圓變方孔型的系數(shù)設(shè)計(jì)法

曹國(guó)富

（佛山市萬(wàn)乘實(shí)業(yè)有限公司，廣東 佛山 528315）

0 前 言

焊管先成圓后成方的工藝在中小型焊管生產(chǎn)線上應(yīng)用十分廣泛，設(shè)計(jì)方法也多種多樣，但都存在兩個(gè)問(wèn)題：①需要人為設(shè)定一個(gè)變形參數(shù)，以推動(dòng)整個(gè)設(shè)計(jì)得以進(jìn)行。這樣就因個(gè)人知識(shí)多寡、經(jīng)驗(yàn)豐歉等因素產(chǎn)生一定的設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)；②大多計(jì)算較為繁雜，計(jì)算量大，設(shè)計(jì)效率低。

圓變方孔型的系數(shù)設(shè)計(jì)法既不需要人為設(shè)定變形參數(shù)，又能簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)程序、減少計(jì)算量、提高設(shè)計(jì)效率，并且對(duì)本次設(shè)計(jì)效果可預(yù)知。這是因?yàn)閳A變方孔型的系數(shù)設(shè)計(jì)法有其獨(dú)特設(shè)計(jì)方法和設(shè)計(jì)思路。

1 圓變方孔型系數(shù)設(shè)計(jì)法的思路

圓變方設(shè)計(jì)的初始圓及變形花如圖1所示?？煽闯觯诎垂Q尺寸設(shè)計(jì)孔型時(shí)，初始圓上(a在數(shù)值上等于方管邊長(zhǎng)a（以下均用a表示），則先成圓之圓直徑D與方管邊長(zhǎng)a存在（1）式所示的函數(shù)關(guān)系

同時(shí)，圓變方之初始弓形高h(yuǎn)與方管邊長(zhǎng)a也存在（2）式所示的函數(shù)關(guān)系

圖1 圓變方設(shè)計(jì)的初始圓及變形花

雖然（1）式和（2）式對(duì)圖1而言表達(dá)的內(nèi)容不同，但是都是以 “系數(shù)×方管邊長(zhǎng)”的形式表現(xiàn)方管邊長(zhǎng)與圓的關(guān)系。這意味著有可能通過(guò)一定的數(shù)學(xué)變換，將各道孔型各部位曲線的函數(shù)表達(dá)式也變換成 “系數(shù)與方管邊長(zhǎng)”相乘的形式，并且，由（1）式和（2）式所決定的各道次設(shè)計(jì)系數(shù)應(yīng)該對(duì)所有圓變方孔型都適用?；蛘哒f(shuō)，在總變形道數(shù)一定的情況下，所有圓變方孔型第道次的設(shè)計(jì)系數(shù)都相同。倘若能實(shí)現(xiàn)這一構(gòu)想，那設(shè)計(jì)圓變方孔型就簡(jiǎn)單方便快捷多了。

2 圓變方孔型的系數(shù)設(shè)計(jì)法

2.1 系數(shù)設(shè)計(jì)法的內(nèi)涵

根據(jù)設(shè)計(jì)思路，所謂圓變方孔型的系數(shù)設(shè)計(jì)法是指將圓變方孔型各道次、各部位曲線的函數(shù)表達(dá)式都以一個(gè)對(duì)應(yīng)固定的系數(shù)μi（λi）或一個(gè)關(guān)于μi（λi）的表達(dá)式與方管邊長(zhǎng)a相運(yùn)算的形式來(lái)表示，即

式中：ai（a）—圓變方孔型第i道次內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)的函數(shù)；

Ri（a）—圓變方孔型第i道次變形半徑的函數(shù)；

λi—關(guān)于函數(shù)ai的各道次孔型設(shè)計(jì)系數(shù)；

μi—關(guān)于函數(shù)Ri的各道次孔型設(shè)計(jì)系數(shù)；

i—變形道次；

N—總變形道次數(shù)。

式（3）這組函數(shù)關(guān)系一但確定之后，就對(duì)所有圓變方孔型都適用。該式兩個(gè)方面的含義：

（1）在變形總道數(shù)已定和按公稱尺寸設(shè)計(jì)原則設(shè)計(jì)孔型的前提下，所有圓變方孔型的設(shè)計(jì)系數(shù)只有 N 對(duì)，即 μi=μ1，μ2…μN(yùn)和 λi=λ1，λ2…λN，且每道孔型不論方管邊長(zhǎng)如何變化，也不管是箱式孔型還是斜出孔型，都只有唯一一對(duì)設(shè)計(jì)系數(shù)與之對(duì)應(yīng)。

（2）在每一個(gè)圓變方孔型表達(dá)式中，只涉及兩個(gè)參數(shù)，一個(gè)是被固化了的設(shè)計(jì)系數(shù) （μi或λi），一個(gè)是方管邊長(zhǎng)a。由此可見(jiàn)，在系數(shù)設(shè)計(jì)法中，真正的變量是方管邊長(zhǎng)a。設(shè)計(jì)時(shí)，只需將自變量a帶入進(jìn)行運(yùn)算即可獲得圓變方孔型參數(shù)。

當(dāng)然，這些是以一定設(shè)計(jì)原則為前提的。

2.2 系數(shù)設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)原則

2.2.1 以弓形高為變形量的原則

在圓變方過(guò)程中，實(shí)質(zhì)上是弓形高從初始值變?yōu)?的過(guò)程。之所以選擇弓形高為變形量，是因?yàn)椴捎闷骄f減弓形高來(lái)變形，管坯變形比較平穩(wěn)，軋輥孔型面受力也比較平均。由（2）式得弓形高的道次平均遞減變形量

繼而，弓形高的道次變形量

式中，當(dāng)變形道次i=N時(shí)，hi=0，完成圓變方變形。

2.2.2 以公稱尺寸代替孔型弧長(zhǎng)的原則

在采用圓變方工藝設(shè)計(jì)方孔型時(shí)，目前是借助道次壓下系數(shù)來(lái)解決管坯變形中發(fā)生的周向收縮，并據(jù)此作為設(shè)計(jì)各道各段孔型弧長(zhǎng)的依據(jù)?？墒?，由道次壓下系數(shù)所決定的量平均到各段弧長(zhǎng)上一般只有幾十微米至一百多微米（中小直徑圓管范圍），而在圓變方過(guò)程中影響實(shí)際變形效果的因素較多，如材料、工藝、操作、公差等。只要這些因素中任意一個(gè)沒(méi)有達(dá)到理論設(shè)計(jì)要求，那么，采用道次壓下系數(shù)設(shè)計(jì)孔型曲線長(zhǎng)度就形同虛設(shè)和微不足道了。因此，直接用成品管公稱尺寸作為設(shè)計(jì)孔型曲線弧長(zhǎng)的依據(jù)，讓每段孔型對(duì)應(yīng)的曲線長(zhǎng)都與公稱尺寸一樣，既不影響產(chǎn)品精度，又能筒化設(shè)計(jì)程序，也有利于設(shè)計(jì)系數(shù)的推導(dǎo)。

2.3 系數(shù)設(shè)計(jì)法的推導(dǎo)

2.3.1 孔型內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)ai及其設(shè)計(jì)系數(shù)λi

由變形過(guò)程中孔型內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)ai與成品管邊長(zhǎng)a及弓形高h(yuǎn)i的幾何關(guān)系可以得出

將 （6）式兩邊同除以a，并令ai/a=λi，得出

式 （7）的幾何意義是：當(dāng)N確定之后，第i道次關(guān)于ai的設(shè)計(jì)系數(shù)λi便唯一確定；因此，決定函數(shù)大小的真正變量是正方形邊長(zhǎng)。它的實(shí)際意義是，無(wú)論成品方管邊長(zhǎng)如何變化，只要總變形道數(shù)N一定，第i道次孔型內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)的設(shè)計(jì)系數(shù)就是定值；并且，在計(jì)算第i道次孔型內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)時(shí)，只需將該系數(shù)與成品方管邊長(zhǎng)相乘即可。

2.3.2 孔型變形半徑Ri及其設(shè)計(jì)系數(shù)μi

根據(jù)圓變方過(guò)程中孔型變形半徑Ri、孔型內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)ai與弓形高h(yuǎn)i的幾何關(guān)系可以得出

將（5）式和（6）式同時(shí)代入（8）式，且兩邊同除以成品方管邊長(zhǎng)a，并令Ri/a=μi，得出

在（9）式中，設(shè)計(jì)系數(shù)λi是一個(gè)定值，一旦N的數(shù)值確定之后，圓變方過(guò)程中關(guān)于各道次變形半徑Ri的設(shè)計(jì)系數(shù) μi亦就會(huì)為定值,Ri=μia。這樣，在進(jìn)行第i道次變形半徑設(shè)計(jì)時(shí)，再無(wú)需進(jìn)行繁瑣的運(yùn)算了。

2.3.3 孔型寬和孔型深

由圓變方孔形之間的幾何關(guān)系，容易推導(dǎo)出孔型寬度和孔型深度是一個(gè)關(guān)于系數(shù)μi的表達(dá)式與方管邊長(zhǎng)之積。圖1所示箱式孔型的孔型寬和孔型深由式 （10）決定。

式中：bi—圓變方箱式孔型第i道次的孔型寬度；

li—圓變方箱式孔型第i道次的孔型深度。

若是斜出45°方管孔型，則其孔型寬和孔型深由（11）式確定。

式中：Bi—圓變方斜出45°方管第i道次孔型的寬度；

Hi—圓變方時(shí)斜出45°方管第i道次孔型的深度。

需要指出的是，（10）式也是“系數(shù)與方管邊長(zhǎng)相乘”的形式，在N確定之后，第i道次的數(shù)值也是可以固化的。

2.3.4 圓變方孔型設(shè)計(jì)系數(shù)表

通常采用5平4立9個(gè)道次孔型軋輥完全能滿足各種規(guī)格圓變方管的軋制，即N=9，i=1，2，…，9。 那么，根據(jù)（7）式和（9）式，易得系數(shù) λi和 μi。 圓變方9道次孔型設(shè)計(jì)系數(shù)見(jiàn)表1。有了這些系數(shù)后，就使得原本復(fù)雜的孔型設(shè)計(jì)過(guò)程變成了簡(jiǎn)單四則運(yùn)算，從而實(shí)現(xiàn)了圓變方孔型的 “傻瓜式”設(shè)計(jì)。

表1 圓變方9道次孔型設(shè)計(jì)系數(shù)

3 設(shè)計(jì)驗(yàn)證

以設(shè)計(jì)圓變45方為例進(jìn)行設(shè)計(jì)驗(yàn)證。按5平4立9個(gè)道次、斜出45°設(shè)計(jì)變形孔型，則a=45 mm，N=9，i=1，2…，9。

3.1 系數(shù)設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)實(shí)例

根據(jù)圓變方孔型系數(shù)設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)思路、設(shè)計(jì)原則及表1所列設(shè)計(jì)系數(shù)，計(jì)算得圓變45方管孔型的變形參數(shù)，見(jiàn)表2；設(shè)計(jì)成果如圖2所示。

表2 圓變方系數(shù)設(shè)計(jì)法45方斜出45°孔型參數(shù)

圖2 圓變方軋輥孔形圖

3.2 非系數(shù)設(shè)計(jì)法的設(shè)計(jì)實(shí)例

根據(jù)設(shè)計(jì)原則和（1），（2），（4），（5），（6）式及（8）式，并假設(shè)N=9，那么，圓變方非系數(shù)設(shè)計(jì)法45方、斜出45°孔型參數(shù)列見(jiàn)表3。

表 3 中，ai′、 Ri′、 Bi′、 Hi′分別表示圓變方非系數(shù)設(shè)計(jì)法45方斜出45°孔型第道次內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)、變形半徑、孔型寬和孔型深。比較表2和表3的設(shè)計(jì)結(jié)果，系數(shù)設(shè)計(jì)法的數(shù)值與非系數(shù)設(shè)計(jì)法的數(shù)值，絕大部分完全一致，極少不一致的屬于計(jì)算精度誤差，這說(shuō)明圓變方孔型的系數(shù)設(shè)計(jì)法正確可行。

表3 圓變方非系數(shù)設(shè)計(jì)法45方斜出45°孔型參數(shù)

另一方面，雖然表2的設(shè)計(jì)思想和設(shè)計(jì)方法與表3不同，但是，兩個(gè)表內(nèi)相同道次的相應(yīng)數(shù)據(jù)幾乎一致的情況說(shuō)明，圓變方孔型的參數(shù)，確實(shí)存在（7）式、（9）式和表1所顯示的內(nèi)在系數(shù)規(guī)律。其數(shù)值精度完全能夠滿足焊管尺寸精度對(duì)孔型精度的要求。

3.3 反推的設(shè)計(jì)系數(shù) μi′和 λi′

基于表3的設(shè)計(jì)結(jié)果和比照 （7）式、（9）式，易類推出由非系數(shù)設(shè)計(jì)法孔型參數(shù)反推的設(shè)計(jì)系數(shù) μi′和 λi′，見(jiàn)（12）式和（13）式,

式中：λi′—非系數(shù)設(shè)計(jì)法反推出關(guān)于第i道孔型內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)ai′的設(shè)計(jì)系數(shù)。

式中： μi′—非系數(shù)設(shè)計(jì)法中反推出的關(guān)于第道孔型變形半徑Ri′的設(shè)計(jì)系數(shù)。

那么，由（12）式和（13）式計(jì)算得，第i道次反推的系數(shù) μi′和 λi′，詳見(jiàn)表 4。

表4 非系數(shù)設(shè)計(jì)法圓變方9道次孔型反推的設(shè)計(jì)系數(shù)

表4所顯示的反推系數(shù)μi′和 λi′與表1所列出的推導(dǎo)系數(shù)μi和λi基本相同，相同道次的對(duì)應(yīng)系數(shù)都十分接近，其最大誤差均不超過(guò)萬(wàn)分之二。這種 “十分接近”的結(jié)果表明：圓變方孔型系數(shù)設(shè)計(jì)法所推導(dǎo)出的孔型設(shè)計(jì)系數(shù)正確可信。反推系數(shù)與推導(dǎo)系數(shù)的唯一區(qū)別在于：前者是圓變方非系數(shù)設(shè)計(jì)法過(guò)程的終點(diǎn)，僅起驗(yàn)證后者的作用；而后者則是圓變方系數(shù)設(shè)計(jì)法過(guò)程的起點(diǎn)，并貫穿圓變方孔型系數(shù)設(shè)計(jì)法全過(guò)程，是系數(shù)設(shè)計(jì)法的靈魂。

4 結(jié) 論

圓變方孔型的系數(shù)設(shè)計(jì)法不僅正確可行，而且能提高設(shè)計(jì)效率、避免設(shè)計(jì)風(fēng)險(xiǎn)，所得設(shè)計(jì)系數(shù)對(duì)所有圓變方孔型都適用。

（1）圓變方孔型系數(shù)法正確可行。系數(shù)設(shè)計(jì)法所推導(dǎo)出的系數(shù)與非系數(shù)設(shè)計(jì)法反推的系數(shù)高度一致，其數(shù)值精度完全能夠滿足焊管產(chǎn)品對(duì)孔型精度的要求。這種異曲同工的結(jié)果證明，圓變方之系數(shù)設(shè)計(jì)法的正確性。

（2）圓變方孔型的設(shè)計(jì)系數(shù)唯一。由于圓變方之圓直徑與方管邊長(zhǎng)存在著固定系數(shù)關(guān)系和替代關(guān)系，這就為通過(guò)一定的數(shù)學(xué)變換，將代表各道孔型各部位曲線的函數(shù)表達(dá)式，演繹成系數(shù)與成品方管邊長(zhǎng)相乘的形式提供了充分必要條件。而且，一旦N確定后，經(jīng)過(guò)演繹獲得的各道次設(shè)計(jì)系數(shù)μi和λi，對(duì)所有圓變方孔型都具有唯一性；也就是說(shuō)，在總變形道數(shù)N相同的情況下，不論成品方管規(guī)格如何變化，所有圓變方孔型第I道次的設(shè)計(jì)系數(shù)都相同，而且固定不變。

（3）提高設(shè)計(jì)效率。用系數(shù)設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)圓變方孔型，不再需要計(jì)算方管展開(kāi)長(zhǎng)度、初始圓直徑、總變形量、平均遞減變形量等繁瑣數(shù)據(jù)，直接根據(jù)系數(shù)與成品方管邊長(zhǎng)的關(guān)系，計(jì)算圓變方孔型各部位的變形尺寸，從而簡(jiǎn)化圓變方孔型設(shè)計(jì)程序，減少計(jì)算量，提高設(shè)計(jì)效率。同時(shí)，由于系數(shù)設(shè)計(jì)法不需要人為設(shè)定變形參數(shù)，這就從根本上避免了因設(shè)計(jì)人員經(jīng)驗(yàn)差異而可能產(chǎn)生的實(shí)際變形風(fēng)險(xiǎn)，使圓變方孔型的標(biāo)準(zhǔn)化設(shè)計(jì)成為現(xiàn)實(shí)。

另外，本研究提出的設(shè)計(jì)思路、設(shè)計(jì)原則和設(shè)計(jì)方法，對(duì)設(shè)計(jì)其他孔型亦有借鑒作用。

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