關(guān)于Young不等式的幾點(diǎn)推廣

汪云峰，王丹丹，劉建波

（東北大學(xué)秦皇島分校 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

關(guān)于Young不等式的幾點(diǎn)推廣

汪云峰，王丹丹，劉建波

（東北大學(xué)秦皇島分校 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

對(duì)Young不等式的成立條件做了一些變化而形成了一些新的不等式，給出了Young不等式的多維形式，并且推廣了Young不等式的成立范圍，并給出了多種證明。

Young不等式；Jensen不等式；數(shù)學(xué)歸納法

Young不等式是一類非常重要的基本不等式，由Young不等式可以推導(dǎo)出許多有用的不等式，比如Holder不等式，Minkowski不等式，Cauchy不等式。在不同的文獻(xiàn)資料中，Young不等式有多種不同的表現(xiàn)形式，[1]、[3]是以積分的形式給出的，本文的描述方法則與[2]中的說(shuō)法相一致，在不同的學(xué)科里Young不等式的表現(xiàn)形式也有所差異。

1 Young不等式

設(shè)p＞1，q＞1且

對(duì)任意的a，b＞0，

成立，且等號(hào)成立的充分必要條件是pqa=b。

2 Young不等式的推廣與證明

對(duì)Young不等式的條件加以改變，有以下幾種推廣方式[7,8]：

1）當(dāng)p＜1且p≠0時(shí)，討論不等號(hào)的變化。

2）擴(kuò)展維數(shù)。即設(shè)

的大小關(guān)系。

3）當(dāng)

時(shí)，討論不等式的變化。

下面對(duì)這三種推廣做具體的討論證明。在展開(kāi)具體的討論之前，給出如下的一個(gè)引理。

引理當(dāng)x＞0，α-β=1時(shí)，有

引理1的內(nèi)容與Bernoulli不等式等價(jià)，為了論述的方便，我們將其作為引理。

定理1設(shè)p＜1，p≠0且

對(duì)任意的a，b＞0

成立，且等號(hào)成立的充分必要條件是pqa=b。

證法一。根據(jù)引理，取α=p，得到：

又p＜1，p≠0，所以當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)x=1，也就是ab=bq，進(jìn)一步可以推導(dǎo)得ap=bq。

故所證結(jié)論成立，證畢。

證法二。設(shè)f( x)在［c, d］上是嚴(yán)格單調(diào)非負(fù)遞減函數(shù)，對(duì)［c, d］進(jìn)行n等分，使得c=x0＜x1＜…＜xn=d ，由于f( x)在［c, d］上是嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，所以根據(jù)Riemann可積的定義，有：

所以有

特別的，

1）若將f( x)定義在［0,a］即取c=0，d=a則，

2）若將f( x)定義在（0，∞）上，并且假定：

f-1(x)為f( x)的反函數(shù)，廣義積分

收斂，則存在ε＞0，使得當(dāng)x∈(0,ε)時(shí)，f( x)＞0，從而

又由廣義積分（1）收斂，可以推出

由夾逼性準(zhǔn)則得到

所以，對(duì)于?ε∈(0,a)，

1）當(dāng)f（ b）＞a＞0時(shí)，

綜上，可以得到

特別地，取f( x)=xq-1(q＜1，q≠0)，對(duì)于?a，b＞0，p＜1，p≠0，且

則

故所證結(jié)論成立，證畢。

定理2設(shè)p1,p2,…,pn＞1，a1, a2, …, an＞0，且

則

證法一[5]。

1）由引理可以得：當(dāng)α≤1時(shí)，

即得

化簡(jiǎn)后得到

根據(jù)式(2)，可以得：

化簡(jiǎn)得

同理，可以得：

以此類推，將n個(gè)不等式相加后得：

時(shí)，以下不等式成立

則

綜上所述，不等式

成立，其中ak＞0，pk＞1，（1≤k≤n） 且

故所證結(jié)論成立，證畢。

證法二。利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明[4,6]。

當(dāng)k=2時(shí)，由Young不等式可知結(jié)論成立。假設(shè)對(duì)k=n-1時(shí)結(jié)論成立，現(xiàn)證明對(duì)k=n時(shí)也成立。

令

則

由歸納法

由以上兩式可得：

所以對(duì)k=n時(shí)不等式也成立。綜上，不等式：

成立，其中p1，p2，…，pn＞1，

且a1，a2，…，an＞0。

證法三。利用Jensen不等式可以直接推出結(jié)論。

根據(jù)凸函數(shù)的Jensen不等式，設(shè)f( x)為任意凸函數(shù)，bi＞0且

則

成立。取f( x)=lnx (x ＞0)，顯然f( x)為凸函數(shù)。所以

成立，其中

所以

可得

由f( x)=lnx (x ＞0)的單調(diào)性可得

綜上，不等式：

成立，其中p1，p2，…，pn＞1，

且a1，a2，…，an＞0。

以上兩個(gè)定理在相關(guān)文獻(xiàn)中已經(jīng)有一些結(jié)論出現(xiàn)，并且也有類似的證明過(guò)程，接下來(lái)定理3及其推論將給出Young不等式更一般的推廣。

定理3 設(shè)p＞1，q＞1

對(duì)任意的a，b＞0，

成立，當(dāng)且僅當(dāng)r∈（0，1］，且等號(hào)成立的充分必要條件是ap=bq，p+q=pq。

證明由引理，當(dāng)α≥1時(shí)，xα≥αx -β，令

代入得

化簡(jiǎn)得

又有

代入得

化簡(jiǎn)得

等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)x=1，r=1也就是ab=bq，p+q=pq，亦即ap=bq，p+q=pq。

證畢。特別地，可以得到推論1及推論2。

推論1設(shè)p＞1，q＞1，

對(duì)任意的a，b＞0，

成立，且等號(hào)成立的充分必要條件是pqa=b，p+q=pq。

推論2設(shè)p＞1，q＞1，

對(duì)任意的a，b＞0，

成立，且等號(hào)成立的充分必要條件是pqa=b。

[1] 常庚哲,史濟(jì)懷.數(shù)學(xué)分析教程(第3版)[M].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2012:305-306.

[2] 匡繼昌.常用不等式(第四版)[M].山東科學(xué)技術(shù)出版社, 2012:295.

[3] 胡克.解析不等式的若干問(wèn)題[M].武漢大學(xué)出版社, 2007:13-14.

[4] G H Hardy, J E Littlewood, G Polya.越民義,譯.不等式[M].科學(xué)出版社,1965:38-40.

[5] 胡克.論一個(gè)不等式及其若干應(yīng)用[J].中國(guó)科學(xué),1981, 31(2):141-148.

[6] 樓宇同.Young不等式,Holder不等式與Minkowski不等式的新證法[J].南京航空學(xué)院學(xué)報(bào),1990,22(4):128-133.

[7] 曾書(shū)慶.Young不等式的若干推廣[J].吉安師專學(xué)報(bào)(自然科學(xué)),1994,14(6):25-28.

[8] 匡繼昌.一般不等式研究在中國(guó)的新進(jìn)展[J].北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,18(1):29-36.

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）

On the Generalizations for Young Inequality

WANG Yun-feng, WANG Dan-dan, LIU Jian-bo
(School of Mathematics and Statistics, Northeastern University at Qinhuangdao, Qinhuangdao 066004, China)

Some changes are made on the condition of Young inequality’s establishment to form a new inequality. The form of the multidimensional Young inequality is given. And the range of the condition of Young inequality’s establishment is generalized. A variety of proofs are put forward.

Young inequality; Jensen inequality; induction

O178

A

1009-9115(2014)02-0021-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2014.02.006

2013-10-10

汪云峰（1992-），男，安徽安慶人，本科生，研究方向?yàn)椴坏仁健?/p>

劉建波（1978-），男，河北遵化人，博士，副教授，東北大學(xué)碩士研究生導(dǎo)師。