感知異樣情境 強(qiáng)化建模體驗(yàn)

☉江蘇省南師大附中樹人學(xué)校 王 霞

感知異樣情境 強(qiáng)化建模體驗(yàn)

☉江蘇省南師大附中樹人學(xué)校 王 霞

數(shù)學(xué)模型是學(xué)生從數(shù)學(xué)角度認(rèn)知世界的一個(gè)非常重要的工具.為了讓學(xué)生更好地利用數(shù)學(xué)模型認(rèn)知世界，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》頒布之后，數(shù)學(xué)建模教學(xué)得到了很多一線數(shù)學(xué)老師的重視.他們以緊貼學(xué)生認(rèn)知的問題為“發(fā)力點(diǎn)”，把數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)意識(shí)的培養(yǎng)落實(shí)在平時(shí)教學(xué)之中，通過對(duì)教學(xué)內(nèi)容的處理和再創(chuàng)造，剖析復(fù)雜的數(shù)學(xué)情境，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的體驗(yàn)，力求“在學(xué)中用，在用中學(xué)”.本文將列舉幾種常見的建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的問題情境，并提出一些教學(xué)建議，希望對(duì)您有幫助.

一、透視日常生活，感受建模的意義

在教材編寫和試題命制中，很多老師選擇了與學(xué)生日常生活息息相關(guān)的情境作為數(shù)學(xué)問題的背景，形成了很多生活氣息濃郁的問題.如商品銷售利潤問題、產(chǎn)品加工方案選擇問題、家庭用電量問題、汽車的合理剎車距離問題、貨物配送方案優(yōu)選問題等.這些日常生活中的數(shù)學(xué)問題，一般都可以應(yīng)用常見數(shù)學(xué)模型加以解決.因此，當(dāng)我們遇到這些問題時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷完整的問題解決過程，感知數(shù)學(xué)模型的實(shí)際意義.

例1 某公司營銷A、B兩種產(chǎn)品.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)如下信息：

信息1：銷售A種產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與所售產(chǎn)品x（噸）之間存在二次函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx.當(dāng)x=1時(shí)，y=1.4；當(dāng) x=3 時(shí)，y=3.6.

信息2：銷售B種產(chǎn)品所獲利潤y（萬元）與所售產(chǎn)品x（噸）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系y=0.3x.

該公司擬購進(jìn)A、B兩種產(chǎn)品共10噸，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)營銷方案，使銷售A、B兩種產(chǎn)品獲得的利潤之和最大.

分析：本題創(chuàng)設(shè)了較為豐富的問題情境，通過兩種不同商品的銷售將二次函數(shù)與一次函數(shù)兩種數(shù)學(xué)模型滲入其中.要想解答本題，除了要用到上述模型，還要用到方程組模型和二次函數(shù)的圖像這一模型.在教材和各類考試中，這種基于日常生活之上，以學(xué)生熟知的問題作為數(shù)學(xué)模型建構(gòu)情境的數(shù)學(xué)問題很多.在日常教學(xué)中，我們應(yīng)讓學(xué)生充分感知題目的情境，指導(dǎo)他們從情境中抽象出數(shù)學(xué)模型化解數(shù)學(xué)問題.這樣的過程體驗(yàn)，非常利于這類問題的教學(xué)發(fā)揮，對(duì)學(xué)生“建構(gòu)數(shù)學(xué)模型有利于突破現(xiàn)實(shí)生活情境”的體驗(yàn)和“應(yīng)用意識(shí)”的自我覺醒有很好地推動(dòng)作用.

解析：根據(jù)題意可求得y=-0.1x2+1.5x.設(shè)購進(jìn)A產(chǎn)品x噸，則購進(jìn)B產(chǎn)品10-x噸.則利潤之和W=（-0.1x2+1.5x）+0.3（10-x）=-0.1x2+1.2x+3=0.1（x-6）2+6.6.所以，A、B兩種產(chǎn)品的進(jìn)貨量分別為6噸和4噸時(shí)，獲得的銷售利潤之和最大.

點(diǎn)評(píng)：綜合上面的分析與解析過程，我們不難發(fā)現(xiàn)，適時(shí)將日常生活中的數(shù)學(xué)問題引入學(xué)生的視野，以此問題解決的過程讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)模型的意義，這加深了學(xué)生對(duì)初中階段數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的認(rèn)知和應(yīng)用，無疑會(huì)增強(qiáng)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的信心，深入地感受到數(shù)學(xué)建模的實(shí)際意義，獲得問題解決的必要知識(shí)和應(yīng)用技能.

二、捕捉考試熱點(diǎn)，感知建模方法

考試是教師教與學(xué)生學(xué)的指揮棒，有什么樣的考試就有什么樣的教學(xué).因此，我們應(yīng)緊扣考試熱點(diǎn)，將建模教學(xué)滲透在考試熱點(diǎn)之中.通過常見考試熱點(diǎn)的呈現(xiàn)，激發(fā)出他們探究求解的欲望.學(xué)生在突破問題情境“干擾”的過程中，自然生成建構(gòu)數(shù)學(xué)模型求解的常規(guī)路徑，充分感知常規(guī)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的路徑與方法.

例2（2013年重慶卷第23題改編）在一項(xiàng)市政工程建設(shè)中，甲隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間比乙隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間多5個(gè)月，并且兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間的乘積恰好等于兩隊(duì)單獨(dú)完成所需時(shí)間之和的6倍.

（1）求甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需幾個(gè)月.

（2）若甲隊(duì)每月施工費(fèi)為100萬元，乙隊(duì)每月施工費(fèi)為150萬元，現(xiàn)決定甲、乙兩隊(duì)分工合作完成這項(xiàng)工程，且甲隊(duì)施工時(shí)間是乙隊(duì)的2倍，那么，甲隊(duì)最多施工幾個(gè)月，才能使工程款不超過1500萬元？（施工時(shí)間按月取整數(shù)）

分析：本題涉及的數(shù)學(xué)模型主要是一元二次方程和一元一次不等式.本題實(shí)際上是一道工程問題，這是目前教材和考試中出現(xiàn)頻率很高的應(yīng)用題，在中考中是考試的熱點(diǎn).通過初中階段的多輪認(rèn)知，學(xué)生對(duì)工程問題的問題情境和解決方法都很熟悉.在教學(xué)中，我們要充分抓住這個(gè)熱點(diǎn)背后的數(shù)學(xué)模型，不僅可以向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)建模的方法，也讓學(xué)生體會(huì)了數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用功能.

解析：（1）設(shè)甲隊(duì)單獨(dú)做需要x個(gè)月完成.

x1=2不合題意，應(yīng)舍去.

所以甲隊(duì)單獨(dú)做需要15個(gè)月完成.

（2）設(shè)甲隊(duì)做了y個(gè)月.

因?yàn)閥為整數(shù)，所以y最大可以取8.

所以完成這項(xiàng)工程，甲隊(duì)最多施工8個(gè)月.

點(diǎn)評(píng)：在眾多初中數(shù)學(xué)模型中，方程（組）和不等式是應(yīng)用最廣泛的模型.在中考中，這兩個(gè)模型自然成為了命題者最為關(guān)注的考點(diǎn)，很多試題都將這兩個(gè)模型作為主要考查任務(wù)，上面這道例題就是一個(gè)很好的例子.中考為日常教學(xué)指引了方向，突出了這類數(shù)學(xué)模型在教學(xué)中的重要地位.一線教師應(yīng)高度重視?？紨?shù)學(xué)模型的教學(xué)，以熱點(diǎn)考題教學(xué)強(qiáng)化基本模型的滲透，讓學(xué)生在熱點(diǎn)問題的解答中感知模型、應(yīng)用模型，形成建構(gòu)模型的一般性方法.

三、關(guān)注實(shí)踐情境，激發(fā)建模意識(shí)

成功的數(shù)學(xué)建模，一般會(huì)經(jīng)歷“觀察—猜想—論證”的過程.在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，我們應(yīng)關(guān)注教學(xué)的實(shí)踐性.數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)有豐富的素材，可以是具體的可以操作的，也可以是借助情境生成的“理論層面”上的實(shí)踐，比如“統(tǒng)計(jì)與概率”中的規(guī)則修訂問題等.在此類實(shí)踐活動(dòng)中，學(xué)生應(yīng)在經(jīng)歷了豐富的探究過程后，憑借固有的解題經(jīng)驗(yàn)，抽取問題情境中的數(shù)學(xué)模型.以“實(shí)踐”為背景的數(shù)學(xué)問題解答過程，有效激發(fā)了學(xué)生的建模意識(shí)，促進(jìn)他們建模求解思維“慣性”的形成.

例3 經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn).如果這三種情況是等可能的，當(dāng)三輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口時(shí)，

（1）求三輛車全部同向而行的概率.

（2）交管部門在汽車行駛高峰時(shí)段對(duì)車流量作了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)汽車在此十字路口向右轉(zhuǎn)的頻率為，向左轉(zhuǎn)和直行的頻率均為.目前在此路口，汽車左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)、直行的綠燈亮的時(shí)間分別為30秒，在綠燈亮的總時(shí)間不變的條件下，為了緩解交通擁擠，請(qǐng)你用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)對(duì)此路口綠燈亮的時(shí)間做出合理的調(diào)整.

分析：本題是一道概率題，包含了求概率和建構(gòu)在概率之上的規(guī)則修訂問題.概率的計(jì)算，一般用畫樹狀圖或列表的方法；而由概率問題引申出的“規(guī)則修訂”問題，則需借助概率模型從數(shù)學(xué)的角度給出分析，以形成符合題目要求的規(guī)則.本題的解答與教學(xué)，應(yīng)遵循常規(guī)的思路，重在強(qiáng)化一般性解題思路的建構(gòu)與教學(xué)，突出“樹狀圖”模型的充分感知和概率模型的深度應(yīng)用.

解析：（1）分別用A、B、C表示向左轉(zhuǎn)、直行、向右轉(zhuǎn)，畫出樹狀圖（如圖1）.

結(jié)合樹狀圖，可知在27種等可能的結(jié)果中，符合題意的有3種.

點(diǎn)評(píng)：在概率計(jì)算過程中，必要的列表或畫樹狀圖是不可缺少的，因此，列出的表格或畫出的樹狀圖也就成為了化解與概率相關(guān)的數(shù)學(xué)問題的基本模型.本題是“三因素事件”，畫出正確的樹狀圖是問題解決的關(guān)鍵.而這道試題的第二問，是建構(gòu)在概率之下的規(guī)則修訂問題，這是初中數(shù)學(xué)中的理論層面的實(shí)踐活動(dòng)，將數(shù)學(xué)知識(shí)生活化.學(xué)生探究求解中體驗(yàn)成功的快樂，激發(fā)了他們主動(dòng)建立數(shù)學(xué)模型求解的意識(shí)，實(shí)現(xiàn)了常用數(shù)學(xué)模型在解題過程中的“正向”強(qiáng)化.

四、強(qiáng)化變式訓(xùn)練，促進(jìn)模型入網(wǎng)

“捕捉有用信息，建構(gòu)有效模型”是學(xué)生解題能力的重要組成部分.這一能力的形成不可能一蹴而就，是一個(gè)“漸進(jìn)”的過程.這對(duì)課堂教學(xué)提出了很高的要求，要求教師應(yīng)重視例題的設(shè)計(jì)，要努力通過解答并列或遞進(jìn)的題組，以“一題多變”來挖掘例、習(xí)題在建模教學(xué)中的價(jià)值.一些典型的變式題的解答，會(huì)讓學(xué)生強(qiáng)化對(duì)已有的或者正在構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知，有效促進(jìn)數(shù)學(xué)模型的網(wǎng)絡(luò)化建構(gòu).編制變式題的方法很多，基于本文所述的教學(xué)需求，無論哪種形式編制出的題組，都應(yīng)能有效

促進(jìn)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與“入網(wǎng)”.

例4 如圖2，△ABC為正三角形，點(diǎn)M是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是AC上一點(diǎn)，AM、BN相交于點(diǎn)Q，BM=NC，猜想∠BQM等于多少度，并證明你的猜想.

解析：由△ABC為正三角形，可得∠ABC=∠C=60°，AB=BC.又因?yàn)锽M=CN，所以△ABM≌△BCN.所以∠BAM=∠CBN，所以∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°.

變式：如圖3，將例4中的“正△ABC”分別改為正方形ABCD、正五邊形ABCDE、正六邊形ABCDEF、正n邊形ABCD…X，“點(diǎn)N是AC上一點(diǎn)”改為“點(diǎn)N是CD上一點(diǎn)”，其余條件不變，分別推斷出∠BQM等于多少度，將結(jié)論填入下表：

?

圖3

分析：和例4一樣，這道變式題也是重點(diǎn)考查全等三角形的性質(zhì).值得注意的是，變式題中蘊(yùn)含著例4中的基本模型，在圖3中的四幅圖形中，△ABM和△BCN仍然和圖2中一樣是全等的.解決例4時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生在解答后從圖2中梳理出“基本圖形”，形成可供后續(xù)應(yīng)用的“全等模型”.在圖3中，例4教學(xué)形成的“全等模型”將會(huì)得到進(jìn)一步應(yīng)用，這無疑會(huì)讓基于圖2中的數(shù)學(xué)模型得到深度抽象，促進(jìn)數(shù)學(xué)模型的網(wǎng)絡(luò)化建構(gòu).

點(diǎn)評(píng)：做完例4和變式題后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生概括出這幾個(gè)問題的同質(zhì)模型，以強(qiáng)化本題中的“全等三角形”這一解題模型.這樣通過一個(gè)題組的強(qiáng)化練習(xí)，既解決了一類問題，又將題組中的共性的數(shù)學(xué)模型抽取出來，為今后的解題提供了一個(gè)可以直接應(yīng)用的工具.據(jù)此，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們應(yīng)緊扣教學(xué)目標(biāo)，用好變式題組，通過并列或遞進(jìn)的變式訓(xùn)練，激活學(xué)生的思維，讓學(xué)生在自主探索求解中，不斷嘗試構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，逐步提高建模求解的能力.

建模教學(xué)，是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，是“慢”的教學(xué).在日常教學(xué)中，我們應(yīng)強(qiáng)化對(duì)具體情境的剖析，讓學(xué)生充分感知不同情境下的同一數(shù)學(xué)模型和同一情境下的不同數(shù)學(xué)模型.讓他們經(jīng)歷豐富的探究過程，形成對(duì)數(shù)學(xué)模型有用、可用的主體體驗(yàn)，逐步掌握“突破復(fù)雜問題情境，建構(gòu)有效數(shù)學(xué)模型”的方法，形成多種不同的數(shù)學(xué)模型并建構(gòu)出有效的數(shù)學(xué)模型網(wǎng)絡(luò)，不斷提高建構(gòu)模型和應(yīng)用模型的能力.以上所述僅是筆者在建模教學(xué)中的一些不成熟的做法，此中的謬誤之處，敬請(qǐng)各位同行專家批評(píng)指正！

1.印冬建.削枝強(qiáng)干，挖掘例題的教學(xué)功能——一道復(fù)習(xí)課用題的教學(xué)與分析［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2013（5）.

2.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.印冬建.突出核心主線 追求有效教學(xué)——談初中數(shù)學(xué)有效備課的做法與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2014（1）.

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