解讀蘇科版數(shù)學(xué)教材中“數(shù)軸”的意義

☉江蘇省宿遷市宿豫區(qū)教育局教研室 胡 濱

解讀蘇科版數(shù)學(xué)教材中“數(shù)軸”的意義

☉江蘇省宿遷市宿豫區(qū)教育局教研室 胡 濱

關(guān)于數(shù)軸的意義，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）沒有提出明確的教學(xué)要求，只是提出“能用數(shù)軸表示……”與“借助數(shù)軸理解……”等用數(shù)軸解決問題的一些具體要求.那么在教學(xué)過程中，數(shù)軸概念意義的形成與獲得過程是否就應(yīng)該“弱化”處理呢？其實(shí)不然，經(jīng)教育部審定后的最新蘇科版義務(wù)教育教科書七年級（上冊）中的《2.3數(shù)軸》教材中，數(shù)軸意義的內(nèi)容呈現(xiàn)比修訂前更加細(xì)化、深化、強(qiáng)化了許多環(huán)節(jié)與內(nèi)容.對此，我們解讀如下.

一、細(xì)化數(shù)軸意義的引入內(nèi)容，突出數(shù)學(xué)基本觀念的把握

試一試（摘自原教材）：

在小學(xué)里，我們會根據(jù)直線上一個點(diǎn)的位置寫出合適的數(shù)，也會在直線上畫出表示一個數(shù)的點(diǎn).

試把圖1中直線上的點(diǎn)所表示的數(shù)寫在相應(yīng)的方框里.

圖1

這里的“試一試”有兩個作用，一是回顧經(jīng)驗(yàn)，二是激活經(jīng)驗(yàn).因?yàn)槲覀兊囊磺兄R都是建立在經(jīng)驗(yàn)之上，而且最后是導(dǎo)源于經(jīng)驗(yàn)的.在已有的小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)上，我們認(rèn)識到的數(shù)學(xué)對象有：根據(jù)直線上的一個點(diǎn)的位置寫出合適的數(shù)；這種直線上的點(diǎn)是依次排列的；可以在直線上畫出表示一個數(shù)的點(diǎn)；這樣的直線幫助我們認(rèn)識自然數(shù)的大小關(guān)系.當(dāng)借助數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)感知這些有一定層次的數(shù)學(xué)對象時(shí)，三個數(shù)學(xué)基本觀念——“直線”、“點(diǎn)”、“數(shù)”就隨即直觀地傳達(dá)于我們心中.再深入反思這三個基本觀念時(shí)，我們便獲得了清晰的“數(shù)軸”初步概念意義的層次：

直觀感知 直線 點(diǎn) 數(shù)深刻反思水平直線，有方向的直線.點(diǎn)布滿了直線，直線上每一個點(diǎn)都表示一個數(shù).每一個數(shù)都可以在直線上找到相應(yīng)的點(diǎn)，點(diǎn)或數(shù)的排列受原點(diǎn)和單位長度制約.

所以，在這里的“試一試”數(shù)學(xué)活動過程中，回顧已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)是認(rèn)識數(shù)軸的基礎(chǔ)，感知數(shù)學(xué)對象、獲得基本觀念是數(shù)軸概念形成的核心，深刻反思是形成清晰數(shù)軸概念層次的關(guān)鍵.可以說，數(shù)軸概念的形成，得益于能從已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)中獲得三個數(shù)學(xué)基本觀念——“直線”、“點(diǎn)”、“數(shù)”，直觀感知與深刻的心理活動是數(shù)學(xué)基本觀念形成的兩個重要途徑.因此，引入教材內(nèi)容教學(xué)的重點(diǎn)在于，首先能從已有數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)中提煉出基本數(shù)學(xué)觀念，其次是能夠深入思考、記憶、整理與使用這些基本觀念，使得“數(shù)”在“形”上呈現(xiàn)出可見對象與直觀支撐，最后才能形成完整的數(shù)軸概念圖式.這就啟示我們的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)關(guān)注以下幾點(diǎn)：

1.由于圖形的實(shí)質(zhì)是將相對抽象的“數(shù)”的思考對象“圖形化”，因此在激活小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)時(shí)，能畫圖時(shí)要盡量安排學(xué)生畫.

2.剛剛進(jìn)入初中學(xué)習(xí)的小學(xué)生往往都把注意力消耗在觀察圖形（圖1）上，很少能仔細(xì)反省心中對數(shù)學(xué)對象的感知、以及對數(shù)學(xué)觀念的剖析上，要加強(qiáng)學(xué)習(xí)方面的引導(dǎo)與針對性的知識小結(jié).

3.給學(xué)生做出“數(shù)學(xué)書應(yīng)該這樣閱讀”的示范.即能理解數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)的精確含義，特別是隱藏在文字背后的含義，能善于在課文內(nèi)容的字里行間中發(fā)現(xiàn)問題，并就這些問題的提出、分析、抽象、解決和引申作適當(dāng)?shù)奶剿?

二、深化數(shù)軸概念的表述，突出數(shù)軸的“表示”要義

在數(shù)軸上，我們看到了“點(diǎn)”可以表示“數(shù)”，如“數(shù)軸”上的點(diǎn)可以表示數(shù)-1，-2，-3，…可以表示數(shù)0，可以表示數(shù)1，2，3，…可以表示數(shù)-2.5，3.5，-1.5，-，，…這說明兩個道理，一是凡能寫成分?jǐn)?shù)形式（m、n是整數(shù)，n≠0）的數(shù)，都在數(shù)軸上；二是數(shù)軸上表示有理數(shù)的點(diǎn)有“很多”.例如，數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B，它們所對應(yīng)的數(shù)分別是a、b，那么A、B的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)值是，同理可以知道其他兩點(diǎn)的中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)值，這樣繼續(xù)找下去，雖然距離越來越小，但每兩點(diǎn)之間總有一個中點(diǎn)，而且這個中點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)值可以計(jì)算出來，它也可以是分?jǐn)?shù)形式.顯而易見，這些點(diǎn)是很稠密的排列在數(shù)軸上.

“數(shù)軸”上“點(diǎn)”與“數(shù)”的關(guān)系是相互對應(yīng)的.這種對應(yīng)表現(xiàn)為一種意識——面對數(shù)學(xué)問題能想到利用圖形來思考；其次表現(xiàn)為掌握一定的幾何直觀的畫圖技巧，能畫出數(shù)軸并借助數(shù)軸圖形進(jìn)行思考的經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)，表現(xiàn)為一種能力；想不想畫出數(shù)軸、會不會畫數(shù)軸圖的問

做一做（摘自原教材）：

1.畫一條水平直線，并在這條直線上取一點(diǎn)表示0，我們把這個點(diǎn)稱為原點(diǎn).

2.規(guī)定直線上從原點(diǎn)向右為正方向（畫箭頭表示），向左為負(fù)方向.

3.取適當(dāng)長度（如1cm）為單位長度，在直線上，從原點(diǎn)向右每隔一個單位長度取一點(diǎn)，依次表示1，2，3，…從原點(diǎn)向左每隔一個單位長度取一點(diǎn)，依次表示-1，-2，-3，…

如圖2，像這樣規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.

圖2

在數(shù)軸上，用原點(diǎn)右邊且到原點(diǎn)的距離是1.5個單位長度的點(diǎn)表示1.5，用原點(diǎn)左邊且到原點(diǎn)的距離是2.4個單位長度的點(diǎn)表示-2.4.

通過具體的“做一做”，得到了“像這樣規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸”的帶有操作程序性的意義.當(dāng)你接受數(shù)軸意義內(nèi)容就是數(shù)軸的三要素——原點(diǎn)、正方向、單位長度時(shí)，后來關(guān)于數(shù)軸的一切觀念，就會永遠(yuǎn)建立在這個基礎(chǔ)上，至于對數(shù)軸意義的深刻理解，則可能是被動的.人類理解理論相關(guān)研究指出，人類智力的第一種能力，就在于接受印象，然而就在接受簡單的觀念時(shí)，大部分理解是被動的.因此，若想得到數(shù)軸的深刻意義，必須借助已經(jīng)接受的簡單觀念來增進(jìn)自己的思想能力，以增加自己的知識儲備，以便使自己在回憶、想象、推理和思考時(shí)，更能順利地使用數(shù)軸的意義圖式.

“數(shù)軸”的意義與“直線、點(diǎn)、數(shù)”三個數(shù)學(xué)觀念是相符合的，它的基本特征就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象.先把研究的“數(shù)”抽象為“圖形（點(diǎn)）”，再把“直線、點(diǎn)、數(shù)三個數(shù)學(xué)觀念之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“數(shù)與形之間的關(guān)系”，這樣就把研究“數(shù)”的問題轉(zhuǎn)化為“圖形的數(shù)量或位置關(guān)系”的問題，加以思考分析.這就是說，數(shù)軸知識是直覺的知識，直覺知識是最明白、最確定的，這種確定性完全依賴于直覺.因此，不需要記住它的什么意義、什么三要素，只要求能切實(shí)感知到它的直觀，深刻反思它的意義，靈活使用它來解決數(shù)學(xué)問題.

在這一段課文內(nèi)容中，出現(xiàn)頻率最高的詞就是“表示”，就是說，數(shù)軸的重要作用在于“表示”.“表示”有“表述、表明、標(biāo)記、借某種事物顯出某種意義”等含義，因此，把握數(shù)軸意義的重點(diǎn)在于，借助數(shù)軸的“表示”作用不僅能直接看到想要知道的東西，而且還能依托看到的東西進(jìn)行思考、想象，即不僅看到了什么，而是通過數(shù)軸思考到了什么，聯(lián)想到了什么.這是一種十分重要而有價(jià)值的思維方式.題解決之后，不斷地運(yùn)用，形成正向的動力定型，逐步會形成一種當(dāng)遇到抽象理性的問題時(shí)，主動地退到適合的層面上去推動思維展開的思維方式.

要使得在具體的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)上產(chǎn)生預(yù)想的教學(xué)效果，應(yīng)當(dāng)關(guān)注以下幾點(diǎn)：

1.準(zhǔn)確完成數(shù)軸的畫圖，既知道畫數(shù)軸的方法，更有嫻熟畫數(shù)軸的技能.

2.在數(shù)軸上能領(lǐng)悟到數(shù)的對立統(tǒng)一規(guī)律與數(shù)的排列規(guī)律.

3.欣賞數(shù)軸的和諧美，它把直線、射線、線段有機(jī)統(tǒng)一于一體，使有理數(shù)與無理數(shù)共存于其中，體現(xiàn)了數(shù)與形的完美結(jié)合.

三、強(qiáng)化無理數(shù)的引入過程，突出幾何直觀的重要作用

議一議（摘自原教材）：

面積為2的正方形的邊長a是無理數(shù)，如何在數(shù)軸上畫出表示a的點(diǎn)？

以原點(diǎn)為一個端點(diǎn)，在數(shù)軸上向右畫一條長為a的線段.

a應(yīng)位于1.41與1.42之間.

做一做：

將邊長為a的正方形放到數(shù)軸上（如圖3），以原點(diǎn)為圓心、a為半徑，用圓規(guī)畫出數(shù)軸上的一個點(diǎn)A，點(diǎn)A表示的數(shù)就是無理數(shù).

圖3

怎樣用數(shù)軸上的點(diǎn)表示圓周率π？

做一個直徑為1個單位長度的圓片，它的周長為

如圖4，把圓片上的點(diǎn)放在原點(diǎn)，并把圓片沿?cái)?shù)軸滾動1周，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A′的位置，點(diǎn)A′表示的數(shù)就是π.

圖4

議一議、做一做兩段教材內(nèi)容揭示了“數(shù)軸”與“實(shí)數(shù)”的關(guān)系，其主要內(nèi)容有：

“數(shù)軸”上表示有理數(shù)的點(diǎn)，并未布滿整個數(shù)軸.數(shù)軸上的點(diǎn)還可以表示哪些數(shù)呢？如圖3中的點(diǎn)A和圖4中的圓周率π，它們都是無理數(shù).我們?nèi)魠⒄請D3，還可以構(gòu)造出對角線長分別為1，1.5，3，3.5，…無數(shù)個正方形來，它們的邊長都是無理數(shù)，都可以在數(shù)軸上找到相對應(yīng)的點(diǎn)來表示.就是說，數(shù)軸上表示無理數(shù)的點(diǎn)也有“很多”，它和有理數(shù)一起共同布滿了整個數(shù)軸.正如課文內(nèi)容所表述的那樣：有理數(shù)和無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；反過來，數(shù)軸上的任意一點(diǎn)都表示一個有理數(shù)或無理數(shù).

“數(shù)軸”上并非有理數(shù)“多于”無理數(shù).我們?nèi)粢匀我挥欣睃c(diǎn)為起點(diǎn)，向右移動與以單位長為邊所作的正方形對角線等長的距離，就可以得到和所有有理點(diǎn)“一樣多”的無理點(diǎn).但是，我們還可以找出任意多的其他無理點(diǎn)，如以1與2分別為長和寬作一個矩形，其對角線的長為距離的點(diǎn)就是一個無理點(diǎn)，這樣的點(diǎn)還可以按照這種辦法找出很多.每找出這樣一個無理點(diǎn)，又可以再產(chǎn)生與有理點(diǎn)“一樣多”的無理點(diǎn).這就是說，在數(shù)軸上，并非有理數(shù)“多于”無理數(shù).

“數(shù)軸”上的點(diǎn)可以表示的數(shù)有兩類：一類是可以寫成分?jǐn)?shù)形式的有理數(shù)，另一類是形如圖3中的點(diǎn)A與圖4中的圓周率π所表示的無理數(shù)，即數(shù)軸上點(diǎn)可以表示有理數(shù)和無理數(shù)，表示有理數(shù)的點(diǎn)是稠密的，表述無理數(shù)的點(diǎn)也是稠密的，它們共同布滿了整個數(shù)軸.至此，有關(guān)“實(shí)數(shù)”意義的基本觀念已十分清晰地呈現(xiàn)在我們的面前.對這段教材內(nèi)容的分析，啟示我們的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)關(guān)注這樣幾點(diǎn)：

1.計(jì)算無理數(shù)值的一般思想，是用有理數(shù)逐步逼近的.

2.從有理數(shù)出發(fā)，用作圖的方法可以得到龐大的無理數(shù)家族.有一個無理數(shù)a，就可以造出無窮多個無理數(shù)來，如2a，a+2等；有一個無理數(shù)π，同樣可以造出無窮多個無理數(shù)來.這些無理數(shù)不過是龐大無理數(shù)家族中小小的一支而已.

3.用“作圖”的方法在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點(diǎn)，表明兩層意思：一是這種“實(shí)驗(yàn)”是在想象中做的、是設(shè)想著做的、是在思想中進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)，在數(shù)學(xué)中，我們常常使用思想實(shí)驗(yàn)；二是這樣的點(diǎn)只是示意性的，其示意性突出表現(xiàn)在無理數(shù)形成的內(nèi)在機(jī)理的數(shù)量關(guān)系，隨著學(xué)習(xí)不斷深入，我們會逐漸明白這種示意圖的準(zhǔn)確意義.

1.楊裕前，董林偉.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)·七年級上冊［M］.南京：江蘇科學(xué)技術(shù)出版社，2013.

2.王國生，張強(qiáng).中學(xué)數(shù)學(xué)里的數(shù)軸［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，1957（2）.

3.［英］洛克.人類理解論［M］.北京：商務(wù)印書館，2012.