挖掘錯例原型 促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展

王洪剛

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的錯誤是普遍的和必然的。錯誤有時候是學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生自己特有的概念與程式造成的，也與教師在教學(xué)活動中的引導(dǎo)有關(guān)。筆者以教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》時遇到的錯題為例，且行且思，獲得了一些感受與大家分享。

【案例1】把12米的繩子平均分成5段，每段是幾分之幾米？每段是總長的幾分之幾？3米是這段繩子的幾分之幾？

在分?jǐn)?shù)的意義練習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的錯誤：（1）學(xué)生搞不清兩類問題（求某個數(shù)量和求兩者之間的關(guān)系）的不同。如把問題1做成1÷5=米。（2）兩個數(shù)量比較的時候找不準(zhǔn)比較的量。如把問題3做成3÷5=，問題出在哪里呢？經(jīng)過分析研究，其實問題的根源在于我們教學(xué)時沒有講清楚分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義。教材中的定義為：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)。這樣定義的好處是直觀，明白易懂，強(qiáng)調(diào)了“平均分”，特別是對“幾分之幾”做了準(zhǔn)確說明，對理解以后的分?jǐn)?shù)運算也有重要的價值。但是用份數(shù)定義分?jǐn)?shù)，也有一些問題。首先一份或幾份的說法，沒有超出自然數(shù)的范圍，沒有顯示出這是一種新的數(shù)。其次，分?jǐn)?shù)表示的是一個整體平均分之后，其中的一份或幾份，選擇的素材和呈現(xiàn)的情境局限在整體和部分單一的緯度上。另外從書本上的例題來看，分?jǐn)?shù)意義的獲得來源于分東西的活動，學(xué)生往往從切分的生活情景直接跳躍到純粹的數(shù)學(xué)概念，沒有經(jīng)驗支撐的抽象水平，學(xué)生個體接受數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在結(jié)構(gòu)就會不穩(wěn)定。那么分?jǐn)?shù)的本質(zhì)究竟是什么？有人認(rèn)為其本質(zhì)意義是它的無量綱性，其意義在于可以把事物許多不可比的狀態(tài)變?yōu)榭杀鹊臓顟B(tài)。但是我們不能忘了分?jǐn)?shù)同時具有量綱性，即可以表示具體的數(shù)量。缺乏兩者的比較，就會出現(xiàn)案例1中出現(xiàn)的問題。

分?jǐn)?shù)的意義可以從自然數(shù)除法的推廣中去理解。在低年級數(shù)學(xué)課上，6個月餅平均分成3份，得到有確定大小的兩塊。但對于這個月餅平均分成3份應(yīng)該得到什么，依除法的意義，應(yīng)該看作1÷3所得的商?？墒沁@種除數(shù)大，被除數(shù)小的除法，如果運用以前的知識就成了解決不了的問題，于是“分?jǐn)?shù)”這個新朋友就閃亮登場了，突出了數(shù)系擴(kuò)張的本質(zhì)。用分?jǐn)?shù)的商的定義去解決案例1的問題，效果很好。如問題1可以這樣解答：12÷5=（米），問題2可以這樣解答：1÷5=，問題3可以這樣解答：3÷12=。因此，分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義可作為教學(xué)起點，但是不宜過分強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該迅速向更熟悉的除法轉(zhuǎn)移。

【案例2】在下面的直線上標(biāo)出。

[0 1 2 3][]

很多學(xué)生將的點標(biāo)在這條直線上的這個位置。很明顯，學(xué)生把所對應(yīng)的“單位1”的量弄錯了，可能是學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受到的整體的思維定勢太強(qiáng)了，把近乎整條直線看作“單位1”。所以引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟“單位1”的含義至關(guān)重要。

首先，教學(xué)中要注重“單位1”的認(rèn)識和擴(kuò)展。在“單位1”的引入部分，由自然數(shù)1到“單位1”，對于學(xué)生來說，那需要一個過程。一支筆，一個人，可以用數(shù)字1來表示。很多支粉筆裝成的一盒粉筆，很多個學(xué)生組成的一個班級也可以用1來表示。這里需要超越和突破。同樣3個蘋果能看作1嗎？一旦把3個看作“單位1”，通常這時的6個蘋果就不能再看作6了，該用哪個數(shù)字來表示呢？6個里面有2個這樣的單位，只能是“2”了，9個蘋果里有3個這樣的單位，就是“3”。這個過程中3個蘋果所構(gòu)成的“1”其實已經(jīng)成為一個計量單位，這樣引出“單位1”的概念很自然。如果有一個蘋果，應(yīng)該怎樣表示呢？這里可以發(fā)揮分?jǐn)?shù)份數(shù)定義的作用，用來表示。這樣就很好地溝通了分?jǐn)?shù)與自然數(shù)之間的聯(lián)系，并使學(xué)生在結(jié)構(gòu)性框架中獲得這樣的認(rèn)識：無論整數(shù)、分?jǐn)?shù)其實都是以“單位1”作標(biāo)準(zhǔn)計量的結(jié)果；如果包含若干個單位“1”，則可以用整數(shù)來表示；如果不是整個單位“1”的，則可根據(jù)把單位“1”平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)，用分?jǐn)?shù)來表示。

其次，利用數(shù)線認(rèn)識分?jǐn)?shù)。是把一個“單位1”平均分成3份中的一份，但是這一份到底有多大呢？1除以3的商有多大？它一定比1小，卻一定大于0。我們可以在數(shù)射線上的0和1之間的線段平均分成3份，距離0一份的位置的地方就是，就在0和1之間中間的一點，在0和之間再分一半的位置就是……這樣一畫，分?jǐn)?shù)是新的數(shù)的特性就清楚地表現(xiàn)出來了，原來自然數(shù)離散地分布在數(shù)射線上，現(xiàn)在分?jǐn)?shù)密密麻麻填寫在數(shù)線上。在研究分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義時，張奠宙先生指出：“分?jǐn)?shù)是相對于整體‘1而言的。在數(shù)線上0和1之間，標(biāo)出相等的若干等份，乃是認(rèn)識分?jǐn)?shù)關(guān)鍵的一步，及早進(jìn)行，十分重要?！睌?shù)線是一個半抽象模型，它是“圓模型”和其他平面模型的“再抽象”，可以充當(dāng)分?jǐn)?shù)的“份數(shù)模型”向“除法的商”定義過渡的幾何載體。這也是數(shù)軸的雛形，正確應(yīng)用可為今后學(xué)習(xí)數(shù)軸打下基礎(chǔ)。

從以上學(xué)生錯例看來，數(shù)學(xué)課堂需要老師用數(shù)學(xué)學(xué)科知識的結(jié)構(gòu)和思維引領(lǐng)課堂教學(xué)，深入挖掘新知識本質(zhì)與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的切入點，采取有效措施，從源頭上切斷學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，促進(jìn)學(xué)生知識的順利融合和吸納。endprint

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的錯誤是普遍的和必然的。錯誤有時候是學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生自己特有的概念與程式造成的，也與教師在教學(xué)活動中的引導(dǎo)有關(guān)。筆者以教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》時遇到的錯題為例，且行且思，獲得了一些感受與大家分享。

【案例1】把12米的繩子平均分成5段，每段是幾分之幾米？每段是總長的幾分之幾？3米是這段繩子的幾分之幾？

在分?jǐn)?shù)的意義練習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的錯誤：（1）學(xué)生搞不清兩類問題（求某個數(shù)量和求兩者之間的關(guān)系）的不同。如把問題1做成1÷5=米。（2）兩個數(shù)量比較的時候找不準(zhǔn)比較的量。如把問題3做成3÷5=，問題出在哪里呢？經(jīng)過分析研究，其實問題的根源在于我們教學(xué)時沒有講清楚分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義。教材中的定義為：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)。這樣定義的好處是直觀，明白易懂，強(qiáng)調(diào)了“平均分”，特別是對“幾分之幾”做了準(zhǔn)確說明，對理解以后的分?jǐn)?shù)運算也有重要的價值。但是用份數(shù)定義分?jǐn)?shù)，也有一些問題。首先一份或幾份的說法，沒有超出自然數(shù)的范圍，沒有顯示出這是一種新的數(shù)。其次，分?jǐn)?shù)表示的是一個整體平均分之后，其中的一份或幾份，選擇的素材和呈現(xiàn)的情境局限在整體和部分單一的緯度上。另外從書本上的例題來看，分?jǐn)?shù)意義的獲得來源于分東西的活動，學(xué)生往往從切分的生活情景直接跳躍到純粹的數(shù)學(xué)概念，沒有經(jīng)驗支撐的抽象水平，學(xué)生個體接受數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在結(jié)構(gòu)就會不穩(wěn)定。那么分?jǐn)?shù)的本質(zhì)究竟是什么？有人認(rèn)為其本質(zhì)意義是它的無量綱性，其意義在于可以把事物許多不可比的狀態(tài)變?yōu)榭杀鹊臓顟B(tài)。但是我們不能忘了分?jǐn)?shù)同時具有量綱性，即可以表示具體的數(shù)量。缺乏兩者的比較，就會出現(xiàn)案例1中出現(xiàn)的問題。

分?jǐn)?shù)的意義可以從自然數(shù)除法的推廣中去理解。在低年級數(shù)學(xué)課上，6個月餅平均分成3份，得到有確定大小的兩塊。但對于這個月餅平均分成3份應(yīng)該得到什么，依除法的意義，應(yīng)該看作1÷3所得的商?？墒沁@種除數(shù)大，被除數(shù)小的除法，如果運用以前的知識就成了解決不了的問題，于是“分?jǐn)?shù)”這個新朋友就閃亮登場了，突出了數(shù)系擴(kuò)張的本質(zhì)。用分?jǐn)?shù)的商的定義去解決案例1的問題，效果很好。如問題1可以這樣解答：12÷5=（米），問題2可以這樣解答：1÷5=，問題3可以這樣解答：3÷12=。因此，分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義可作為教學(xué)起點，但是不宜過分強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該迅速向更熟悉的除法轉(zhuǎn)移。

【案例2】在下面的直線上標(biāo)出。

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很多學(xué)生將的點標(biāo)在這條直線上的這個位置。很明顯，學(xué)生把所對應(yīng)的“單位1”的量弄錯了，可能是學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受到的整體的思維定勢太強(qiáng)了，把近乎整條直線看作“單位1”。所以引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟“單位1”的含義至關(guān)重要。

首先，教學(xué)中要注重“單位1”的認(rèn)識和擴(kuò)展。在“單位1”的引入部分，由自然數(shù)1到“單位1”，對于學(xué)生來說，那需要一個過程。一支筆，一個人，可以用數(shù)字1來表示。很多支粉筆裝成的一盒粉筆，很多個學(xué)生組成的一個班級也可以用1來表示。這里需要超越和突破。同樣3個蘋果能看作1嗎？一旦把3個看作“單位1”，通常這時的6個蘋果就不能再看作6了，該用哪個數(shù)字來表示呢？6個里面有2個這樣的單位，只能是“2”了，9個蘋果里有3個這樣的單位，就是“3”。這個過程中3個蘋果所構(gòu)成的“1”其實已經(jīng)成為一個計量單位，這樣引出“單位1”的概念很自然。如果有一個蘋果，應(yīng)該怎樣表示呢？這里可以發(fā)揮分?jǐn)?shù)份數(shù)定義的作用，用來表示。這樣就很好地溝通了分?jǐn)?shù)與自然數(shù)之間的聯(lián)系，并使學(xué)生在結(jié)構(gòu)性框架中獲得這樣的認(rèn)識：無論整數(shù)、分?jǐn)?shù)其實都是以“單位1”作標(biāo)準(zhǔn)計量的結(jié)果；如果包含若干個單位“1”，則可以用整數(shù)來表示；如果不是整個單位“1”的，則可根據(jù)把單位“1”平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)，用分?jǐn)?shù)來表示。

其次，利用數(shù)線認(rèn)識分?jǐn)?shù)。是把一個“單位1”平均分成3份中的一份，但是這一份到底有多大呢？1除以3的商有多大？它一定比1小，卻一定大于0。我們可以在數(shù)射線上的0和1之間的線段平均分成3份，距離0一份的位置的地方就是，就在0和1之間中間的一點，在0和之間再分一半的位置就是……這樣一畫，分?jǐn)?shù)是新的數(shù)的特性就清楚地表現(xiàn)出來了，原來自然數(shù)離散地分布在數(shù)射線上，現(xiàn)在分?jǐn)?shù)密密麻麻填寫在數(shù)線上。在研究分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義時，張奠宙先生指出：“分?jǐn)?shù)是相對于整體‘1而言的。在數(shù)線上0和1之間，標(biāo)出相等的若干等份，乃是認(rèn)識分?jǐn)?shù)關(guān)鍵的一步，及早進(jìn)行，十分重要?！睌?shù)線是一個半抽象模型，它是“圓模型”和其他平面模型的“再抽象”，可以充當(dāng)分?jǐn)?shù)的“份數(shù)模型”向“除法的商”定義過渡的幾何載體。這也是數(shù)軸的雛形，正確應(yīng)用可為今后學(xué)習(xí)數(shù)軸打下基礎(chǔ)。

從以上學(xué)生錯例看來，數(shù)學(xué)課堂需要老師用數(shù)學(xué)學(xué)科知識的結(jié)構(gòu)和思維引領(lǐng)課堂教學(xué)，深入挖掘新知識本質(zhì)與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的切入點，采取有效措施，從源頭上切斷學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，促進(jìn)學(xué)生知識的順利融合和吸納。endprint

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生的錯誤是普遍的和必然的。錯誤有時候是學(xué)生在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生自己特有的概念與程式造成的，也與教師在教學(xué)活動中的引導(dǎo)有關(guān)。筆者以教學(xué)《分?jǐn)?shù)的意義》時遇到的錯題為例，且行且思，獲得了一些感受與大家分享。

【案例1】把12米的繩子平均分成5段，每段是幾分之幾米？每段是總長的幾分之幾？3米是這段繩子的幾分之幾？

在分?jǐn)?shù)的意義練習(xí)中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的錯誤：（1）學(xué)生搞不清兩類問題（求某個數(shù)量和求兩者之間的關(guān)系）的不同。如把問題1做成1÷5=米。（2）兩個數(shù)量比較的時候找不準(zhǔn)比較的量。如把問題3做成3÷5=，問題出在哪里呢？經(jīng)過分析研究，其實問題的根源在于我們教學(xué)時沒有講清楚分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義。教材中的定義為：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)。這樣定義的好處是直觀，明白易懂，強(qiáng)調(diào)了“平均分”，特別是對“幾分之幾”做了準(zhǔn)確說明，對理解以后的分?jǐn)?shù)運算也有重要的價值。但是用份數(shù)定義分?jǐn)?shù)，也有一些問題。首先一份或幾份的說法，沒有超出自然數(shù)的范圍，沒有顯示出這是一種新的數(shù)。其次，分?jǐn)?shù)表示的是一個整體平均分之后，其中的一份或幾份，選擇的素材和呈現(xiàn)的情境局限在整體和部分單一的緯度上。另外從書本上的例題來看，分?jǐn)?shù)意義的獲得來源于分東西的活動，學(xué)生往往從切分的生活情景直接跳躍到純粹的數(shù)學(xué)概念，沒有經(jīng)驗支撐的抽象水平，學(xué)生個體接受數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在結(jié)構(gòu)就會不穩(wěn)定。那么分?jǐn)?shù)的本質(zhì)究竟是什么？有人認(rèn)為其本質(zhì)意義是它的無量綱性，其意義在于可以把事物許多不可比的狀態(tài)變?yōu)榭杀鹊臓顟B(tài)。但是我們不能忘了分?jǐn)?shù)同時具有量綱性，即可以表示具體的數(shù)量。缺乏兩者的比較，就會出現(xiàn)案例1中出現(xiàn)的問題。

分?jǐn)?shù)的意義可以從自然數(shù)除法的推廣中去理解。在低年級數(shù)學(xué)課上，6個月餅平均分成3份，得到有確定大小的兩塊。但對于這個月餅平均分成3份應(yīng)該得到什么，依除法的意義，應(yīng)該看作1÷3所得的商?？墒沁@種除數(shù)大，被除數(shù)小的除法，如果運用以前的知識就成了解決不了的問題，于是“分?jǐn)?shù)”這個新朋友就閃亮登場了，突出了數(shù)系擴(kuò)張的本質(zhì)。用分?jǐn)?shù)的商的定義去解決案例1的問題，效果很好。如問題1可以這樣解答：12÷5=（米），問題2可以這樣解答：1÷5=，問題3可以這樣解答：3÷12=。因此，分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義可作為教學(xué)起點，但是不宜過分強(qiáng)調(diào)，應(yīng)該迅速向更熟悉的除法轉(zhuǎn)移。

【案例2】在下面的直線上標(biāo)出。

[0 1 2 3][]

很多學(xué)生將的點標(biāo)在這條直線上的這個位置。很明顯，學(xué)生把所對應(yīng)的“單位1”的量弄錯了，可能是學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受到的整體的思維定勢太強(qiáng)了，把近乎整條直線看作“單位1”。所以引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟“單位1”的含義至關(guān)重要。

首先，教學(xué)中要注重“單位1”的認(rèn)識和擴(kuò)展。在“單位1”的引入部分，由自然數(shù)1到“單位1”，對于學(xué)生來說，那需要一個過程。一支筆，一個人，可以用數(shù)字1來表示。很多支粉筆裝成的一盒粉筆，很多個學(xué)生組成的一個班級也可以用1來表示。這里需要超越和突破。同樣3個蘋果能看作1嗎？一旦把3個看作“單位1”，通常這時的6個蘋果就不能再看作6了，該用哪個數(shù)字來表示呢？6個里面有2個這樣的單位，只能是“2”了，9個蘋果里有3個這樣的單位，就是“3”。這個過程中3個蘋果所構(gòu)成的“1”其實已經(jīng)成為一個計量單位，這樣引出“單位1”的概念很自然。如果有一個蘋果，應(yīng)該怎樣表示呢？這里可以發(fā)揮分?jǐn)?shù)份數(shù)定義的作用，用來表示。這樣就很好地溝通了分?jǐn)?shù)與自然數(shù)之間的聯(lián)系，并使學(xué)生在結(jié)構(gòu)性框架中獲得這樣的認(rèn)識：無論整數(shù)、分?jǐn)?shù)其實都是以“單位1”作標(biāo)準(zhǔn)計量的結(jié)果；如果包含若干個單位“1”，則可以用整數(shù)來表示；如果不是整個單位“1”的，則可根據(jù)把單位“1”平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)，用分?jǐn)?shù)來表示。

其次，利用數(shù)線認(rèn)識分?jǐn)?shù)。是把一個“單位1”平均分成3份中的一份，但是這一份到底有多大呢？1除以3的商有多大？它一定比1小，卻一定大于0。我們可以在數(shù)射線上的0和1之間的線段平均分成3份，距離0一份的位置的地方就是，就在0和1之間中間的一點，在0和之間再分一半的位置就是……這樣一畫，分?jǐn)?shù)是新的數(shù)的特性就清楚地表現(xiàn)出來了，原來自然數(shù)離散地分布在數(shù)射線上，現(xiàn)在分?jǐn)?shù)密密麻麻填寫在數(shù)線上。在研究分?jǐn)?shù)的本質(zhì)意義時，張奠宙先生指出：“分?jǐn)?shù)是相對于整體‘1而言的。在數(shù)線上0和1之間，標(biāo)出相等的若干等份，乃是認(rèn)識分?jǐn)?shù)關(guān)鍵的一步，及早進(jìn)行，十分重要?！睌?shù)線是一個半抽象模型，它是“圓模型”和其他平面模型的“再抽象”，可以充當(dāng)分?jǐn)?shù)的“份數(shù)模型”向“除法的商”定義過渡的幾何載體。這也是數(shù)軸的雛形，正確應(yīng)用可為今后學(xué)習(xí)數(shù)軸打下基礎(chǔ)。

從以上學(xué)生錯例看來，數(shù)學(xué)課堂需要老師用數(shù)學(xué)學(xué)科知識的結(jié)構(gòu)和思維引領(lǐng)課堂教學(xué)，深入挖掘新知識本質(zhì)與學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的切入點，采取有效措施，從源頭上切斷學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，促進(jìn)學(xué)生知識的順利融合和吸納。endprint