基于齒面點(diǎn)坐標(biāo)測量值的弧齒錐齒輪齒面建模

徐彥偉，張連洪

(1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，洛陽 471003；2.天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

0 引言

弧齒錐齒輪是重要的機(jī)械傳動基礎(chǔ)元件，廣泛用于各種高速、重載的相交軸傳動中[1～5]。近年來，研究人員對弧齒錐齒輪齒面加工誤差的測量與評定以及弧齒錐齒輪齒面幾何建模等進(jìn)行了大量研究。王伏林[6]進(jìn)行了數(shù)字化齒面加工誤差評定基準(zhǔn)的研究，提出了一種齒面加工誤差的評定策略，建立了加工誤差評定基準(zhǔn)數(shù)學(xué)模型；曹雪梅[7,8]進(jìn)行了弧齒錐齒輪齒面誤差檢測與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，研究了齒面的加工誤差、加工變形、安裝誤差等因素綜合產(chǎn)生的齒面誤差。本文通過對弧齒錐齒輪齒面數(shù)學(xué)模型的離散化處理，依據(jù)弧齒錐齒輪齒面離散點(diǎn)三維坐標(biāo)測量方法，通過CNC3906齒輪測量中心對一給定參數(shù)的弧齒錐齒輪齒面離散點(diǎn)三維坐標(biāo)進(jìn)行了測量。最后，對齒面離散點(diǎn)三維坐標(biāo)測量結(jié)果進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)處理，并利用NURBS方法建立了齒面空間曲面模型，可以為弧齒錐齒輪齒面加工精度和齒面離散點(diǎn)加工誤差的評定提供模型參考依據(jù)。

1 弧齒錐齒輪齒面點(diǎn)坐標(biāo)測量原理

弧齒錐齒輪齒面是復(fù)雜的空間曲面[9]，齒面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均可表示為機(jī)床搖臺轉(zhuǎn)角q和刀盤相位角θ的二元函數(shù)。在弧齒錐齒輪的實(shí)際測量中，齒面通常采用離散點(diǎn)表示

圖1 弧齒錐齒輪齒面離散點(diǎn)旋轉(zhuǎn)投影示意圖

依據(jù)圖象旋轉(zhuǎn)不變距特性[10]，將弧齒錐齒輪空間齒面投影到弧齒錐齒輪軸截面，再將其旋轉(zhuǎn)到工件齒輪坐標(biāo)系軸截面內(nèi)劃分齒面網(wǎng)格，確定弧齒錐齒輪的齒面離散點(diǎn)，通常參照格里森公司弧齒錐齒輪測量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，沿齒長方向取9列，齒高方向取5行，共45個齒面離散點(diǎn)，如圖1所示。

弧齒錐齒輪齒面點(diǎn)坐標(biāo)測量的基本原理：1）建立弧齒錐齒輪理論齒面。2）理論齒面劃分網(wǎng)格。3）理論齒面點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算。4）對工件齒輪進(jìn)行定位，使工件齒輪與理論齒面坐標(biāo)系重合。5）齒面測量基準(zhǔn)點(diǎn)定位。將三維側(cè)頭放置于齒面中點(diǎn)所在的圓周與XOZ平面的交點(diǎn)處，使三維測頭與被測齒面相切。（6）齒面點(diǎn)坐標(biāo)測量。工件齒輪定位完成，齒面測量基準(zhǔn)點(diǎn)定位后，即可按照一定的順序，對齒面點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行測量。圖2為弧齒錐齒輪齒面離散點(diǎn)坐標(biāo)測量原理示意圖。

圖2 弧齒錐齒輪齒面離散點(diǎn)坐標(biāo)測量原理示意圖

2 基于齒面點(diǎn)坐標(biāo)測量結(jié)果的建模原理

依據(jù)弧齒錐齒輪齒面離散點(diǎn)三維坐標(biāo)值建立齒面三維模型，屬于逆向工程中的曲面重構(gòu)技術(shù)范疇。非均勻有理B樣條NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines）是在逆向工程實(shí)際應(yīng)用中的一種非常優(yōu)秀的曲線、曲面造型方法。

利用NURBS方法構(gòu)建弧齒錐齒輪齒面三維模型的基本原理是通過齒面上離散點(diǎn)的三維坐標(biāo)值，重構(gòu)一組NURBS曲線，然后再依據(jù)已有的NURBS曲線構(gòu)造NURBS曲面。一條k次NURBS曲線可以表示為一段有理多項(xiàng)式矢函數(shù)

式（2）中，iW和表示控制頂點(diǎn)和與控制頂點(diǎn)相聯(lián)系的權(quán)因子，是由節(jié)點(diǎn)矢量按照德布爾—考克斯遞推公式（3）決定的第i個k次B規(guī)范樣條基函數(shù)。

式（3）中，對于重節(jié)點(diǎn)情況約定0/0=0。

將NURBS曲線以張量積形式推廣，即可得NURBS曲面。一張kl×次NURBS曲面可以用有理分式表示為：

3 弧齒錐齒輪齒面點(diǎn)坐標(biāo)測量實(shí)例

在CNC3906齒輪測量中心（如圖3）上對表1所示幾何參數(shù)的弧齒錐齒輪大輪齒面離散點(diǎn)三維坐標(biāo)進(jìn)行了測量。表2為部分齒面點(diǎn)三維坐標(biāo)的初始測量結(jié)果。

圖3 CNC3906齒輪測量中心測量齒面點(diǎn)坐標(biāo)

表1 被測工件齒輪基本幾何參數(shù)

表2 部分齒面點(diǎn)三維坐標(biāo)初始測量結(jié)果

4 弧齒錐齒輪齒面三維模型

在圖2所示弧齒錐齒輪齒面點(diǎn)測量原理示意圖中，被測齒輪坐標(biāo)系與齒輪測量中心的坐標(biāo)系重合后，被測齒輪仍可以繞齒輪軸線旋轉(zhuǎn)。齒面點(diǎn)在不同的角向位置下測得的齒面點(diǎn)三維坐標(biāo)是不相同的，因此在齒輪測量的時候，將被測齒輪繞自身軸線旋轉(zhuǎn)某一角度，使得齒面中點(diǎn)恰好處于XOZ平面內(nèi)，完成測量過程的定位。這樣同一齒槽兩側(cè)的齒面在測量的時候，兩側(cè)齒面中點(diǎn)的測量坐標(biāo)便相同，依據(jù)這種初始測量數(shù)據(jù)建立的兩個齒面三維模型也會在齒槽的中點(diǎn)處相交，而不是分別處于齒槽的兩側(cè)（如圖4所示）。

圖4 依據(jù)初始測量數(shù)據(jù)建立的齒面三維模型

圖5 齒面離散點(diǎn)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)示意圖

然而，理論齒面推導(dǎo)過程中，齒槽中點(diǎn)處于XOZ平面內(nèi)，齒槽兩側(cè)齒面的中點(diǎn)位于齒槽中點(diǎn)的兩側(cè)，即位于XOZ平面的兩側(cè)。因此，對齒面測量結(jié)果進(jìn)行分析和依據(jù)測量結(jié)果建立齒面三維模型，都必須將凸面和凹面的測量結(jié)果繞Z軸分別旋轉(zhuǎn)?和'?角度（如圖5所示），使得測量齒面中點(diǎn)和理論齒面中點(diǎn)重合，只有這樣才能求得測量值和理論值之間的實(shí)際偏差。

在圖5所示齒面測量數(shù)據(jù)旋轉(zhuǎn)示意圖中，假設(shè)A點(diǎn)為實(shí)際測量時齒面中點(diǎn)所在位置，則將齒面凸面的45個測量數(shù)據(jù)繞Z軸旋轉(zhuǎn)?角，使得A點(diǎn)轉(zhuǎn)動到B點(diǎn)，即可求得與齒面凸面理論齒面點(diǎn)相對應(yīng)的45個點(diǎn)的三維坐標(biāo)數(shù)據(jù)。同理，將齒面凹面的45個測量數(shù)據(jù)繞Z軸旋轉(zhuǎn)'?角，使得A點(diǎn)轉(zhuǎn)動到C點(diǎn)，即可求得與齒面凹面理論齒面點(diǎn)相對應(yīng)的45個點(diǎn)的三維坐標(biāo)數(shù)據(jù)。

式（5）中，?取負(fù)值。當(dāng)齒面凹面的45個測量數(shù)據(jù)繞Z軸旋轉(zhuǎn)'?角，由A點(diǎn)轉(zhuǎn)動到C點(diǎn)時有：

由齒面點(diǎn)三維坐標(biāo)的初始測量結(jié)果可得齒面凸面和凹面中點(diǎn)坐標(biāo)的初始測量值以及齒面凸面和凹面中點(diǎn)坐標(biāo)的理論計(jì)算值分別為A=(105.6359,0,-53.8753)、B=(105.499628,363952,-53.8753)、C=(105.499087,-5.374586,-53.8753)。將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)值分別代入（5）和（6）中可得?角和? '角的值分別為2.9105956°和2.9163687°。將齒面凸面和凹面各個點(diǎn)的初始測量坐標(biāo)值與?角和? '角的值依次代入（5）和（6）即可得到與理論齒面點(diǎn)相對應(yīng)的齒面點(diǎn)測量值。部分旋轉(zhuǎn)后的測量結(jié)果如表3所示。依據(jù)旋轉(zhuǎn)后的齒面離散點(diǎn)三維坐標(biāo)，采用NUBRS方法構(gòu)建的弧齒錐齒輪齒面三維模型如圖6所示。

表3 部分齒面點(diǎn)三維坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)后結(jié)果

圖6 弧齒錐齒輪齒面NURBS曲面模型

5 結(jié)論

依據(jù)弧齒錐齒輪齒面數(shù)學(xué)模型和弧齒錐齒輪齒面離散點(diǎn)三維坐標(biāo)測量方法，對一給定參數(shù)的弧齒錐齒輪齒面離散點(diǎn)三維坐標(biāo)進(jìn)行了測量，通過對三維坐標(biāo)測量結(jié)果的旋轉(zhuǎn)處理，利用NURBS方法建立了弧齒錐齒輪齒面的三維模型，可以為弧齒錐齒輪齒面離散點(diǎn)加工誤差的評定提供模型參考依據(jù)。

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