基于K-SVD的星載GPS觀測數(shù)據(jù)壓縮方法

劉迎娜，趙里恒，李宏剛，董娟娟，李偉超

(航天恒星科技有限公司，北京 100095)

0 引言

隨著衛(wèi)星對地觀測技術(shù)的發(fā)展，低軌空間飛行器已應(yīng)用于資源遙感、大氣探測、重力場精化、地磁探測和海洋動力環(huán)境研究等領(lǐng)域，并且低軌飛行器大部分應(yīng)用領(lǐng)域，對衛(wèi)星軌道精度有較高要求，例如海洋測高衛(wèi)星TOPEX要求軌道徑向精度優(yōu)于 5cm[Melbourne,1994]等[1-2]，促使低軌空間飛行器精密定軌技術(shù)[3]得到快速發(fā)展。精密定軌技術(shù)需空間飛行器事先對星載GPS導(dǎo)航系統(tǒng)的觀測數(shù)據(jù)進行存儲，再分時下傳到測控站，考慮到星載GPS觀測數(shù)據(jù)存在數(shù)據(jù)量大的特點，為星載固存[4]的存儲資源增加負(fù)擔(dān)，提出了GPS觀測數(shù)據(jù)壓縮處理的工程應(yīng)用需求。

目前相關(guān)方面研究主要面向地面Rinex格式GPS觀測數(shù)據(jù)的壓縮[5-6]，根據(jù)數(shù)據(jù)中字符出現(xiàn)的冗余情況，對其進行熵編碼實現(xiàn)數(shù)據(jù)壓縮，為無損壓縮方法，此類方法對文本文件壓縮具有應(yīng)用優(yōu)勢，但對于星上實時產(chǎn)生的二進制GPS觀測數(shù)據(jù)時間序列，壓縮效果不明顯，且計算復(fù)雜度高，無法滿足在軌使用。除無損壓縮方法外，基于信號變換的有損壓縮方法在聲波、地震時間序列以及圖像等應(yīng)用研究中取得了顯著成果，該方法主要利用信號處理中存在某些頻率成分不敏感特征，允許壓縮過程中損失一定的信息，雖然不能完全恢復(fù)原始數(shù)據(jù)，但所損失的部分特征需不影響信號處理應(yīng)用，從而達到高的數(shù)據(jù)壓縮比(壓縮前數(shù)據(jù)量與壓縮后數(shù)據(jù)量的比值)，較為常用的方法有傅里葉變換、DCT變換以及小波變換等。星載GPS觀測數(shù)據(jù)屬于精密測量信息，在高壓縮比條件下使用上述方法，將大量丟失GPS觀測數(shù)據(jù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息，無法滿精密定軌處理要求。

信號稀疏表示理論在信號處理應(yīng)用中是一個非常引人關(guān)注的研究領(lǐng)域，其目的就是在給定的完備字典中用盡可能少的原子來表示信號，獲得信號更為簡潔的表示方式，利用信號的稀疏性，可實現(xiàn)信號壓縮應(yīng)用，并成功應(yīng)用于圖像[7-8]、地震[9]等數(shù)據(jù)壓縮。

本文對稀疏表示理論在GPS觀測數(shù)據(jù)的壓縮應(yīng)用進行研究，提出了基于K-SVD的GPS觀測數(shù)據(jù)壓縮方法。利用一個通過訓(xùn)練樣本訓(xùn)練獲得的K-SVD壓縮字典，對GPS觀測數(shù)據(jù)時間序列進行稀疏表示，并對表示系數(shù)中非零元素位置和數(shù)值進行存儲和傳輸，從而實現(xiàn)GPS觀測數(shù)據(jù)壓縮。

1 稀疏表示理論

通常，有限維空間RN中的一維離散信號y可以線性表示為：

y=Dξ

(1)

稀疏表示問題可分為稀疏編碼和字典學(xué)習(xí)兩部分。給定信號y和字典D，稀疏編碼就是尋找稀疏解ξ的過程，它可以表示為如式(2)所示的優(yōu)化問題：

(2)

式(2)為l0范數(shù)最小化問題，通常采用貪心算法近似求解該問題，如正交匹配追蹤[10](Orthogonal Matching Pursuit,OMP)。與稀疏編碼不同，字典學(xué)習(xí)用于估計基函數(shù)字典D。給定一個包含P個信號的訓(xùn)練樣本集合Y={yi|yi∈RN},1≤i≤P，字典可以通過求解公式(3)的優(yōu)化問題獲得。

(3)

其中：‖dk‖2=1，1≤k≤K；ξi為信號yi在字典D中線性表示的系數(shù)；S為ξi中非0元素的個數(shù)。

2 GPS觀測數(shù)據(jù)壓縮方法

星載GPS導(dǎo)航系統(tǒng)通過接收處理GPS L1、L2雙頻點導(dǎo)航信號[11-12]，計算獲取表征GPS導(dǎo)航接收機與GPS星座相對位置關(guān)系的偽距、載波相位等測量量，統(tǒng)稱為GPS觀測數(shù)據(jù)，如圖1所示。

圖1 低軌衛(wèi)星與GPS星座空間位置關(guān)系圖

那么GPS觀測數(shù)據(jù)組成的時間序列為描述GPS導(dǎo)航接收機與GPS星座之間相對運動關(guān)系的離散采樣信號，具體實例見圖2所示。

圖2 對GPS_ 25號星的偽距觀測數(shù)據(jù)時間序列

不同時間段對同一顆GPS星號、相同時間段對不同GPS星號的觀測數(shù)據(jù)時間序列的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相似、且簡單，存在信息冗余，能夠通過稀疏表達方式，實現(xiàn)GPS觀測數(shù)據(jù)時間序列壓縮。

具體壓縮流程如圖3所示。

圖3 GPS觀測數(shù)據(jù)時間序列壓縮方法框圖

2.1 訓(xùn)練樣本選取

將GPS觀測數(shù)據(jù)時間序列裁剪成短時長時間序列集Y={y1,y2,...,ym,...,yP}∈RN×P，作為字典學(xué)習(xí)樣本集合，其中ym={a1,a2,...,ai,...,aN}T∈RN×1，ai表示GPS觀測數(shù)據(jù)時間序列ym中第i個觀測點，具體裁剪實例如圖4～5所示。

圖4 時長為1 800 s的偽距觀測數(shù)據(jù)時間序列變化曲線

圖5 偽距組成的時間序列集合(N=200 s)

2.2 字典D初始化方法

主成分分析[13](PCA，principal component analysis)是基于變量協(xié)方差矩陣原理完成對信號的邏輯處理和特征提取的科學(xué)方法，同時也是一種最基本的數(shù)據(jù)降維方法，被廣泛用于圖像去燥[14]、圖像分類[15]等，同時也被用于數(shù)據(jù)處理中參數(shù)初始化操作，提高優(yōu)化處理收斂速度[16]。本文引用PCA方法初始化公式(3)中的矩陣D，將縮短最優(yōu)字典D的求解時間。

GPS觀測數(shù)據(jù)時間序列樣本集合Y={y1,y2,...,yP}∈RN×P為數(shù)據(jù)集合，通過優(yōu)化求解公式(4)目標(biāo)方程獲取主成分矩陣U=WTY。

maxWTYYTWs.t.WWT=1

(4)

需計算數(shù)據(jù)矩陣Y的協(xié)方差矩陣，對計算帶來困難，引入了奇異值分解(SVD,singular value decomposition)方法，即Y=UΣV。其中，V等價于PCA算法中W投影矩陣；U即為主成分矩陣；Σ為對角陣，表示Y投影到新坐標(biāo)系下的權(quán)值系數(shù)。

2.3 字典學(xué)習(xí)方法

K-SVD[17]是 K-均值聚類(K-means)的一般形式，通過字典更新、稀疏編碼交替應(yīng)用，實現(xiàn)對字典的自適應(yīng)調(diào)整。稀疏編碼過程，使用OMP編碼方法；字典更新過程使用奇異值分解(SVD)。

參數(shù)初始化：給定GPS觀測數(shù)據(jù)組成的時間序列數(shù)據(jù)集合Y={y1,y2,...,ym,...,yP}∈RN×P，對其進行主成分分析獲取主成分矩陣U，作為字典D(0)∈RN×K，最大迭代次數(shù)為Iter，稀疏編碼中非零個數(shù)懲罰項為S。

1)稀疏編碼階段，使用OMP對目標(biāo)函數(shù)公式(2)進行稀疏分解，得到稀疏系數(shù)矩陣ξ={ξi},i=1,2,...,P。

2)字典更新階段，固定稀疏系數(shù)矩陣ξ，逐列更新字典D中的原子。

(1)假定當(dāng)前正在更新的字典原子為dk，記Ik={i|ξi(k)≠0,1≤i≤P}，其中ξi(k)為ξi中的第k個元素，Ik表示全部訓(xùn)練樣本中用到原子dk的索引集；

(4)計算K次，對D所有原子更新一遍，獲得D(n+1)。

網(wǎng)絡(luò)課程資源建設(shè)和完善，不僅會為成人高等教育的學(xué)生提供優(yōu)質(zhì)的學(xué)習(xí)資源，還能夠補齊學(xué)校校外、課外學(xué)習(xí)資源的短板。它能夠全面覆蓋學(xué)生的自由學(xué)習(xí)時間，也能為廣大學(xué)生提供高質(zhì)量的教育和學(xué)習(xí)資源服務(wù)，為高校節(jié)約辦學(xué)成本。網(wǎng)絡(luò)課程資源必將以其便捷性、豐富性、自主性、個性化的服務(wù)，為廣大學(xué)生的專業(yè)學(xué)習(xí)和素質(zhì)拓展提供更加堅實的基礎(chǔ)和有力的保障。

3)終止條件判斷階段，令n=n+1，判斷是否滿足n>Iter，若滿足，停止迭代，否則，繼續(xù)執(zhí)行1)～3)。

2.4 GPS觀測數(shù)據(jù)壓縮

導(dǎo)航接收機積累N時長的GPS觀測數(shù)據(jù)時間序列后，使用K-SVD對其進行稀疏編碼，并將獲取表示系數(shù)中的非零數(shù)值、非零位置存儲到星上固存單元，達到GPS觀測數(shù)據(jù)壓縮目的，數(shù)據(jù)壓縮比近似為N與稀疏度S的比值。

3 實驗驗證

通過仿真軟件獲取理論GPS觀測數(shù)據(jù)時間序列，生成訓(xùn)練樣本集合，使用文中提到的方法訓(xùn)練獲得K-SVD字典。通過地面仿真，獲取不同軌道高度場景下雙頻GPS導(dǎo)航接收機生成的壓縮前/后觀測數(shù)據(jù)，對觀測數(shù)據(jù)重構(gòu)精度進行分析，并對比GPS觀測數(shù)據(jù)壓縮前后的數(shù)據(jù)質(zhì)量、精密定軌精度；同時引入實際在軌GPS觀測數(shù)據(jù)，對其進行壓縮重構(gòu)后精密定軌精度進行分析，檢驗方法的有效性。

3.1 壓縮字典獲取

3.1.1 參數(shù)設(shè)置

使用SimGEN軟件仿真獲取650 km軌道高度的無測量噪聲的星載GPS觀測數(shù)據(jù)，仿真軟件界面、軟件參數(shù)設(shè)置詳見表1所示。

表1 SimGEN軟件參數(shù)設(shè)置

將GPS觀測數(shù)據(jù)時間序列長度N設(shè)置為30 s；稀疏度S設(shè)置為4；字典迭代次數(shù)Iter設(shè)置為800。那么數(shù)據(jù)壓縮比即為ρ≈N/S≈7.0。

3.1.2 字典訓(xùn)練收斂性分析

對K-SVD壓縮字典進行迭代更新，并按照公式(5)評估字典優(yōu)化過程收斂情況。

(5)

通過誤差收斂曲線分析可知，使用PCA初始化壓縮字典后的第一次字典更新完成獲得的字典已具有高精度稀疏稀疏表達訓(xùn)練樣本的能力，經(jīng)過多次調(diào)整，最終在第600次迭代更新后完成收斂，獲得最優(yōu)K-SVD壓縮字典，如圖6所示。

圖6 K-SVD學(xué)習(xí)過程誤差收斂曲線

3.1.3 字典結(jié)構(gòu)分析

對K-SVD字典中的原子分別進行分析可知，訓(xùn)練獲取的K-SVD字典為表征信號運動規(guī)律(一次、二次、三次曲線變化規(guī)律)的基函數(shù)集合，與GPS觀測數(shù)據(jù)組成的時序信號內(nèi)在結(jié)構(gòu)信息一致，具體基函數(shù)變化規(guī)律如圖7所示。

圖7 字典中基函數(shù)變化曲線圖

隨機選擇100個測試樣本，按照不同稀疏度約束，使用K-SVD字典對其進行稀疏分解，按照公式(5)計算稀疏重構(gòu)誤差，具體誤差值如表2所示。

表2 重構(gòu)誤差統(tǒng)計表

由表可知，當(dāng)稀疏度>4時，稀疏表達精度無明顯提升，因此GPS觀測數(shù)據(jù)時序信號在上述訓(xùn)練獲取的K-SVD字典中是稀疏的，且稀疏度為4。

稀疏度固定后，相應(yīng)壓縮比將固定。實際工程應(yīng)用中，雙頻GPS接收機每秒產(chǎn)生560字節(jié)的GPS觀測數(shù)據(jù)，使用K-SVD字典稀疏表達方式，可對連續(xù)觀測24小時共48.38兆字節(jié)觀測數(shù)據(jù)壓縮到6.912兆字節(jié)，具有顯著的壓縮效果。

3.2 地面設(shè)備仿真驗證

使用雙頻GPS導(dǎo)航系統(tǒng)、思博倫GPS信號模擬源、上述訓(xùn)練獲取的K-SVD壓縮字典以及4種不同軌道高度的軌道參數(shù)等，開展地面仿真測試。

具體仿真軌道參數(shù)如表4所示。

表4 仿真軌道信息

3.2.1 重構(gòu)精度分析

考慮到信號處理射頻電路中帶電粒子的熱運動形成熱噪聲等，雙頻GPS接收機實際觀測的GPS數(shù)據(jù)中將存在噪聲，使用K-SVD字典對其進行壓縮重構(gòu)，重構(gòu)誤差將大于字典學(xué)習(xí)誤差收斂值，但重構(gòu)誤差需控制在<5 cm范圍內(nèi)，才可滿足厘米級精密定軌應(yīng)用需求。

對實驗獲取的L1、L2載波相位測量數(shù)據(jù)重構(gòu)精度進行分析，使用相同的K-SVD壓縮字典對不同軌道高度GPS觀測數(shù)據(jù)壓縮后的重構(gòu)誤差均<5 cm，壓縮重構(gòu)后數(shù)據(jù)滿足厘米級精密定軌要求，具體詳見圖8～11所示。

圖8 ZIYUAN 3-1載波相位測量值壓縮重構(gòu)精度

圖9 HAIYANG-2A載波相位測量值壓縮重構(gòu)精度

圖10 GAOFEN 2載波相位測量值壓縮重構(gòu)精度

圖11 ZIYUAN1-02C載波相位測量值壓縮重構(gòu)精度

3.2.2 觀測數(shù)據(jù)質(zhì)量分析

使用偽距相位差(code minus phase combination ，CC)組合法[18]評估壓縮前后GPS觀測數(shù)據(jù)的噪聲水平，可知相同K-SVD字典壓縮重構(gòu)出的不同軌道高度GPS觀測數(shù)據(jù)的噪聲水平均明顯低于壓縮前GPS觀測數(shù)據(jù)，說明K-SVD字典在GPS觀測數(shù)據(jù)壓縮應(yīng)用中表現(xiàn)出顯著的降噪效果，具體詳見圖12～15所示。

圖12 ZIYUAN 3-1軌道GPS觀測數(shù)據(jù)質(zhì)量

3.2.3 精密定軌處理仿真

使用精密定軌技術(shù)[3]，對GPS觀測數(shù)據(jù)進行精密定軌處理，并與理論軌道做差，獲取X、Y、Z軸方向的軌道位置誤差，誤差曲線的標(biāo)準(zhǔn)差統(tǒng)計即為精密定軌精度。

通過精密定軌處理分析可知，使用K-SVD字典壓縮后GPS觀測數(shù)據(jù)的精密定軌精度優(yōu)于壓縮前觀測數(shù)據(jù)，具體精密定軌精度比對如表5所示，精密定軌誤差曲線圖如圖16～19所示。主要由于K-SVD字典的壓縮方法，可通過降低GPS觀測數(shù)據(jù)的噪聲水平提升了觀測數(shù)據(jù)的質(zhì)量，從而提升了精密定軌精度。

表5 精密定軌誤差結(jié)果(軌道仿真) m

具體精密定軌精度曲線見圖16～19所示。

圖13 HAIYANG-2A軌道GPS觀測數(shù)據(jù)質(zhì)量

圖14 GAOFEN 2軌道GPS觀測數(shù)據(jù)質(zhì)量

圖15 ZIYUAN1-02C軌道GPS觀測數(shù)據(jù)質(zhì)量

圖16 ZIYUAN 3-1精密定軌精度

圖17 HAIYANG-2A精密定軌精度

圖18 GAOFEN 2精密定軌精度

圖19 ZIYUAN1-02C精密定軌精度

3.3 在軌實測GPS觀測數(shù)據(jù)壓縮效果驗證分析

對資源一號02D衛(wèi)星[19]下傳到地面的GPS觀測數(shù)據(jù)進行壓縮重構(gòu)試驗，并對其進行精密定軌處理，計算壓縮前后精密定軌數(shù)據(jù)差值可知，壓縮后與壓縮前相比X方向軌道位置相差0.014 6 m、Y方向軌道位置相差0.021 8 m、Z方向軌道位置相差0.011 2 m，具體詳見圖20所示。

圖20 資源一號02D衛(wèi)星在軌數(shù)據(jù)壓縮后觀測數(shù)據(jù)精密定軌精度

通過對在軌實測數(shù)據(jù)進行壓縮前后精密定軌結(jié)果進行比對(誤差≤0.022 m)，可說明壓縮后觀測數(shù)據(jù)重構(gòu)精度高，使得壓縮前后精密定軌結(jié)果相差較小。因此，文章提出的壓縮方法可實際在軌應(yīng)用。

4 結(jié)束語

通過實驗仿真，文中提到的壓縮方法能夠?qū)Σ煌壍栏叨鹊牡蛙壭l(wèi)星GPS觀測數(shù)據(jù)進行高壓縮比壓縮，壓縮比可達到7.0，并且能夠降低觀測數(shù)據(jù)的觀測噪聲，從而提升精密定軌精度。

由于星載GPS觀測數(shù)據(jù)不僅可以應(yīng)用于精密定軌，還有相對定位、大氣層厚度反演[20]、土壤濕度反演等工程應(yīng)用，而文中只針對精密定軌應(yīng)用進行了實驗仿真，后續(xù)將針對其他應(yīng)用進行研究。