電磁場能量守恒研究

戴國平

南通農(nóng)業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 （南通 226007）

在人類生活的物質(zhì)空間中，電磁場是一種切實存在的具有特殊電磁性能的物質(zhì)，在空間電磁場內(nèi)部能夠通過能力轉(zhuǎn)換作用而形成電磁場的內(nèi)部運(yùn)動，這種運(yùn)動既有個性又存在共性，所謂個性就是指某一個帶電物體能夠在電磁場中進(jìn)行運(yùn)動；而所謂的共性就是指電磁場的運(yùn)動和其他物質(zhì)的運(yùn)動之間能夠發(fā)生相互的轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化我們通常稱為能量轉(zhuǎn)化，而在這種能量轉(zhuǎn)化的過程中是否遵循某種定律一直是物理學(xué)家們所研究的重要內(nèi)容。經(jīng)過長期的研究，人們最終發(fā)現(xiàn)這些能量無論怎么轉(zhuǎn)化，其總量總是不變的，因此人們就稱這種規(guī)律為能量守恒定律。本文將會通過對能量守恒和動量守恒兩種規(guī)律出發(fā)來研究帶電體在電磁場中發(fā)生旋轉(zhuǎn)的基本原理，并且通過嚴(yán)格計算來進(jìn)行驗證。

1 物理實例

為了能夠使整個電磁場能量守恒分析過程變得更加直觀、生動，我們在進(jìn)行分析之前先來引入一個物理實例，通過這個空間電磁場中的物理現(xiàn)象來加深分析的可信性。該物理實例的描述如下：假設(shè)一個質(zhì)量均勻分布的表面帶點球殼，該球殼的半徑為r，表面電荷均勻分布并且?guī)щ娏繛閝，下面我們提出兩個思考問題：第一，如果通過設(shè)置，使這個帶點球殼能夠在空間中以自身的垂直軸線為參考進(jìn)行自由轉(zhuǎn)動，并且轉(zhuǎn)動的角速度為ω，那么該帶電球殼內(nèi)外的電磁場是如何分布的；第二，假設(shè)從某一時刻開始，在外力矩的作用下，這個帶電球殼會在進(jìn)行一個角加速度為繞垂直中軸轉(zhuǎn)動，那么需要多大的外力矩Mw以及功率 Pw。

上述這個物理實例中，這個帶電球殼所帶的電荷是在其外表面均勻分布的，因此，這個球殼的電偶極矩P和電四極矩均為零，并且不存在電四極和電偶極輻射。設(shè)該帶電球殼的角加速度β足夠小，這樣就會使球殼內(nèi)表面所產(chǎn)生的磁矩維持在一個穩(wěn)定值上，忽略磁偶極輻射的作用。同時，再起轉(zhuǎn)動中所流過的電流中假設(shè)不存在推遲效應(yīng)，其外表面電荷能夠瞬間均勻分布。

下面我們就這個實例的第一個問題進(jìn)行分析：將該帶電球殼垂直方向的中軸作為極軸，見圖1。

根據(jù)電流密度計算公式可以計算出該球殼外表面上的電流密度，計算公式如下：

利用矢量A、磁標(biāo)量m?來求球殼外表面磁場分布的公式如下所示：

通過高斯定理來求球殼內(nèi)外庫侖場的公式如下：

對于第二個問題的分析如下：根據(jù)式（2）可知，當(dāng)帶電球殼以均勻角加速度β進(jìn)行轉(zhuǎn)動時，B將會隨著ω=βt的增大而增強(qiáng)；根據(jù)B的軸對稱分布特性，Eg將只會是?分量，即： Eg=E?(r, θ )e?。

由以上物理實例中的問題分析可知，通過電磁場中能量守恒定律能夠基本解釋一些電磁場中的電磁物理現(xiàn)象，下面我們首先介紹一下電磁場動量守恒定律，之后分析一下電磁場的能量守恒定律。

2 角動量守恒

在電磁場中同時存在著能量、動量以及角動量，這些矢量是能夠通過轉(zhuǎn)換，變?yōu)樾碌哪芰俊恿亢徒莿恿浚@種能量轉(zhuǎn)換也是電磁場最基本的特性，在對電磁場的研究中，角動量轉(zhuǎn)換是一個具有重要實際意義的研究方向。從目前研究的成果來看，角動量在能量轉(zhuǎn)換和能量守恒之中的重要研究價值已經(jīng)被人們所關(guān)注，并且進(jìn)行了深入的研究，下面將通過對經(jīng)典電磁場能量理論的基礎(chǔ)上，對角動量守恒進(jìn)行分析和研究。

2.1 無外力矩作用的角動量守恒

在無外力矩作用的情況下，電磁場的角動量守恒定律公式為：

式中mL表示在區(qū)域V中帶電體系的機(jī)械角動量；(-T×r)表示角動量密度張量。

公式（6）是V所在電磁場作用力矩的計算公式；

公式（7）中的V就表示角動量，其中g(shù)由g=ε0E×B表示；

公式（8）是密度張量的計算公式，式中I表示單位張量，在以上公式推動中，公式（5）所代表的物理意義是：在空間電磁場中，S曲面中每秒流過的角動量在數(shù)量上等于該區(qū)域內(nèi)帶電體系的機(jī)械角動量加上該區(qū)域上角動量的改變率。由此我們就進(jìn)行完了對無外力矩作用的角動量守恒的分析過程。下面我們根據(jù)該分析方法對有外力矩作用的情況進(jìn)行分析。

2.2 有外力矩作用的角動量守恒

假設(shè)作用的外力矩為WM ，可以將公式（5）改寫為以下形式：

公式（9）所表示的物理意義為：S曲面中每秒流過的角動量和外力矩每秒流過的角動量之和，等于S區(qū)域內(nèi)帶電體系的電磁場角動量和機(jī)械角動量的改變率之和。

2.3 物理實例角動量分析

設(shè)公式（9）中的S半徑r為無窮大，進(jìn)而S所包含的區(qū)域是一個無窮大區(qū)域，也可以稱之為全空間區(qū)域，由以上分析中的公式（2）、（3）、（4）可以推知，

式（10）所表示的物理意義為：當(dāng)S曲面所流過的角動量為零時，帶電體在電磁場中所擁有的力矩是通過角動量的改變率提供的。 Mem＞ 0 時，角動量變化率為

式（11）所表示的物理意義為：S曲面中流過的角動量為零時，電磁場中帶電體系的電磁與機(jī)械角動量的改變率之和等于外力矩，由此可見此時電磁場中帶電體系的角動量就是由外力矩提供的。由以上分析可知，角動量是分析電磁場能量守恒的重要內(nèi)容。

3 能量守恒

3.1 無外力作用時的電磁場能量守恒

在無外力作用時，一定區(qū)域V內(nèi)的帶電體能量改變率為：

公式（12）中 Wm代表了區(qū)域V中帶電體的機(jī)械能量； f =ρ(E + v×B)表示洛倫茲力的密度；f·v表示f的功率密度；VfvdV·∫表示該區(qū)域內(nèi)f的總功率；s E H= × 表示能量流密度；表示電磁場的能量密度。公式（12）的物理意義就是：該區(qū)域內(nèi)電磁能量和機(jī)械能量的增加率。

3.2 有外力作用下的電磁能量守恒

當(dāng)存在外力WF（功率為WP ）作用時，公式（12）可以改寫為以下性形式：

3.3 電磁場能量守恒的實例分析

假設(shè)公式（13）中S曲面是一個無窮大區(qū)域，也就是全空間；在上述實例中，s E H= × ,由此可知，在這個無窮大的區(qū)域中能量流密度為零，可以將公式（13）推出：

有公式（14）可知，在空間電磁場中一個固定曲面中所流過的能量流密度通量為零時，帶電體在該空間電磁場中所受到的電磁力矩是有該空間上電磁功率變化率來決定。

在本文所給出的物理實例中，帶電體所受到的電磁力矩是阻礙球殼轉(zhuǎn)動的，為此，球殼所受到的電磁場能量將會在外力矩的作用下增加，機(jī)械功率表達(dá)式如下：

公式（15）表明，在空間電磁場中，一個能量流密度為零的曲面上，在收到外力作用時，其所增加的電磁功率就等于外力作用所產(chǎn)生的機(jī)械功率。通過公式推導(dǎo)最終可以得出公式（16）:

這個公式推導(dǎo)的結(jié)果與上一節(jié)中利用電磁場角動量守恒公式所推導(dǎo)的結(jié)果完全一致，這就說明在電磁場中角動量守恒與動量守恒對某一種物理現(xiàn)象進(jìn)行分析時，二者的分析結(jié)果是一致的。

4 結(jié)論

通過以上對空間電磁場中帶電球殼發(fā)生內(nèi)部運(yùn)動時的角動量守恒和動量守恒的分析結(jié)果可知，雖然空間電磁場角動量守恒定律公式和動量守恒定律公式的推導(dǎo)過程和公式表達(dá)形式上是不同的（角動量守恒公式是矢量式，而動量守恒公式標(biāo)量式），但是對同一個物理實例所提問題的計算結(jié)果是一致的。由此可見，在空間電磁場中，無論是角動量守恒定律還是動量守恒定律都是描述空間電磁場基本性質(zhì)的定律，二者的基本原理一致。本文的分析過程也通過對空間電磁場角動量守恒定律的分析，進(jìn)而驗證了電磁場動量守恒定律的正確性，進(jìn)一步證明了電磁場動量守恒在對空間電磁場中各種物理現(xiàn)象進(jìn)行分析時的重要作用。希望本文的研究結(jié)果能夠為電磁場能量守恒的研究提供有價值的參考。

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