一種最小冗余線陣的目標(biāo)DOA估計(jì)方法

胡子揚(yáng)，任 淵

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二四研究所，南京 211106)

1 引 言

在現(xiàn)代陣列信號(hào)處理領(lǐng)域，波達(dá)方向(DOA)估計(jì)是一個(gè)重要的研究方向，占有重要地位。在DOA估計(jì)中，均勻線陣(Uniform Linear Array,ULA)因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單在實(shí)際系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。一般而言，陣元數(shù)一經(jīng)確定，均勻線陣的陣列分辨率就確定了，只能通過(guò)增加陣元數(shù)目或增加陣元間距來(lái)提高分辨率。增加陣元數(shù)目會(huì)增加設(shè)備量，這將對(duì)信號(hào)處理量以及通道誤差調(diào)節(jié)和系統(tǒng)可靠性都帶來(lái)影響；而過(guò)大的陣元間距會(huì)引起柵瓣效應(yīng)，使DOA估計(jì)出現(xiàn)模糊。因此在工程實(shí)踐中，采用非均勻陣列來(lái)節(jié)省設(shè)備量，提高估計(jì)精度成為研究的熱點(diǎn)，很多學(xué)者對(duì)非均勻陣列進(jìn)行了大量研究[1-4]。使用非均勻陣列可以利用較少的陣元得到較大的天線孔徑，為了防止柵瓣的出現(xiàn)，要求非均勻陣列陣元距參考陣元的歸一化間距互質(zhì)。實(shí)驗(yàn)證明，這種非均勻陣列有其優(yōu)勢(shì)，但并非最優(yōu)陣列，相同的孔徑下其陣元數(shù)可進(jìn)一步減少。同時(shí)，學(xué)者們也對(duì)給定陣元數(shù)下所能達(dá)到最大孔徑的最小冗余線陣(Minimum redundancy linear array)進(jìn)行了大量研究[5-7]，但最小冗余線陣的排布方式固定，不適用于相干信源的DOA估計(jì)，又給工程應(yīng)用帶來(lái)了不便。

本文從孔徑合成理論出發(fā)，在最小冗余線陣的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)其陣元位置及個(gè)數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)置，在相同的孔徑條件下，得到比一般非均勻線陣陣元數(shù)更少、比最小冗余線陣陣元選擇更靈活的次最小冗余線陣，同時(shí)解決了最小冗余線陣不能處理相干目標(biāo)的問(wèn)題，更有利于工程應(yīng)用。

2 次最小冗余線陣及其數(shù)學(xué)模型

2.1 非均勻線陣陣列模型

如圖1所示，設(shè)一個(gè)非均勻線陣，由M個(gè)陣元組成，以左邊第一個(gè)陣元為參考陣元，陣元的位置分別為D=(d1,d2,…,dM)，P個(gè)波長(zhǎng)為λ的窄帶平面波，分別從(θ1,θ2,…,θP)入射，第i個(gè)陣元收到的信號(hào)為

(1)

式中，d1=0,Sm(t)是接收的第m個(gè)信號(hào)的復(fù)包絡(luò),ni是第i個(gè)陣元接收到的加性噪聲。

圖1 非均勻直線陣測(cè)向基本模型Fig.1 The basic model of direction-finding for non-uniform linear array

將式(1)表示成向量形式：

X(t)=A(θ)S(t)+N(t)

(2)

式中，X(t)為陣列輸出向量,S(t)為接收的信號(hào)向量,N(t)為接收的噪聲向量。

定義A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θP)]為方向向量a(θi)構(gòu)成的陣列流形，其中i=1,2,…,P。記k=2π/λ，則信號(hào)在θi方向上的方向向量a(θi)可以表示成

a(θi)=[1,exp(jkd2sin(θi)),…,exp(jkdMsin(θi))]T

(3)

2.2 次最小冗余線陣

由上一節(jié)的分析，考慮線陣中任意兩個(gè)陣元p和q輸出的共軛循環(huán)相關(guān)函數(shù)[6]

(4)

(5)

從式(5)中可以看出對(duì)于非均勻線陣，其共軛循環(huán)相關(guān)函數(shù)僅只與dp和dq有關(guān)。根據(jù)孔徑合成理論的疊加等價(jià)陣列的定義[8]，陣列A的疊加等價(jià)陣列表達(dá)式為

Csum(A)={di+dj,1≤i,j≤M}

(6)

式(6)表示di+dj所有可能值表示的集合。若陣列A與陣列B等價(jià)即Csum(A)=Csum(B)，則兩陣列有相同的孔徑。由式(6)可以看出均勻線陣不同的陣元組合可以獲得相同的共軛循環(huán)相關(guān)函數(shù)值，因而帶來(lái)冗余度。

由上面的理論分析，可以設(shè)計(jì)共軛循環(huán)相關(guān)函數(shù)值重復(fù)最少，也即冗余度最小的陣列，稱之為最小冗余線陣。最小冗余線陣的設(shè)計(jì)是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，一般通過(guò)計(jì)算機(jī)窮盡搜索的辦法獲得。表1給出了其中一種不同陣元數(shù)的歸一化配置[9]，其中M表示陣元數(shù)，N表示孔徑，{di}中整數(shù)表示各陣元相對(duì)于第一個(gè)陣元距離對(duì)半波長(zhǎng)的歸一化值。

表1 最小冗余線陣歸一化配置Table 1 The normalized configuration of minimum redundancy linear array

顯而易見(jiàn)，最小冗余線陣的排布是通過(guò)窮舉法得來(lái)的，其陣元排布方式即使不唯一也不能隨意更改。同時(shí)由表1可以看到，基本上最小冗余線陣都是空間非對(duì)稱的，而后面我們將分析空間非對(duì)稱線陣不適用于修正MUSIC算法估計(jì)相干信源。當(dāng)估計(jì)相干信源或最小冗余線陣中某一個(gè)陣元的通道誤差過(guò)大時(shí)，就需要對(duì)其進(jìn)行修改構(gòu)成新的冗余度稍大的等價(jià)線陣，稱之為次最小冗余線陣。

(1)估計(jì)相干信源需要按照窮舉法設(shè)計(jì)空間對(duì)稱的次最小冗余線陣；

(2)應(yīng)對(duì)通道誤差較大的陣元?jiǎng)t是在陣列等價(jià)前提下用其附近的陣元來(lái)替換該陣元。如本文中MUSIC算法的仿真使用的是8元最小冗余線陣{0,1,4,10,16,18,21,23}修改后的次最小冗余線陣{0,1,4,7,11,12,13,16,18,21,23}，兩者陣列是等價(jià)的。

3 次最小冗余線陣的DOA估計(jì)算法

3.1 MUSIC算法[9]

多重信號(hào)分類(MUSIC)算法作為一種解自相關(guān)矩陣特征空間的子空間類算法，它不限于陣列的排列形式，所以MUSIC算法很適合次最小冗余線陣的DOA估計(jì)。

由式(2)的信號(hào)模型，對(duì)陣列信號(hào)X(t)的協(xié)方差矩陣R=E[X(t)XH(t)]進(jìn)行特征分解，有

(7)

式中，Us是由大特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量張成的信號(hào)子空間，而UN是由小特征值對(duì)應(yīng)的特征矢量張成的噪聲子空間。

MUSIC算法的譜估計(jì)公式為

(8)

對(duì)于次最小冗余線陣，在利用MUSIC算法進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)，式(8)的表達(dá)式是不變的，只是a(θ)，UN受次最小冗余線陣陣元位置di的影響，即陣元位置影響了算法的性能。

3.2 修正MUSIC算法[10]

修正MUSIC(MMUSIC)算法在進(jìn)行正常非相關(guān)信源DOA估計(jì)的同時(shí)，可以提高對(duì)相關(guān)信源的估計(jì)性能。

修正MUSIC算法對(duì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R=E[X(t)XH(t)]進(jìn)行修正，令I(lǐng)v為M×M的反向單位矩陣，即

(9)

且令

RX=R+IvR*Iv

(10)

式中，R*為R的共軛，對(duì)RX進(jìn)行如上MUSIC算法就可以得到信號(hào)的DOA估計(jì)。

修正MUSIC算法估計(jì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣時(shí)，將接收數(shù)據(jù)共軛重排后再用了一次，這就要求共軛重排后的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)具有很強(qiáng)的互補(bǔ)性關(guān)系，從而利用它們共同估計(jì)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣以改善DOA估計(jì)性能，也即滿足對(duì)稱布陣，就是要求構(gòu)建陣元關(guān)于線陣中點(diǎn)對(duì)稱分布的等價(jià)陣列。表2給出了一些空間對(duì)稱布陣的次最小冗余線陣的歸一化配置[11]。

表2 空間對(duì)稱次最小冗余線陣歸一化配置Table 2 The normalized configuration of space symmetrical sub-minimum redundancy linear array

4 仿真實(shí)驗(yàn)

使用最小陣元間隔為d=λ/2的線陣，所用噪聲為加性高斯白噪聲。

4.1 MUSIC算法仿真

(1)實(shí)驗(yàn)1:幾種線陣MUSIC算法性能分析

實(shí)驗(yàn)中設(shè)置信號(hào)是頻率為f0的調(diào)幅信號(hào)，采樣率為2f0，快拍數(shù)為200，不考慮通道誤差。不失一般性，取仿真的次最小冗余線陣為{0,1,4,11,12,13,16,18,21,23}，它是一個(gè)口徑同樣為24的最小冗余線陣{0,1,4,10,16,18,21,23}修改得到的。在信噪比為10 dB時(shí)仿真了這兩個(gè)線陣和8元及24元均勻線陣對(duì)入射方向?yàn)?7°,10°,30°,70°)的4個(gè)獨(dú)立入射信號(hào)的DOA估計(jì)結(jié)果，如圖2所示。

圖2 MUSIC算法仿真結(jié)果Fig.2 Simulation results of MUSIC algorithm

從圖2可以看出，同樣作為8陣元線陣，均勻線陣的分辨力明顯不如最小冗余線陣和次最小冗余線陣(10陣元)，3°內(nèi)的兩個(gè)信源出現(xiàn)譜峰兼并，已分辨不出來(lái)。由(b)、(c)、(d)可以看出，陣列孔徑相同的24元均勻線陣、最小冗余線陣和次最小冗余線陣均可以分辨3°以內(nèi)的目標(biāo)，最小冗余線陣效果略差一點(diǎn)。最小冗余線陣和次最小冗余線陣的譜函數(shù)圖像略有起伏，但不影響分辨結(jié)果。圖3是在不同信噪比下4種線陣對(duì)30°入射信號(hào)DOA估計(jì)的均方根誤差曲線。

圖3 均方根誤差隨信噪比變化曲線Fig.3 The change curve of the root mean square error for different SNR

從圖3可以看出，孔徑較小的8元均勻線陣在信噪比為-5 dB時(shí)的均方根誤差較之其他3種線陣有明顯開(kāi)始變大的趨勢(shì)，而孔徑相同的3種線陣在信噪比大于-10 dB時(shí)的均方根誤差相差不大。

(2)實(shí)驗(yàn)2:對(duì)獨(dú)立信號(hào)的分辨率和估計(jì)精度

在MUSIC譜峰搜索中，當(dāng)兩獨(dú)立信號(hào)角度間隔靠近時(shí)，會(huì)出現(xiàn)譜峰兼并，同時(shí)也影響兩信號(hào)的DOA估計(jì)準(zhǔn)確度，驗(yàn)證線陣對(duì)兩角度間隔很近的信號(hào)的分辨能力是很有必要的。定義：如果兩信號(hào)的估計(jì)誤差在0.3°以內(nèi)并且兩峰值與其之間谷值相差大于5 dB，則認(rèn)為成功分辨，否則不能分辨。在信噪比10 dB下，對(duì)不同入射間隔的兩獨(dú)立信號(hào)進(jìn)行估計(jì)，得到圖4所示的不同角度間隔下的分辨概率，每個(gè)角度間隔進(jìn)行1 000次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。

圖4 不同角度間隔下的分辨概率Fig.4 Resolution probability under different angle interval

從圖4可以看出，孔徑較小的8陣元均勻線陣對(duì)非相干信號(hào)具有較差的分辨率，當(dāng)角度間隔小于3°時(shí)，分辨概率就低于90%；其余3個(gè)線陣具有較好分辨率，能分辨間隔1°的兩個(gè)信號(hào)。綜合來(lái)看，次最小冗余線陣在提高分辨力和降低計(jì)算復(fù)雜度方面有較好的效果。

4.2 MMUSIC算法仿真

實(shí)驗(yàn)中仍設(shè)置信源數(shù)N=4，入射角度為(10°,20°,30°,70°)，信噪比為10 dB，設(shè)置其中角度為10°和20°的兩個(gè)入射信號(hào)為全相干信號(hào)。由前面分析知，對(duì)相干信號(hào)的DOA估計(jì)需要空間對(duì)稱線陣，取仿真的空間對(duì)稱次最小冗余線陣為{0,1,4,7,11,15,18,21,22}，它也是最小冗余線陣{0,1,4,10,16,18,21,23}修改得到的，不過(guò)考慮要滿足空間對(duì)稱性，損失了一個(gè)陣元的孔徑。這兩個(gè)線陣及8元和24元均勻線陣的DOA估計(jì)結(jié)果如圖5所示。

圖5 MMUSIC算法仿真結(jié)果Fig.5 Simulation results of MMUSIC algorithm

從圖5可以看出，不具有空間對(duì)稱性的最小冗余線陣{0 1 4 10 16 18 21 23}對(duì)相干信號(hào)的估計(jì)已經(jīng)失效，而具有空間對(duì)稱性的另外3個(gè)線陣對(duì)相關(guān)信號(hào)的估計(jì)性能良好，同時(shí)不影響其中非相干信號(hào)的估計(jì)。用該3種線陣對(duì)相干信號(hào)進(jìn)行估計(jì)精度分析，得到圖6。

圖6 對(duì)相干信號(hào)不同角度間隔下的分辨概率Fig.6 Resolution probability for coherent signals under different angle interval

從圖4和圖6的比較可以看出，相干信號(hào)之間是互相有影響的，表現(xiàn)到分辨率中就是使每個(gè)線陣的分辨率變差，如24元均勻線陣分辨概率大于90%的角度間隔提升到1.25°，但總體的規(guī)律保持不變，具有相近孔徑的次最小冗余線陣和24元均勻線陣的分辨率相差不大，優(yōu)于具有較小孔徑的8元均勻線陣。

整體仿真結(jié)果表明，空間對(duì)稱次最小冗余線陣適用于對(duì)相干信號(hào)的DOA估計(jì)，解決了最小冗余線陣在該方面的不足。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)所提出的次最小冗余線陣DOA估計(jì)，給出了分析和實(shí)驗(yàn)仿真，結(jié)果表明MUSIC等子空間類算法適用于次最小冗余線陣，同時(shí)與一般的陣列排布方法相比，次最小冗余線陣具有極大的靈活性，可以靈活選擇陣元，避免誤差較大的通道；同時(shí)在保證陣列孔徑和分辨力的前提下，可有效降低陣元數(shù)量和算法復(fù)雜度，在相關(guān)信源的DOA估計(jì)中也具有良好的效果。但次最小冗余線陣因其陣元選擇的靈活性帶來(lái)陣列的不固定性，替代較大誤差通道的陣元選擇的優(yōu)先級(jí)順序及所帶來(lái)的影響有待進(jìn)一步研究，同時(shí)空間對(duì)稱次最小冗余線陣的陣元選擇方式也需進(jìn)一步明確。

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