關(guān)于不定方程

管訓(xùn)貴

（泰州學(xué)院 數(shù)理信息學(xué)院，江蘇 泰州 225300）

管訓(xùn)貴

（泰州學(xué)院 數(shù)理信息學(xué)院，江蘇 泰州 225300）

討論了不定方程

不定方程；解數(shù)；真因數(shù)；解序列

1 引言及主要結(jié)論

二十多年來，不定方程

的正整數(shù)解{x1,x2,…,xk}的確定已成為數(shù)論及其相關(guān)領(lǐng)域的一個(gè)引人關(guān)注的問題。

1985年，孫琦和曹珍富[1]給出了方程(1)的解數(shù)A(k)的下界，并指出(1)的解在計(jì)算機(jī)的模記數(shù)法中的應(yīng)用。對(duì)于3≤k≤5，方程(1)的正整數(shù)解容易求出，即

1986年，孫琦和曹珍富[2]又證明了A(6)=17：

1997年，吳薇[3]證明了(7)=27 A，并給出了其全部正整數(shù)解。本文運(yùn)用方程

解的若干性質(zhì)，證明了

定理396≤A(8)＜2.006×1029。

并給出396組正整數(shù)解。這一結(jié)果也支持了孫琦[4]提出的如下猜想：

k≥7時(shí)，A(k +1)＞A(k )。

首先我們注意到，若xi是方程(1)的解，則有xi≠1，且i≠j時(shí)，gcd(xi,xj)=1。事實(shí)上，由(2)可得整理后可得(6)。

引理4方程(5)共有9組正整數(shù)解：

根據(jù)(3)式，gcd(xi, xj) | 1，且(2)式顯然不能有xi=1的解。故不失一般性，我們可假定1＜x1＜x2＜…＜x8，gcd(xi,xj)=1，i≠j。

2 若干引理

引理1若u1,u2,…,u7是方程

的正整數(shù)解，則u1,u2,…,u7,u1u2…u7-1是(2)的一組正整數(shù)解。

證明直接驗(yàn)證可得。

引理2方程(4)共有26組正整數(shù)解：

證明參見文獻(xiàn)[5]。

引理3若u1,u2,…,u6是方程

的正整數(shù)解，則u1,u2,…,u6,x7,x8是(2)的一組正整數(shù)解，其中

證明易知，

證明參見文獻(xiàn)[6]。

引理5設(shè)1＜x1＜…＜xr（r＜7）滿足條件

如果存在正整數(shù)xr+1，…，x8，xr＜xr+1＜…＜x8使得{x1,x2,…,xr,xr+1,…,x8}是方程(2)的一組正整數(shù)解，則

證明由

證畢。

引理6設(shè)x1,x2,…,x6是正整數(shù)，滿足

則當(dāng)且僅當(dāng)

存在因數(shù)F使得

i=1

時(shí)，{x1,x2,…,x6,x7,x8}是方程（2）的正整數(shù)解，其中

證明參見文獻(xiàn)[3]。

3 定理的證明

由引理1、引理2易求出方程(2)的26組正整數(shù)解：

若x1=3，則方程(2)無正整數(shù)解。限于篇幅，將另文討論。

因此，A(8)＜2.006×1029。

綜上，定理得證。

4 結(jié)語

從理論上講，重復(fù)運(yùn)用引理5、引理6，再利用微機(jī)可得到方程(2)的全部正整數(shù)解。事實(shí)上，x1=2時(shí)，2＜x2＜14，x2只可能取3，5，7，9，11，13。

若x1=2，x2=3，則6＜x3＜36，x3只可能取7，11，13，17，19，23，25，29，31，35。

若x1=2，x2=3，x3=7，則42＜x4＜210，x4只可能取43，47，…，205，209。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，則1806＜x5＜7224，x5只可能取1807，1811，…，7223。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，x5=1807，則3263442＜x6＜9790326，x6只可能取3263443，3263447，…，9790325。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，x5=1807，x6=3263443，則

此時(shí)可得方程(2)的256組正整數(shù)解。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，x5=1807，x6=3263447，則

此時(shí)可得方程(2)的1組正整數(shù)解。

若x1=2，x2=3，x3=7，x4=43，x5=1807，x6=9790325，則

但x7,x8均不為整數(shù)，故此時(shí)方程(2)沒有x6=9790325的正整數(shù)解。

盡管理論上能通過上述方法找出方程(2)的全部正整數(shù)解，但實(shí)際操作較為困難，能否找到一個(gè)最優(yōu)的算法，以便快速地求出方程(2)的全部正整數(shù)解，需要我們進(jìn)一步去研究。

[2] 孫琦.數(shù)論進(jìn)入了應(yīng)用學(xué)科[J].數(shù)學(xué)研究與評(píng)論,1986, 6(4):149-154.

[4] Sun Qi. Some unsolved problems in the diophantine equations[J]. SEA Bull Math, 1(1991): 65-69.

[6] 柯召,孫琦.關(guān)于單位分?jǐn)?shù)表1的問題[J].四川大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1964(1):13-29.

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）

On the Indeterminate Equation

GUAN Xun-gui
(School of Mathematics, Physics & Information Science, Taizhou Normal University, Taizhou 225300, China)

indeterminate equation; true factor; solution sequence

O156

A

1009-9115(2014)02-0007-07

10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.002

江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題資助項(xiàng)目（D201301083）

2013-10-01

管訓(xùn)貴（1963-），男，江蘇興化人，副教授，研究方向?yàn)閿?shù)論。

給出了該方程解序列的遞歸性和求解的一個(gè)充要條件，同時(shí)得到了方程的部分正整數(shù)解。