“池塘有多少桶水”與“整體思想”

江蘇 蔣明玉

從前，有個國王在大臣們的陪同下，來到御花園散步。國王瞧著前面的水池，忽然心血來潮，問身邊的大臣：“這水池里共有多少桶水？”眾臣一聽，面面相覷，誰都答不出來。國王下旨：“給你們?nèi)鞎r間考慮，回答出來重賞，回答不出來重罰！”隨后幾天里，大臣們用桶量來量去，怎么也量不出一個確切的數(shù)據(jù)。眨眼三天到了，大臣們?nèi)砸换I莫展。就在此時，一個少年走向王宮，聲稱自己知道池塘有多少桶水。國王命令大臣帶少年去看池塘，少年卻笑道：“不用看了，這個問題太容易了！”國王樂了：“哦，那你就說說吧。”少年眨了眨眼說：“這要看那是怎樣的桶。如果和水池一樣大，那池里就是一桶水；如果桶只有水池的一半大，那池里就有兩桶水；如果桶只有水池的三分之一大，那池里就有三桶水；如果……”“行了，完全正確！”國王重賞了這個少年。

大臣們?yōu)槭裁床荒芙鉀Q國王的問題呢？原來，他們都掉進了思維定勢的窠臼：一桶一桶地量。而那個少年則撇開了池塘的大小，從桶的角度思考問題，結(jié)果一下子就解決了。是的，我們在解答數(shù)學問題時，常常受條件和問題束縛，沒有把握局部和整體的關系，缺乏整體思想，往往把簡單的問題復雜化了。整體思想的基本特點是整體性，即把數(shù)學問題當作一個整體來思考。在數(shù)學解題中，合理運用“整體思想”，往往可以化繁為簡、化難為易。下面舉例來講。

一、在計算題解答中，綜觀整體，從整體上把握題目，合理靈活地解題。

【分析與解】如果用通分的方法計算，計算將是十分煩瑣。若將題目相同的和式假設為某一字母，計算就簡便了。

【例2】對32541這個五位數(shù)，能否改變各個數(shù)字的位置，把它變?yōu)橐粋€五位質(zhì)數(shù)。

【分析與解】許多同學的做法可能是先排除個位數(shù)2、5、4的情況，再逐步考察剩下的各種情況。其實，若從整體上把3、2、5、4、1五個數(shù)字考察一番，由于3+2+5+4+1=15，便一眼看出：無論怎樣變換位置，排出來的五位數(shù)一定是“3”的倍數(shù)，而不可能是質(zhì)數(shù)。

二、在面積計算題解答中，學會從整體上觀察圖形，進行合理轉(zhuǎn)化，靈活而簡潔地解答問題。

【例3】 如圖1，長方形長8厘米，寬5厘米，求陰影部分的面積。

圖1

圖2

【分析與解】陰影部分是由三個三角形組成的，如果分別求出三個陰影三角形的面積，就會束手無策。從整體上看圖，三個三角形的高都是5厘米，而它們的底之和為8厘米，進而對圖形進行轉(zhuǎn)化，將三個陰影三角形轉(zhuǎn)化成一個三角形（如圖 2），即 S陰=S三角形ABC。

S陰=S三角形ABC=852=20（平方厘米）

三、在應用題解答中，從整體上把握數(shù)量關系，靈活而合理地解答問題。

【分析與解】“參加的人數(shù)”與“未參加的人數(shù)”前后都發(fā)生了變化，但是六年級學生的總?cè)藬?shù)是不變的?？梢詮摹皡⒓拥娜藬?shù)”前后發(fā)生的變化來考慮，“原來參加的人數(shù)”是總?cè)藬?shù)的，后來又有30人參加，“這時參加的人數(shù)”是總?cè)藬?shù)的所以“30人”所對應的分率是（），因此算式是也可以從“未參加的人數(shù)”前后發(fā)生的變化來考慮，不難得出

【總結(jié)】把數(shù)學問題視作一個整體，從整體上把握問題的本質(zhì)和規(guī)律，運用“整體思維”的方法解題，往往可以使解題靈活、巧妙。需要指出的是，運用了“整體思維”，并不否定“對象思維”，相反，兩者要相互協(xié)調(diào)、有機統(tǒng)一起來。

【練一練】兩個形狀和大小都一樣的直角三角形ABC與DEF，如下圖放置，它們的面積都是2003平方厘米，而每一個三角形的頂點都恰好落在另一個直角三角形的斜邊上。那么長方形ADEC的面積為（ ）平方厘米。