半線性隨機(jī)變延遲微分方程數(shù)值解的收斂性

劉國(guó)清，張 玲

（大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江大慶 163712）

半線性隨機(jī)變延遲微分方程數(shù)值解的收斂性

劉國(guó)清，張 玲

（大慶師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江大慶 163712）

隨機(jī)變延遲微分方程；指數(shù)Euler方法；Lipschitz條件；It?公式；強(qiáng)收斂性

隨機(jī)模型在生物學(xué)、傳染病、經(jīng)濟(jì)與金融等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.大多數(shù)隨機(jī)微分方程都是非線性的，其解析解不能表達(dá)為顯式形式，因此，數(shù)值解的研究在實(shí)際應(yīng)用中非常重要.隨機(jī)微分方程數(shù)值解的研究目前已有許多成果［1－5］，Higham等［3］給出了隨機(jī)微分方程數(shù)值解的幾乎處處與矩指數(shù)穩(wěn)定性.文獻(xiàn)［6－11］研究了隨機(jī)延遲微分方程.曹婉蓉等［6］給出了隨機(jī)延遲微分方程Euler－Maruyama方法的均方穩(wěn)定性；毛學(xué)榮［11］討論了隨機(jī)延遲微分方程Euler－Maruyama方法的指數(shù)穩(wěn)定性.對(duì)于半線性隨機(jī)延遲微分方程指數(shù)Euler方法的收斂性和穩(wěn)定性研究目前報(bào)道較少.文獻(xiàn)［6－7］首先把指數(shù)Euler方法應(yīng)用到隨機(jī)微分方程上；文獻(xiàn)［12］給出了隨機(jī)微分方程指數(shù)Euler方法的穩(wěn)定性和收斂性；文獻(xiàn)［13］應(yīng)用Lyapunov方法給出了常延遲隨機(jī)微分方程指數(shù)Euler方法的收斂性和穩(wěn)定性；文獻(xiàn)［14］用直接證明方法給出了兩類(lèi)隨機(jī)延遲微分方程指數(shù)Euler方法的收斂性和指數(shù)穩(wěn)定性.本文給出該隨機(jī)變延遲微分方程的指數(shù)Euler方法，得到了其數(shù)值解的收斂性.

1 預(yù)備知識(shí)及指數(shù)Euler方法

2 指數(shù)Euler方法數(shù)值解的收斂性

引理1如果線性增長(zhǎng)條件（H2）成立，則存在常數(shù)C1＞0，使得方程（1）的精確解和連續(xù)指數(shù)Euler方法的近似解（5）滿足如下關(guān)系：

3 數(shù)值算例

表1 指數(shù)Euler方法數(shù)值解的全局誤差Table 1 Global error of numerrical solutions by the exponential Euler method

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Convergence of Numerical Solutions for Semi－linear Stochastic Variable Delay Differential Equations

LIU Guoqing，ZHANG Ling
（SchoolofMathematicalSciences，DaqingNormalUniversity，Daqing163712，HeilongjiangProvince，China）

stochastic variable delay differential equation；exponential Euler method；Lipschitz condition；It?formula；strong convergence

O241.81

A

1671－5489（2014）03－0451－09

10.13413／j.cnki.jdxblxb.2014.03.09

2013－11－22.

劉國(guó)清（1966—），男，漢族，碩士，教授，從事拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)的研究，E－mail：lgq660609＠163.com.通信作者：張 玲（1978—），女，漢族，博士，講師，從事微分方程數(shù)值解和隨機(jī)過(guò)程的研究，E－mail：zl78521＠163.com.

黑龍江省教育廳科研項(xiàng)目（批準(zhǔn)號(hào)：11553003）.

趙立芹）