是所需計(jì)算裂紋尺寸a 的最終解。

圖8 裂紋關(guān)系分析Fig.8 Analysis of crack relationships

由圖8 可知，在x=(D+q)·as 處y=q·as，故

為保證修正曲線順利過渡到臨界值，得

這樣就確定了小裂紋（ac＜q·as）SIF 的修正函數(shù)式（15），及計(jì)算SIF 的奇異等效裂紋最終函數(shù)，即ac＜q·as時(shí)采用式（15），ac≥q·as時(shí)采用式（9）。

式中：q=0.2；D=0.35。其既滿足實(shí)際裂紋尺寸ac=0 時(shí)Kae=0 的要求，又保證了曲線過渡節(jié)點(diǎn)處數(shù)值相等且相切，如圖9 所示。

圖9 等效裂紋函數(shù)分析Fig.9 Analysis of equivalent crack functions

圖10 對(duì)應(yīng)用不同方法計(jì)算出的SIF 進(jìn)行了比較。結(jié)果顯示：對(duì)于二維135°拐角結(jié)構(gòu)，ANSYS的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與奇異權(quán)函數(shù)法及等效裂紋概念的簡化方法得出的結(jié)果擬合較好，遠(yuǎn)端最大差別均不超過5%，考慮到裂紋尖端網(wǎng)格劃分的影響后，在無限趨近于裂尖處，差別均不超過10%，可見奇異權(quán)函數(shù)法和奇異等效裂紋法均可以保證一定的計(jì)算準(zhǔn)確性，同時(shí)奇異等效裂紋法與奇異權(quán)函數(shù)計(jì)算的結(jié)果擬合度較高，進(jìn)一步利用解析法驗(yàn)證了結(jié)果的可靠性。

3 奇異強(qiáng)度疲勞特性評(píng)估

圖10 計(jì)算SIF 的方法比較Fig.10 Comparison among different SIF calculation methods

實(shí)際應(yīng)用中，通常將有限元分析結(jié)果與S-N曲線相結(jié)合來進(jìn)行疲勞評(píng)估，并存在不同的疲勞應(yīng)力分析方法。在名義應(yīng)力法中，是將結(jié)構(gòu)幾何效應(yīng)和焊接引起的應(yīng)力集中都結(jié)合S-N 曲線進(jìn)行分析，這樣應(yīng)力計(jì)算簡便準(zhǔn)確，但需要大量的試驗(yàn)才能確定S-N 曲線，成本很高。目前大部分船級(jí)社采用的熱點(diǎn)應(yīng)力法中，結(jié)構(gòu)幾何效應(yīng)引起的應(yīng)力集中被放入應(yīng)力計(jì)算中考慮，并通過有限元分析得到結(jié)果，焊接引起的應(yīng)力集中則仍放入S-N曲線加以分析，這樣可減少試驗(yàn)次數(shù)，降低成本，但如何將幾何效應(yīng)和焊接引起的應(yīng)力集中分離開較為復(fù)雜。而切口應(yīng)力法中，結(jié)構(gòu)幾何效應(yīng)和焊接存在引起的應(yīng)力集中都是通過應(yīng)力計(jì)算分析，試驗(yàn)最少并且只需得到材料的S-N 曲線。

這里的奇異強(qiáng)度as 是通過結(jié)構(gòu)幾何尺寸定義的，進(jìn)而得到奇異應(yīng)力［8］，因此考慮了結(jié)構(gòu)尺寸效應(yīng)影響的應(yīng)力集中，同時(shí)該理論也將結(jié)合S-N 曲線的試驗(yàn)結(jié)果（基于BS 7608 規(guī)范［13］選取材料參數(shù)m 和C，考慮了焊接引起的應(yīng)力集中），進(jìn)而分析得到“奇異應(yīng)力集中系數(shù)”SCFas，其與名義應(yīng)力之積即為拐角節(jié)點(diǎn)應(yīng)力，從而滿足了切口應(yīng)力的定義。此外，由于Lazzarin 等［6-7］研究的N-SIF 理論針對(duì)的是切口應(yīng)力，而這里的奇異強(qiáng)度理論是基于Lazzarin 等［6-7］的研究，同時(shí)對(duì)Williams［4］計(jì)算應(yīng)力時(shí)復(fù)雜參數(shù)的選取進(jìn)行了簡化，并以奇異強(qiáng)度as 取而代之，所以也可以說是切口應(yīng)力。在求得切口應(yīng)力后，即可通過臨界應(yīng)力校核，或者繼續(xù)分析得到應(yīng)力強(qiáng)度因子并與材料的斷裂韌性比較，分析是否滿足結(jié)構(gòu)強(qiáng)度。

已知S-N 曲線中的E 曲線可用于外載垂直于焊縫的沒有結(jié)構(gòu)奇異性的對(duì)接焊結(jié)構(gòu)［13］；因此，本文選其作為基準(zhǔn)S-N 曲線，對(duì)于任何結(jié)構(gòu)都將采用此基準(zhǔn)S-N 曲線進(jìn)行疲勞壽命分析，其中不同結(jié)構(gòu)形式以及不同應(yīng)力成分的影響將通過下文定義的SCFas來體現(xiàn)。

為了得到該SCFas，首先基于Paris 裂紋擴(kuò)展法則［11］的斷裂力學(xué)方法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行疲勞分析，得到其疲勞壽命。然后，應(yīng)用S-N 曲線中的E 曲線得到同樣的疲勞壽命，為此，必須將結(jié)構(gòu)的名義應(yīng)力乘以一個(gè)應(yīng)力集中系數(shù)，這樣就可以確定不同尺寸拐角結(jié)構(gòu)相應(yīng)于此S-N 基準(zhǔn)線（此處選取E 曲線）的應(yīng)力集中系數(shù)，而不需要針對(duì)不同的結(jié)構(gòu)形式選取不同的S-N 曲線。具體計(jì)算方法如下。

例如，圖1 中的結(jié)構(gòu)，as=0.2 m（as 定量，由H，h，L，t 計(jì)算），σn=100 MPa，實(shí)際裂紋尺寸ac 變化（0.25～267.95 mm），裂紋擴(kuò)展方向受載板高t=2 m。在上述條件下采用奇異等效裂紋法分析疲勞特性，步驟如下：

1）已知高強(qiáng)度鋼材料的斷裂韌性KC=104 MPa·m1/2，計(jì)算臨界裂紋尺寸aC=268 mm。

2）將應(yīng)力幅值結(jié)合奇異等效裂紋法計(jì)算奇異應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值Δ Kas，由于Δ Kas=Kmax-Kmin，Kmax和Kmin是由疲勞循環(huán)過程中最大應(yīng)力與最小應(yīng)力計(jì)算得到，且脈動(dòng)循環(huán)過程中最小應(yīng)力習(xí)慣取0（無裂紋SIF 亦為0），所以ΔKas即Kmax，可利用奇異等效裂紋法計(jì)算，結(jié)果如圖11 所示。

3）基于BS 7910 規(guī)范［14］要求，針對(duì)奧氏體（室溫平衡基體組織）在內(nèi)的鋼材，選擇暴露于空氣中且非腐蝕良性環(huán)境下的相應(yīng)參數(shù)，即A=5.21×10-13，m=3，并由式（16）計(jì)算裂紋擴(kuò)展率，結(jié)果如圖12所示。

4）由于ΔN=Δ a/（da/dN），因此可計(jì)算分析裂紋擴(kuò)展到不同尺寸所需的循環(huán)次數(shù)（圖13），并得到結(jié)構(gòu)達(dá)到臨界裂紋尺寸aC時(shí)結(jié)構(gòu)的疲勞壽命Nae=323 433 次。

圖11 應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值Fig.11 Stress intensity factor range

圖12 裂紋擴(kuò)展速率Fig.12 Crack growth rate

圖13 裂紋擴(kuò)展所需的循環(huán)次數(shù)Fig.13 Number of cycles required for crack propagation

若利用奇異權(quán)函數(shù)法進(jìn)行分析，圖14 給出采用了兩種方法計(jì)算的裂紋擴(kuò)展速率與疲勞壽命的比較結(jié)果，發(fā)現(xiàn)奇異等效裂紋法的裂紋擴(kuò)展率較小，疲勞壽命較大。如果以此為標(biāo)準(zhǔn)并結(jié)合S-N曲線，則選取應(yīng)力結(jié)果偏?。⊿-N 曲線應(yīng)力與疲勞壽命成反比）。若以此為設(shè)計(jì)應(yīng)力，則更易達(dá)到規(guī)范要求，這里采用奇異等效裂紋法分析SCF。

圖14 等效裂紋法與權(quán)函數(shù)法疲勞特性結(jié)果比較Fig.14 Comparison of fatigue characteristics between equivalent crack method and weight function method

對(duì)于同一結(jié)構(gòu)，如果應(yīng)用S-N 曲線中的E 曲線來得到同樣的疲勞壽命，則應(yīng)力必須乘以一集中系數(shù)，這里定義為“奇異應(yīng)力集中系數(shù)”SCFas，見式（17）。式中：Nae為通過Paris 裂紋擴(kuò)展法［11］求解得到的結(jié)構(gòu)疲勞壽命；σn為名義應(yīng)力；常數(shù)m=3，C=1.04×1012，基于BS 7608 規(guī)范［13］選??；SCFas可根據(jù)以上已知量進(jìn)行計(jì)算，見式（18）。

圖15 給出了不同尺寸拐角結(jié)構(gòu)（不同as 值）對(duì)應(yīng)的E 曲線的SCFas。可以看出，SCFas與奇異強(qiáng)度成正比（奇異強(qiáng)度與結(jié)構(gòu)尺寸相關(guān)）。這是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)尺寸較大時(shí)，奇異應(yīng)力場(chǎng)高，應(yīng)力區(qū)較大，裂紋擴(kuò)展時(shí)間較長，擴(kuò)展速度較快，結(jié)構(gòu)的疲勞壽命變短，所以對(duì)應(yīng)的E 曲線的SCFas就會(huì)變大。

圖15 E 曲線的SCFas與as的關(guān)系Fig.15 Relationship between SCFas and as with E curve

為了更容易地確定SCFas，這里回歸得到SCFas的計(jì)算式（19）。將計(jì)算結(jié)果與原始計(jì)算值進(jìn)行比較（圖16），發(fā)現(xiàn)擬合較好，最大差別小于3%。

式中：A=0.841 27；B=3.476 55/mm-C；C=0.374 23；as的單位為mm，SCFas為無量綱參數(shù)。

圖16 擬合結(jié)果和原始計(jì)算所得SCFas的比較Fig.16 Comparison of SCFas between fitting results and initial calculations

這里介紹的SCFas是以S-N 曲線中的E 曲線為基準(zhǔn)，即對(duì)任一具有奇異性的結(jié)構(gòu)，如果知道as，即可應(yīng)用圖15 或式（19）得到與E 曲線相對(duì)應(yīng)的SCFas，進(jìn)而得到切口應(yīng)力并與E 曲線結(jié)合查得疲勞壽命。

此外，在名義應(yīng)力定性的前提下，也可得到結(jié)構(gòu)疲勞壽命與奇異強(qiáng)度as的關(guān)系（圖17）。

目前應(yīng)用的S-N 曲線方法是基于結(jié)構(gòu)的型式，結(jié)構(gòu)的SCF 有時(shí)需要通過光彈性試驗(yàn)來獲得。本文提及的SCFas既包含了結(jié)構(gòu)奇異性的影響，也包含了不同結(jié)構(gòu)型式的影響。通過與已知的S-N 曲線結(jié)果比較，直角結(jié)構(gòu)估算的類似SCFas誤差在5%以內(nèi)，見表3［15］，證明了該法的可行性。

圖17 疲勞壽命與奇異強(qiáng)度關(guān)系Fig.17 Relationship between fatigue life and singular strength

表3 直角結(jié)構(gòu)估算的類似SCFas的對(duì)比Tab.3 Comparison of similar SCFas for cartesian structure

4 切口應(yīng)力等效取值法

以切口應(yīng)力強(qiáng)度因子理論為背景，對(duì)Lazzarin等［6］求解的切口區(qū)域的應(yīng)力場(chǎng)函數(shù)進(jìn)行簡化，得到奇異應(yīng)力函數(shù)式（1）［8］，進(jìn)而變換為式（20），并定義“切口等效應(yīng)力集中系數(shù)”SCFσ，同時(shí)將上述SCFas值等價(jià)于SCFσ來計(jì)算，進(jìn)而利用奇異應(yīng)力函數(shù)計(jì)算拐角處的切口應(yīng)力。

由式（1）和式（20）可知SCFσ滿足式（21）的關(guān)系，并可求得拐角處的切口應(yīng)力（x=0）。但是，很明顯，當(dāng)x=0 時(shí)式（21）無解，所以只能在x→0 的前提下，以節(jié)點(diǎn)到拐角距離的近似值來等效x=0 的情況。例如，CCS 給出的熱點(diǎn)應(yīng)力外插法，就是采用0.5z 和1.5z（z 為板厚）的線性外插值作為拐角節(jié)點(diǎn)處的熱點(diǎn)應(yīng)力進(jìn)行疲勞壽命分析。同時(shí)在已知的結(jié)構(gòu)中，as 已知，SCFas等價(jià)于SCFσ，因此，只需求得節(jié)點(diǎn)到拐角處的距離x 便可利用式（1）得到切口應(yīng)力，為此，定義了“切口應(yīng)力等效取值點(diǎn)”xas。

這里，基于上節(jié)奇異強(qiáng)度疲勞特性評(píng)估方法回歸得到取值點(diǎn)的位置xas，并利用最小二乘法擬合出切口應(yīng)力等效取值點(diǎn)xas的分段函數(shù)式（22）。

式中：as和xas的單位為mm；A，B，C，D，E 見表4。

表4 切口應(yīng)力等效取值點(diǎn)最小二乘法公式分段參數(shù)Tab.4 Segmentation parameters of squares formula for equivalent notch stress points

將式（22）得到的取值點(diǎn)位置與回歸的“準(zhǔn)確”值比較，見圖18，發(fā)現(xiàn)取值點(diǎn)最大差別小于0.5%，擬合較好。同時(shí)將式（22）的結(jié)果代入式（21）計(jì)算SCFσ，并與SCFas回歸的“準(zhǔn)確”值比較，發(fā)現(xiàn)最大差別小于0.2%，見圖18，結(jié)果較為準(zhǔn)確。

圖18 切口應(yīng)力等效取值點(diǎn)及應(yīng)力集中系數(shù)的比較Fig.18 Comparisons of singular stress concentration factors and equivalent notch stress points

同時(shí)，繪制了等效取值點(diǎn)xas與奇異強(qiáng)度的關(guān)系曲線，見圖19。從圖中可以看出：當(dāng)as 較小時(shí)（as＜1 m），等效取值點(diǎn)xas與板厚z 具有式（22）的關(guān)系，這是因?yàn)閍s 取決于結(jié)構(gòu)幾何尺寸，當(dāng)結(jié)構(gòu)尺寸較小時(shí)，as 決定拐角尖端應(yīng)力場(chǎng)的強(qiáng)弱；但隨著as 的增大，等效取值點(diǎn)收斂于0.4z（此系列板厚z=0.01 m），這是因?yàn)閍s 較大時(shí)，板厚相對(duì)于主體尺寸近似于無窮小并且對(duì)等效取值點(diǎn)的影響較大。所以，對(duì)本文奇異應(yīng)力函數(shù)及奇異應(yīng)力場(chǎng)集中系數(shù)SCFσ（式（21））而言，式（22）適用于as＜1 m的情況，當(dāng)as≥1 m 時(shí)，xas=0.4z。

圖19 回歸得到的等效取值點(diǎn)Fig.19 Regression of equivalent points

值得注意的是，目前對(duì)于拐角處應(yīng)力的近似，現(xiàn)有規(guī)范中常采用0.5z 和1.5z 的外插應(yīng)力值作為拐角處的熱點(diǎn)應(yīng)力，也有的采用0.5z 處的應(yīng)力值作為拐角處的熱點(diǎn)應(yīng)力，見圖20。本文通過比較裂紋擴(kuò)展法則計(jì)算的疲勞壽命與S-N 曲線計(jì)算的疲勞壽命得到的應(yīng)力取值點(diǎn)xas=0.4z可做參考。

圖20 拐角處應(yīng)力分布及典型外插法的外插點(diǎn)位置Fig.20 Stress distribution of typical corners and extrapolation position

5 結(jié) 論

本文利用ANSYS 和MathCAD，基于切口應(yīng)力強(qiáng)度因子理論對(duì)奇異強(qiáng)度理論進(jìn)行了研究，通過對(duì)典型薄板結(jié)構(gòu)拐角節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力集中、應(yīng)力強(qiáng)度及結(jié)構(gòu)的疲勞特性分析，得到以下結(jié)論：

1）利用權(quán)函數(shù)計(jì)算SIF 時(shí)，可將薄板結(jié)構(gòu)拐角裂紋近似為半無限裂紋和邊緣裂紋，進(jìn)而修正相應(yīng)的權(quán)函數(shù)，并將上述權(quán)函數(shù)之和的平均值作為“奇異權(quán)函數(shù)”進(jìn)行積分計(jì)算，得到SIF，命名為“奇異權(quán)函數(shù)法”。其結(jié)果經(jīng)與ANSYS 結(jié)果比對(duì)，差別小于5%。

2）考慮到拐角處的應(yīng)力分布函數(shù)（∝1/rp）與裂紋尖端應(yīng)力分布（∝1/r0.5）相近，可將結(jié)構(gòu)拐角近似成等效裂紋，并定義“奇異等效裂紋”來修正計(jì)算SIF 的裂紋尺寸，同時(shí)通過小裂紋函數(shù)的修正得到“奇異等效裂紋法”。其結(jié)果經(jīng)與ANSYS結(jié)果比對(duì)，差別小于10%。

3）利用上述得到的SIF 進(jìn)行了結(jié)構(gòu)疲勞特性評(píng)估，計(jì)算了應(yīng)力強(qiáng)度因子幅值、裂紋擴(kuò)展速率與疲勞壽命，同時(shí)得到了計(jì)算切口應(yīng)力的“奇異應(yīng)力集中系數(shù)”的關(guān)系曲線與函數(shù)式，誤差小于3%，以便結(jié)合S-N 曲線進(jìn)行疲勞評(píng)估。

4）基于切口應(yīng)力強(qiáng)度理論，簡化奇異應(yīng)力函數(shù)，得到了“切口等效應(yīng)力集中系數(shù)”，用以計(jì)算拐角節(jié)點(diǎn)的切口應(yīng)力，與回歸的“準(zhǔn)確”值相比差別小于0.2%。同時(shí)，定義了“切口應(yīng)力等效取值點(diǎn)”（xas=0.4z），與回歸的“準(zhǔn)確”值相比差別小于0.5%。最終，提出“切口應(yīng)力等效取值法”，可供基于有限元分析的應(yīng)力集中分析做參考。

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