特殊圖形·特殊角度·特殊模型——也談“一道幾何考題”的思路、反思與啟示

☉江蘇省海安縣胡集初級(jí)中學(xué) 錢宜鋒

特殊圖形·特殊角度·特殊模型
——也談“一道幾何考題”的思路、反思與啟示

☉江蘇省海安縣胡集初級(jí)中學(xué) 錢宜鋒

近讀《中學(xué)數(shù)學(xué)》，夏再迅老師在文1中對(duì)一道幾何考題作出解后反思，達(dá)到深刻理解后給出四種改編，這種解題與命題研究的取向很值得學(xué)習(xí).本文也由這道考題出發(fā)，鏈接幾道“經(jīng)典考題”，然后重點(diǎn)談?wù)劷忸}教學(xué)中應(yīng)該重視特殊圖形、特殊角度、特殊模型的追求.為了方便閱讀，先列出文1中的考題.

一、考題及思路簡(jiǎn)述

例1（2013~2014學(xué)年北京市海淀區(qū)九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)卷，第24題）已知在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=6，CD⊥AB于D，點(diǎn)E在直線CD上，DE=CD，點(diǎn)F在線段AB上，M是DB的中點(diǎn)，直線AE與直線CF交于N點(diǎn).

圖1

（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段CD上，請(qǐng)分別寫出線段AE和CM之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系：___________，___________.

（2）在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上，且AF=2FD時(shí)，求證：∠CNE=45°.

（3）當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，在線段AB上是否存在點(diǎn)F，使得∠CNE=45°？若存在，請(qǐng)直接寫出AF的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解答見文1，為節(jié)約篇幅，這里從略.

二、“經(jīng)典問題”的鏈接

第二問的突破讓我們想起了下面兩個(gè)相關(guān)的“經(jīng)典問題”.

例2（摘選自2013年四川達(dá)州中考卷，第24題）如圖2，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說(shuō)明理由.

圖2

思路簡(jiǎn)述：AB=CD，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合.由∠ADC=∠B=90°，得∠FDG=180°，則點(diǎn)F、D、G共線.易證△AFG≌△AFE，則EF=BE+DF.

由文1中的反思，我們也順便歸納一下這道經(jīng)典問題的結(jié)構(gòu).

如圖2，設(shè)E、F為正方形的邊BC、CD上的點(diǎn)，則下列命題等價(jià)：

（1）∠EAF=45°；

（2）△CEF的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的周長(zhǎng)的一半；

圖3

例3 （2013年遼寧錦州，第25題）如圖3，等腰直角三角板的一個(gè)銳角頂點(diǎn)與正方形ABCD的頂點(diǎn)A重合，將此三角板繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC、DC于點(diǎn)E、F，連接EF.

（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

（2）在圖3中，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M，請(qǐng)直接寫出AM和AB的數(shù)量關(guān)系.

（3）如圖4，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，∠EAF=∠BAD，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF于點(diǎn)M.試猜想AM與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.

圖4

思路簡(jiǎn)述：（1）猜想EF=BE+DF.但本題中直接作EF的垂線，沒有條件證明全等，如圖5，可考慮在CB的延長(zhǎng)線截取BG=DF，連接AG.通過(guò)構(gòu)造△ADF≌△ABG，進(jìn)而證明△GAE≌△FAE，則GE=EF，可證EF=BE+DF.

圖5

（2）如圖5，可以通過(guò)證△AMF≌△ABG或△AME≌△ABE，得AM=AB.

圖6

（3）如圖6，在CB的延長(zhǎng)線上截取BG=DF，連接AG.類比（1）可證△GAE≌△FAE.根據(jù)“兩三角形面積相等、底相等，則高相等”，可得AM=AB.

解后反思：可以發(fā)現(xiàn)，例3用一個(gè)“實(shí)物”三角尺取代了例2中那個(gè)“∠EAF=45°”的信息，本質(zhì)還是一致的，只是條件呈現(xiàn)的一種多元表征而已.

值得一提的是，2013年四川達(dá)州中考卷第24題還提出了如下的“聯(lián)想拓展”.

圖7

例4 如圖7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°.求證BD2+EC2=DE2.

證明思路：如圖8，△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACD′.

由△ABD≌△ACD′，得CD′=BD，AD′=AD，∠B=∠ACD′，∠BAD=∠D′AC.

在Rt△ABC中，由AB=AC，得∠ABC=∠ACB=45°，則∠ACB+∠ACD′=90°，即∠D′CE=90°，則D′C2+CE2=D′E2.

由∠DAE=45°，得∠BAD+∠EAC=45°，則∠D′AC+∠EAC=45°，即∠D′AE=45°.則△AD′E≌△ADE，則ED=ED′，則DE2=BD2+EC2.

圖8

三、兩點(diǎn)啟示

1.向?qū)W生傳遞“識(shí)別特殊”、“用好特殊”的意識(shí)

羅增儒教授在《解題學(xué)引論》中指出：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)加工，會(huì)得出有長(zhǎng)久保存價(jià)值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式，將其有意識(shí)地記憶下來(lái).當(dāng)遇到一個(gè)新問題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想起一個(gè)已解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法來(lái)加以解決，這就是模式識(shí)別的解題策略.”解題教學(xué)中要重視幫助學(xué)生訓(xùn)練積累特殊、識(shí)別特別、用好特殊的意識(shí)，也即羅增儒教授提出的“模式識(shí)別”策略.可以發(fā)現(xiàn)，如果學(xué)生對(duì)平時(shí)的經(jīng)典問題善于總結(jié)、積累（如例2~4的圖形及相關(guān)的等價(jià)命題），那么，在突破例1這樣的考題時(shí)，就可能迅速地將問題轉(zhuǎn)化成在圖2這樣的大正方形平臺(tái)下思考、突破.正如有同行說(shuō)這種解法是“置身大格局，獲得大光明”，有一定的道理.

2.向?qū)W生傳遞“并列問題與遞進(jìn)求解”策略

事實(shí)上，本文將一些同類經(jīng)典考題羅列在一起，闡釋的正是解題教學(xué)要向?qū)W生傳遞“并列問題與遞進(jìn)求解”策略［3］，這種并列問題與遞進(jìn)求解的思想是廣泛存在于綜合題中的.以例1這道考題為例，第一問看似考查基礎(chǔ)概念（全等三角形的判定），看似簡(jiǎn)單，用意深遠(yuǎn)；以例3來(lái)說(shuō)，圖3到圖4就是一種遞進(jìn)式的求解策略；對(duì)于例4，圖8的這種輔助線可視作基于旋轉(zhuǎn)而來(lái).可見，解題教學(xué)中，向?qū)W生傳遞“并列問題與遞進(jìn)求解”策略是十分必要的，這樣才能避免幾何問題中輔助線添加像是“魔術(shù)師手中飛出的鴿子那樣神奇”（波利亞語(yǔ)）.特別是，學(xué)生在思路突破中如果聯(lián)想到例2、例3這樣的經(jīng)典問題或模型，從而獲得例1的求解思路或突破方向時(shí)，這也是一種更廣義“并列問題”（兩個(gè)“不相關(guān)”問題，一個(gè)在考場(chǎng)上出現(xiàn)，一個(gè)是此前曾研習(xí)或積累過(guò)的經(jīng)典模型）與“遞進(jìn)求解”（將“不相關(guān)”問題關(guān)聯(lián)起來(lái)并有效轉(zhuǎn)化獲得思路并突破成功）的策略.

1.夏再迅.試題改編需要理解深層結(jié)構(gòu)——由一道幾何考題的求解說(shuō)起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2013（12）.

2.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，2008.

3.劉東升.“并列”式問題與“遞進(jìn)”式求解——由一則解題教學(xué)案例說(shuō)起［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（8）.