一類帶階段結構的捕食-食餌擴散系統(tǒng)的穩(wěn)定性

曹懷火，李海燕，張永2，

CAO Huaihuo1，3,LI Haiyan3,ZHANG Yong2，3

1.陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院，西安710062

2.蘭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，蘭州730000

3.池州學院數(shù)學與計算機科學系，安徽池州247100

1.School of Mathematics and Information Science,Shaanxi Normal University,Xi’an 710062,China

2.School of Mathematics and Statistics,Lanzhou University,Lanzhou 730000,China

3.Department of Mathematics and Computer Science,Chizhou University,Chizhou,Anhui 247100,China

1 引言

文獻[1]討論了三次捕食者-食餌擴散系統(tǒng)：

解的整體性態(tài)，其中Ω是Rn(n≥1)中具有光滑邊界的有界區(qū)域，?η=?/?η，η是?Ω上的單位外法向量，u1(x，t)，u2(x，t)分別是食餌種群和捕食者種群的密度函數(shù)，擴散系數(shù)d1，d2及生命系數(shù)b3，b4，c，α，β都是正常數(shù)，b1非負，b2的符號不定，b1表示食餌種群的內(nèi)稟增長率，c是捕食者的凈死亡率，捕食者的生存依賴于食餌的生存狀況，b2u1-b3與βu2分別為食餌與捕食者的密度制約項，b4u1表示捕食者對食餌的捕食率，αu1表示食餌轉化為捕食者自身的增長率，ui0(x)(i=1，2)是非負且不恒為零的光滑函數(shù)。最近，文獻[2]討論了簡化反應項與邊界條件情形下系統(tǒng)：

平衡態(tài)正解的存在性。

本文著重研究如下帶有階段結構和空間擴散的三次捕食者-食餌模型：

非負平衡解的穩(wěn)定性，其中u1(x，t)，u2(x，t)分別是食餌種群的幼年種群和成年種群的密度函數(shù)，u3(x，t)是捕食者種群的密度函數(shù)，擴散系數(shù)d1，d2，d3及生命系數(shù)a0，a1，a3，k，b都是正常數(shù)，a2的符號不定，ui0(x)(i=1，2，3)是非負且不恒為零的光滑函數(shù)。模型詳細的生態(tài)學意義可參見文獻[3-9]。

2 平衡點分析

經(jīng)計算，式（1）有平凡平衡點O(0，0，0)；若a2＞0，，則有半平凡平衡點；若a2≤0，a1-a0＜0；或a2＞0，a1-a0≤0，則有半平凡平衡點：

若

或

或

則有唯一正平衡點：

其中δ2=(a2-k)2-4a3(a1-a0-kb)；若

則有兩個正平衡點，即

3 一致有界性

本章主要討論問題式（1）古典解的整體存在性和一致有界性。在建立問題式（1）的解關于時間一致的L∞(Ω)先驗估計時文獻[10]（Exercise 4 of Section 3.5）起重要作用，下面的定理表明了式（1）的解是整體存在和一致有界的。

定理3.1設(u1(x,t),u2(x,t)，u3(x，t))∈[C(Ωˉ×[0，T))∩C2，1(Ω×(0，T))]3是式（1）具初值ui(x，0)=ui0(x)≥(≠)0(i=1，2，3)的解，其中T是解的最大存在時間，則0＜ui(x，t)≤Mi(i=1，2，3)，t∈(0，T)，其中

證明注意到f1，f2，f3在R3上光滑，初值ui0(x)(i=1，2，3)是非負且不恒為零的光滑函數(shù)，由拋物型方程的強極值原理知，ui(x，t)＞0(i=1，2，3)，?t＞0。

下面將問題式（1）中前兩個方程兩邊分別在Ω上積分后線性組合，得

結合文獻[10]（Exercise 4 of Section3.5），得有兩個半平凡平衡點，即

又注意到：

則根據(jù)比較原理，可得：

顯然M1，M2，M3不依賴于T，從而式（1）的解(u1(x，t)，u2(x，t)，u3(x，t))在上是一致有界的，進而整體存在，這就完成了定理3.1的證明。

4 局部穩(wěn)定性

易知，對相應于反應擴散問題式（1）的常微分系統(tǒng)亦有相應的平衡點。由文獻[11]知，其相應的半平凡平衡點B32和正平衡點E32都是不穩(wěn)定的。注意到常微分系統(tǒng)的解是反應擴散問題式（1）的特解，所以對應常微分系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點B32，E32分別是相應反應擴散問題式（1）的不穩(wěn)定平衡點。

下面首先討論問題式（1）的正平衡點Ej(j=1，2，31)的局部穩(wěn)定性。設0=μ1＜μ2＜μ3＜…是齊次Neumann邊界條件下算子-Δ在Ω上的特征值，E(μi)是與特征值μi相應的H1(Ω)中的特征子空間。記X=[H1(Ω)]3，Xij={c·φji:c∈R3}，其中{φij;j=1，…，dim E(ui)}是E(μi)的一組正交基[12]，則

系統(tǒng)式（1）在Ej(j=1，2，31)處的線性化方程為ut=Lu。對于任意i≥1，Xi是算子L的不變子空間。λ是算子L在Xi上的特征值當且僅當λ是矩陣-μiD+Fu(Ej)的特征值。而-μiD+Fu(Ej)的特征方程為φi(λ)=λ3+Aiλ2+Biλ+Ci=0，其中

由Routh-Hurwitz準則知，它的每個特征值（記作λi，1，λi，2，λi，3）的實部為負的充要條件是Ai＞0，Ci＞0，Hi＞0，于是有

（1）當a2≤0時，注意到a11，a33＜0，a31＞0，所以它的每個特征值的實部為負的一個明顯的充分條件是a11+a0＜0。

（2）當a2＞0時，注意到a11＜0蘊涵于a11+a0＜0，所以它的每個特征值的實部為負的一個明顯的充分條件也是a11+a0＜0。

現(xiàn)將Ej(j=2，31)分別代入a11+a0＜0，得

定理4.1（1）設式（2）成立，且同時滿足下列條件之一：①則式（1）的唯一正平衡點E2局部漸近穩(wěn)定。（2）設式（2）成立，且同時滿足a2-k＞0，0＜a1-a0-kb＜，則式（1）的正平衡點E31局部漸近穩(wěn)定。

再討論問題式（1）的半平凡平衡點Bj(j=1，2，31)的局部穩(wěn)定性。類似上述方法，系統(tǒng)式（1）在Bj(j=1，2，31)處的線性化方程為：

其中

而-μiD+Fu(Bj)的特征方程為?i(λ)=λ3+Aiλ2+Biλ+Ci=0，其中

于是類似地可知，

（1）當a2≤0時，注意到a11＜0，所以它的每個特征值的實部為負的一個明顯的充分條件是a11+a0＜0，a33＜0。

（2）當a2＞0時，注意到a11＜0蘊涵于a11+a0＜0，所以它的每個特征值的實部為負的一個明顯的充分條件也是a11+a0＜0，a33＜0。

現(xiàn)將Bj(j=2，31)分別代入a11+a0＜0，a33＜0，得綜上所述并結合B2，31存在的充要條件，可得結論：

定理4.2（1）若滿足下述條件之一：

①a2≤0，a1-a0＜0且式（4）成立；的半平凡平衡點B2局部漸近穩(wěn)定。

最后討論問題式（1）的平凡平衡點O(0，0，0)的局部穩(wěn)定性。類似上述方法，系統(tǒng)式（1）在O(0，0，0)處的線性化方程為ut=Lu，L=DΔ+Fu(O)=DΔ+{aij}，其中

注意到a11＜0，a33＜0，所以它的每個特征值的實部為負的一個明顯的充分條件是a11+a0＜0，這等價于a0＜a1，進而有結論：

定理4.3若a0＜a1，則式（1）的平凡平衡點O(0，0，0)局部漸近穩(wěn)定。

5 全局穩(wěn)定性

本章通過構造Lyapunov函數(shù)討論問題式（1）的各個平衡點的全局漸近穩(wěn)定性，為此先引入下述引理（文獻[13]引理2.5.3的特殊情形）。

引理5.1設a，b為正常數(shù)，φ，?∈C1([a,∞))，?(t)≥0，?有下界。如果?′(t)≤-b?(t)，?′(t)≤K(?t≥a)，K為正常數(shù)，則

設(u1，u2，u3)是問題式（1）的唯一正解，由定理3.1知，存在與x∈，t≥0無關的正常數(shù)C，使得||ui(·，t)||∞≤C(i=1，2，3)，?t＞0。由文獻[14]中定理A2知，對?t0＞1有

其中α∈(0，1)，C是與t無關的正常數(shù)。

由定理3.1知，在初值取不恒為0的非負函數(shù)且t＞0時，問題式（1）的解是嚴格正函數(shù)，故E(t)對式（1）的任意正解有意義。對任意t＞0有E(t)≥0，且E(t)=0當且僅當u=u*。由式（1）得

注意到-a2+＞0等價于：故式（6）成立時，存在正常數(shù)，使得又由定理3.1知ui有界，由式（5）知的導數(shù)亦有界，從而由引理5.1得

仍由式（5）知?′(t)在[t0，∞)有界，t0＞0。由引理5.1知，當t→∞時?(t)→0，即由Pioncare不等式得：

由式（7），（8）得從而存在{tm}，當tm→∞時'(tm)→0。

另一方面：

由式（5）知，存在子列，仍記為{tm}和非負函數(shù)ωi∈C2()，使得

定理5.1設式（2），式（6）成立，且同時滿足下列條件之一：的正平衡點

則E(t)對式（1）的任意正解有意義。

故式（11）成立時，存在正常數(shù)：

使得

類似于定理5.1的證明，有：

定理5.2（1）設式（4），式（11）成立，且滿足下述條件之一：

最后討論式（1）的平凡平衡點O(0，0，0)的全局漸近穩(wěn)定性。定義Lyapunov泛函：

則E(t)對式（1）的任意正解有意義。

注意到a0＜a1，a2≤0時，存在正常數(shù)

進而有結論：

定理5.3若a0＜a1，a2≤0，則式（1）的平凡平衡點O(0，0，0)全局漸近穩(wěn)定。

6 結束語

本文考慮了一類食餌種群帶有階段結構的三次捕食者-食餌擴散模型解的穩(wěn)定性。文中通過建立關于時間一致的L∞(Ω)先驗估計得到模型正解的整體存在性，同時應用二階拋物型偏微分方程理論以及非線性分析方法得到模型非負平衡解的漸近穩(wěn)定性。

致謝第一作者對在陜西師范大學訪學期間得到導師吳建華教授悉心指點與幫助表示衷心的感謝。

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