數(shù)形結(jié)合讓數(shù)學(xué)課堂“增值”

王 英（江蘇省張家港市實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.”而在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中數(shù)形結(jié)合的思想有著非常廣泛的應(yīng)用，我們常常將數(shù)與形結(jié)合起來，通過數(shù)和形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和相互轉(zhuǎn)化解決問題，使“數(shù)”的問題借助“形”去觀察，去思考，即用“形”作為直觀工具幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念、掌握數(shù)學(xué)知識(shí)、解決數(shù)學(xué)問題、探索數(shù)學(xué)規(guī)律.下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)勎掖譁\的幾點(diǎn)體會(huì).

一、以形認(rèn)數(shù)，形象建立概念

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式，它具有較強(qiáng)的邏輯性和抽象性.小學(xué)階段，如果運(yùn)用實(shí)物圖形提供一定的數(shù)學(xué)問題情境，通過對(duì)圖形中的情景分析，就可以幫助學(xué)生以直觀的“形”促進(jìn)對(duì)抽象的“數(shù)”的認(rèn)識(shí)和理解.

例如，教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”一課時(shí)，教材中安排讓學(xué)生先初步認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一，我緊密聯(lián)系例題中的桃子圖，通過分一分、比一比等環(huán)節(jié)讓學(xué)生明白了不管是一個(gè)物體還是一些物體，我們通常都把它看成一個(gè)整體，平均分成了幾份，每份就是它的幾分之一之后，我設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)練習(xí)題：出示12 根小棒，思考：你可以把這12 根小棒平均分成幾份，每份是這些小棒的幾分之一？學(xué)生把平均分的幾種情況一一介紹完之后，我就利用課件的動(dòng)畫演示，將這12 根小棒“躺”下來，，其中的一小根小棒就是這些小棒的1/12，那還有1/2、1/3、1/4、1/6 等分?jǐn)?shù)你能找到它相應(yīng)的位置嗎？

有了直觀的圖片作為支撐，學(xué)生能在操作和觀察中，不但能有效地認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一，還能深刻地體會(huì)到每個(gè)分?jǐn)?shù)的實(shí)際意義，從躺著的小棒圖上還能看出了分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)之間的大小等關(guān)系.在此基礎(chǔ)上，我再把小棒圖瘦身、簡(jiǎn)化，呈現(xiàn)出一般的數(shù)軸：

圖1

數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合最基本的載體，是數(shù)形結(jié)合最基礎(chǔ)的滲透，結(jié)合分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)可以體會(huì)數(shù)軸上點(diǎn)與分?jǐn)?shù)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.這樣先出示12 根小棒進(jìn)行各種情況的平均分，接著再將12 根小棒躺下來，直觀呈現(xiàn)數(shù)軸原型，再抽象出一般的數(shù)軸，并將各個(gè)分?jǐn)?shù)在數(shù)軸上找到相應(yīng)的位置，讓學(xué)生直觀形象地體會(huì)每個(gè)分?jǐn)?shù)的含義，并且分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)之間的大小等關(guān)系也有了更深的理解.12 根小棒“躺”下來成了數(shù)軸圖的前身，自然地滲透了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想.

二、以形算數(shù)，直觀理解算理

“數(shù)的運(yùn)算”在整個(gè)小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占有很大的比重，培養(yǎng)小學(xué)生“懂算理、會(huì)計(jì)算”也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo).不同的題型，理解算理的策略也不同，但是簡(jiǎn)單的數(shù)形結(jié)合思想，用“形”的直觀啟迪“數(shù)”的計(jì)算，是幫助學(xué)生理解算理的一種好方法.

例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”要說計(jì)算法則的話只是很簡(jiǎn)單的幾句話，但如何讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，并巧妙地實(shí)現(xiàn)口算、筆算、估算三算合一.蘇州市教科院的劉曉萍老師在執(zhí)教時(shí)，運(yùn)用“點(diǎn)子圖”這一直觀圖形貫穿了全課，把算理與算法緊密結(jié)合，將“數(shù)形結(jié)合”的思想用到了極致，計(jì)算方法呼之欲出.在教學(xué)19×13 的時(shí)候，劉老師在先讓學(xué)生結(jié)合生活想象解決哪些實(shí)際問題時(shí)會(huì)用到這個(gè)算式，有的學(xué)生想到了一排排的盆花圖，有的學(xué)生想到了一排排的小棒圖……隨后劉老師很自然地引出如果用點(diǎn)子圖擺，你腦子里想到的是怎樣的一幅圖？ （課件出示點(diǎn)子圖）先估一估19×13 的積大約是多少？說說你的理由.學(xué)生的表述雖然不完整，但思維火花卻是不斷閃現(xiàn)：“雖然估算方法不同，但都是把其中的一個(gè)因數(shù)看作整十?dāng)?shù).”通過學(xué)生的估算，知道這道題的結(jié)果大約在190-260 之間（圖2）.那到底結(jié)果是多少了，請(qǐng)學(xué)生一邊嘗試練習(xí)，一邊在點(diǎn)子圖上寫出自己的想法：每算好一步，在點(diǎn)子圖上圈一圈，你算的是點(diǎn)子圖上的哪一部分.算理的理解需要一個(gè)漸進(jìn)、引導(dǎo)的過程，停下來讓孩子思考，蹲下來讓孩子內(nèi)化，在計(jì)算最需要支撐的時(shí)候出現(xiàn)了“點(diǎn)子圖”這一直觀的圖形（圖3）：

圖2

圖3

圖4

“19×13 可以先算19×10=190，再算19×3=57，最后190+57=247；也有的同學(xué)先算20×13=260，再算260-13=247老師根據(jù)學(xué)生的回答，結(jié)合點(diǎn)子圖非常清晰地解釋著各種計(jì)算的方法，的確，難理解的地方，搞不清楚的地方通常運(yùn)用“形”的手段使一切變得直觀，變得簡(jiǎn)單.劉老師“數(shù)形結(jié)合”的策略并不是曇花一現(xiàn)，而是順?biāo)浦郏⒓匆龑?dǎo)學(xué)生根據(jù)剛才的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)再算：14×21，實(shí)現(xiàn)學(xué)法的遷移（圖4），從先算一算，再在點(diǎn)子圖上圈一圈到意義的揭示、算法的提取是一個(gè)學(xué)法積累的過程，如行云流水般輕柔，自然，學(xué)生對(duì)算理的理解也就水到渠成了.

劉老師在引導(dǎo)學(xué)生探究算理、明晰算法的過程中巧妙地借助了點(diǎn)子圖，有機(jī)滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生觸摸到了數(shù)學(xué)思想方法的精神內(nèi)核，完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)了學(xué)生良好的思維品質(zhì)，形成數(shù)學(xué)觀念.

三、以形思數(shù)，深入理清關(guān)系

心理學(xué)研究表明：小學(xué)生的思維是以具體形象思維為主，具體的直觀的圖形更能讓小學(xué)生接受、理解和掌握.在分析問題的過程中，注意把數(shù)和形結(jié)合起來思考.數(shù)與形的有效結(jié)合就是使數(shù)量之間的內(nèi)在聯(lián)系變得直觀，使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，抽象的問題形象化，通過直觀的圖形、線段等深入理清數(shù)量關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力.

例如教學(xué)蘇教版六年級(jí)上冊(cè)“解決問題的策略——替換”內(nèi)容時(shí)，運(yùn)用了這樣的例子小明把720 毫升果汁倒入6 個(gè)小杯和1 個(gè)大杯，正好都倒?jié)M，小杯的容量是大杯的1/3，小杯和大杯的容量各是多少毫升？當(dāng)我放手讓學(xué)生自主探究時(shí)，給學(xué)生提供了大杯小杯的示意圖，學(xué)生很自然地運(yùn)用了畫圖的方法（圖5），通過直觀的圖形將替換后“果汁的總量”和“杯子的個(gè)數(shù)”之間的數(shù)量關(guān)系分析得清清楚楚.

圖5

在學(xué)生初步研究完倍數(shù)關(guān)系的替換策略后，從倍數(shù)關(guān)系的替換改編到“大杯的容量比小杯多20 毫升”（相差關(guān)系）的替換時(shí)，由于在替換的過程中總量將發(fā)生變化，所以為了幫助學(xué)生弄清楚相差關(guān)系替換后“杯子個(gè)數(shù)”與“果汁總量”之間的數(shù)量關(guān)系，我還是滲透數(shù)形結(jié)合的思想，引導(dǎo)學(xué)生借助畫圖的方法，經(jīng)歷策略的形成過程（圖6）.最后，通過“倍數(shù)關(guān)系”與“相差關(guān)系”替換策略的比較，幫助學(xué)生理清了兩種關(guān)系中替換的特征，即“什么變了”，“什么沒有變”，從而將學(xué)生的思維引向深入.

圖6

整個(gè)教學(xué)過程從呈現(xiàn)的抽象文字到直觀的圖形，到學(xué)生獨(dú)立畫圖分析思考，從動(dòng)手操作到語言文字的描述，從不同替換策略運(yùn)用價(jià)值的比較，始終將數(shù)形結(jié)合的思想蘊(yùn)含其中，輕松地理清了數(shù)量之間的關(guān)系，順利地解決了復(fù)雜問題，有效地增強(qiáng)了學(xué)生的策略應(yīng)用意識(shí).

四、以形探數(shù)，巧妙揭示規(guī)律

有專家指出：小學(xué)教學(xué)教材中有兩條線.一是數(shù)學(xué)知識(shí)，它明明白白地寫在課本里，是有形的；二是數(shù)學(xué)思想方法，它是滲透在知識(shí)體系中的，是潛在的.教師如果掌握了數(shù)學(xué)思想方法的知識(shí)，了解它們?cè)诮滩闹惺侨绾螡B透的，就能明確教材為什么這么編寫，就能從整體上、本質(zhì)上去理解教材，巧妙地滲透數(shù)形結(jié)合的思想，將抽象的算式轉(zhuǎn)化為具體的圖形，探索簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)規(guī)律，發(fā)展初步的推理能力，深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.

例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)P87 的第4 題：

圖7

探索此類計(jì)算題的規(guī)律，很多老師往往從計(jì)算的角度去揭示，通過計(jì)算、比較，不僅引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)同組兩題的得數(shù)相同，而且還發(fā)現(xiàn)：從1 起，連續(xù)2 個(gè)單數(shù)（奇數(shù)）的和正好等于2×2.連續(xù)3 個(gè)單數(shù)（奇數(shù)）的和正好是3×3……進(jìn)而形成“從1 起，連續(xù)幾個(gè)單數(shù)（奇數(shù)）的和，就等于幾乘幾”的認(rèn)識(shí).但學(xué)生知其然，卻不知其所以然.蘇教版教材改版后在每組的算式前附上了相應(yīng)的方格圖，旨在讓學(xué)生不僅通過計(jì)算、比較、推理發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，更能結(jié)合方格圖形理解每個(gè)算式的意思，學(xué)生能形象直觀地體會(huì)同組兩題的得數(shù)相同的合理性：每行2個(gè)小方塊，2 行拼成的正方形里，一共有2×2 個(gè)小方塊，或者有1+3 個(gè)小方塊；每行3 個(gè)小方塊，3 行拼成的正方形里，一共有3×3 個(gè)小方塊，或者有1+3+5 個(gè)小方塊……期間蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想.我們?cè)谶M(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，若是把握了教材的設(shè)計(jì)意圖，上課時(shí)便能引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起來，充分掌握算理與算法，探究得到計(jì)算規(guī)律.

著名數(shù)學(xué)家華羅庚認(rèn)為：“數(shù)與形本是相依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形少直覺，形少數(shù)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.切莫忘：幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離.”“數(shù)形結(jié)合”作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，如果能在我們的課堂教學(xué)中加以研究，有機(jī)滲透，使學(xué)生逐步感受數(shù)中有形，形中有數(shù)的思想，必然會(huì)使課堂教學(xué)“增值”，從而在一定程度上發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).