預(yù)應(yīng)力錨索損傷軟化精細(xì)有限元模型

張 雄，陳勝宏

（1.中國(guó)水電工程顧問集團(tuán)有限公司，北京 100120；2.武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430072）

1 引 言

預(yù)應(yīng)力錨索通過鉆孔將鋼筋、鋼絞線或高強(qiáng)度鋼絲固定于深部穩(wěn)定的地層中，并在被加固體表面通過張拉產(chǎn)生預(yù)應(yīng)力，從而達(dá)到使被加固體穩(wěn)定和限制其變形的目的[1]。因其經(jīng)濟(jì)合理、安全可靠、對(duì)巖土體擾動(dòng)小、施工快捷等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于巖土體的加固工程中[2]。

錨固段是預(yù)應(yīng)力錨索主要受力結(jié)構(gòu)，其依靠鋼筋或鋼絞線與砂漿、砂漿與巖體孔壁的界面相互作用傳遞、轉(zhuǎn)移巨大的錨固力。試驗(yàn)研究表明，大多數(shù)的預(yù)應(yīng)力錨固的失效是發(fā)生在鋼絞線-砂漿、砂漿-圍巖體接觸面上，接觸界面是錨固系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)。接觸面上兩種材料變形不一致、粘結(jié)強(qiáng)度較弱、韌性較低，導(dǎo)致失效極易發(fā)生在界面上[3]。目前對(duì)于錨固段接觸面應(yīng)力規(guī)范[4]還是假設(shè)錨固段剪應(yīng)力沿錨固段呈均勻分布。但除了土體、砂層、軟巖等巖土體中，錨固段剪應(yīng)力分布不均勻性已得到普遍認(rèn)可，也通過試驗(yàn)得到驗(yàn)證，其分布形式如圖1 所示，有A、B、C 3 種模式[5-7]。目前大都是獨(dú)自研究一個(gè)單獨(dú)模式，筆者認(rèn)為，錨固段的應(yīng)力分布其實(shí)是動(dòng)態(tài)變化的，在荷載較小的情況下或者端口處粘結(jié)較好時(shí)，接觸面全長(zhǎng)處于彈性狀態(tài)，此時(shí)剪應(yīng)力峰值在端口，如A 模式；當(dāng)荷載逐漸加大時(shí)或端口處粘結(jié)較差時(shí)，接觸面已經(jīng)部分屈服，但還能承擔(dān)部分剪應(yīng)力，峰值轉(zhuǎn)移到里面，如B 模式；當(dāng)荷載增大到接觸面破壞時(shí)，端口已不能承擔(dān)剪應(yīng)力，所以為0，如C 模式，應(yīng)力已逐漸轉(zhuǎn)移到內(nèi)部。尤春安[8]通過試驗(yàn)將錨固體界面上的變形分為彈性變形、塑性滑移變形和脫黏變形3個(gè)階段驗(yàn)證了這一點(diǎn)。

目前還沒有模擬成果能反映這一力學(xué)變化過程，有關(guān)錨固段的模擬大多較粗糙，因此，建立合理的界面模型研究巖體與灌漿體之間的力學(xué)行為，正確認(rèn)識(shí)荷載傳遞機(jī)制，研究錨固段應(yīng)力的分布規(guī)律，對(duì)于預(yù)應(yīng)力錨固設(shè)計(jì)和應(yīng)用具有極其重要的意義。

圖1 剪應(yīng)力分布形式示意圖Fig.1 Distributions of shear stress

2 有關(guān)模擬錨固段接觸面的討論

如何正確地分析接觸面上的受力變形機(jī)制、剪切破壞發(fā)展趨勢(shì)、荷載傳遞過程，并在計(jì)算中加以正確地模擬，是錨固數(shù)值分析研究中的關(guān)鍵點(diǎn)。接觸面的研究主要包含兩個(gè)方面：一是接觸面上的本構(gòu)關(guān)系，尤其是剪應(yīng)力和剪切變形之間的關(guān)系，以及接觸面的錯(cuò)動(dòng)、張開對(duì)其本構(gòu)關(guān)系的影響；另一方面是接觸面單元，它是數(shù)值分析中模擬接觸面變形的一種特殊單元。這兩方面的研究應(yīng)該是互相聯(lián)系、互相影響的，接觸面本構(gòu)關(guān)系是為了表達(dá)接觸面上的變形，接觸面變形的表示又要適應(yīng)所選用的接觸面單元。

在本構(gòu)關(guān)系方面，Yazici[9]采用了粘結(jié)介質(zhì)強(qiáng)度理論模型。該模型認(rèn)為，界面的壓力與砂漿的剪脹和徑向位移有關(guān)。Hyett 等[10]根據(jù)介質(zhì)破壞的摩擦-剪脹力學(xué)機(jī)制，討論了砂漿和粘結(jié)界面變形破壞情況。伍國(guó)軍等[11]根據(jù)錨固界面法向剛度服從指數(shù)分布的軟接觸型式，提出剪切面的非線性流變本構(gòu)模型。

在接觸單元方面，通常分為有厚度和無厚度模型。無厚度接觸面單元充分考慮了相鄰接觸物體接觸面間位移的不連續(xù)性。而薄層界面單元?jiǎng)t相反，通過節(jié)點(diǎn)位移來插值構(gòu)造單元內(nèi)部位移場(chǎng)，認(rèn)為相鄰接觸物體接觸面的位移具有某種連續(xù)性。應(yīng)用到預(yù)應(yīng)力錨固界面分析中的有Goodman 單元、常規(guī)的薄層單元。張雄等[12]提出，用復(fù)合單元模型來研究?jī)?nèi)錨段，將接觸單元隱含在常規(guī)有限元單元里面，避免了復(fù)雜的網(wǎng)格前處理，同時(shí)又可以保證計(jì)算精度。雷曉燕[13]以新接觸摩擦單元直接取節(jié)點(diǎn)接觸應(yīng)力作為基本未知量，模擬兩物體間的摩擦滑動(dòng)、張開和閉合過程。

上述錨固數(shù)值分析方法多側(cè)重于研究錨固體界面的滑移進(jìn)行分析，模擬得也較為簡(jiǎn)單、粗糙。關(guān)于鋼絞線、砂漿和巖體的共同作用變化過程，錨固體應(yīng)力分布變化特征的研究有待深入。

3 接觸面特性

一般采用界面的法向應(yīng)力和剪應(yīng)力以及界面位移約束來描述界面的滑移及開合狀態(tài)，模擬鋼絞線-砂漿、砂漿-圍巖體之間的接觸過程。他們之間的關(guān)系可以通過試驗(yàn)反映。

3.1 界面力學(xué)特性試驗(yàn)

尤春安[3]通過預(yù)應(yīng)力錨索錨固段界面力學(xué)特性試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，錨固體界面層是具有一定厚度并具有特殊力學(xué)性質(zhì)的材料，其力學(xué)性質(zhì)與巖土體的性質(zhì)相關(guān)。通過典型的拉拔荷載-位移曲線，如圖2 所示，提出錨固段從加載到破壞分為彈性變形、塑性滑移變形和脫粘變形3個(gè)階段，進(jìn)而提煉出錨固段界面層的剪應(yīng)力-位移本構(gòu)關(guān)系，如圖3 所示。（圖2、3均引自文獻(xiàn)[3]）

圖2 荷載-位移曲線[3]Fig.2 Curve of load-displacement[3]

圖3 荷載-位移本構(gòu)關(guān)系[3]Fig.3 Constitutive relation of load-displacement[3]

3.2 接觸面法向行為

當(dāng)接觸面的法向應(yīng)力小于接觸面的抗拉強(qiáng)度時(shí)，接觸面為閉合狀態(tài)，此時(shí)接觸面?zhèn)鬟f法向應(yīng)力。當(dāng)接觸面的法向應(yīng)力大于等于接觸面的抗拉強(qiáng)度時(shí)，接觸條件從閉到開時(shí)，不傳遞法向應(yīng)力，法向應(yīng)力得到釋放。

3.3 接觸面切向行為

當(dāng)接觸面剪切應(yīng)力達(dá)到臨界剪應(yīng)力值之前，不會(huì)發(fā)生切向運(yùn)動(dòng)；當(dāng)?shù)扔诨虺^臨界剪應(yīng)力時(shí)，接觸面之間會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。此時(shí)應(yīng)力進(jìn)行重新調(diào)整，峰值向內(nèi)部轉(zhuǎn)移。

接觸面從穩(wěn)定到滑移到失效的變化過程，實(shí)質(zhì)是材料力學(xué)性能在外載的強(qiáng)迫作用下發(fā)生損傷劣化的過程。本文將采用鋼絞線、砂漿及其相互接觸面的有限元精細(xì)化模型，建立界面損傷軟化精細(xì)模型，探索錨段應(yīng)力分布及其傳遞變化規(guī)律，通過試驗(yàn)與數(shù)值分析對(duì)比，驗(yàn)證其合理性。有關(guān)這方面的報(bào)道還很少，本文試圖在此進(jìn)行一些有益的嘗試。

4 接觸面損傷軟化本構(gòu)模型建立

4.1 基本原則

接觸單元由薄層實(shí)體和接觸元件串聯(lián)而成，見圖4，具有以下兩條基本原則：應(yīng)變迭加原則，單元的應(yīng)變?cè)隽康扔趯?shí)體與接觸面的應(yīng)變?cè)隽恐?；?yīng)力-致原則，單元、實(shí)體塊和接觸面的應(yīng)力增量相等[14]。下面的公式可參考文獻(xiàn)[14]。

在有限元計(jì)算中，這兩條原則可分別表示如下（小寫字母下標(biāo)表示在局部坐標(biāo)下的量，大寫字母下標(biāo)表示在整體坐標(biāo)下的量，不帶下標(biāo)則表示等效后的接觸單元的量）：

（1）應(yīng)變迭加原則

式中：R為實(shí)體元件；J為接觸元件。

圖4 接觸單元模型Fig.4 Contact element model

（2）應(yīng)力一致原則

定義整體坐標(biāo)和局部坐標(biāo)下的應(yīng)力和應(yīng)變相互轉(zhuǎn)換關(guān)系為

式中：[T]j為整體局部坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。

根據(jù)彈黏塑性勢(shì)理論，各組成元件的彈黏塑性本構(gòu)關(guān)系均可寫為

式中：Δtn是在時(shí)間 tn的時(shí)步長(zhǎng)；[D]、分別是彈性矩陣、黏塑性應(yīng)變率；n為時(shí)步。

4.2 損傷變量的選取

根據(jù)彈黏塑性勢(shì)理論，Δt時(shí)步內(nèi)的黏塑性應(yīng)變?cè)隽繛?/p>

式中：Q為黏塑性勢(shì)函數(shù)，當(dāng)F=Q時(shí)，稱黏塑性流動(dòng)是關(guān)聯(lián)的，否則為非關(guān)聯(lián)；F為屈服開關(guān)函數(shù)，為流動(dòng)參數(shù)。

于是，黏塑性體積應(yīng)變?cè)隽繛?/p>

黏塑性偏應(yīng)變?cè)隽繛?/p>

應(yīng)變偏量的3個(gè)不變量分別為

于是，等效黏塑性偏應(yīng)變?cè)隽靠梢詫憺?/p>

因此，累積黏塑性體積應(yīng)變、累積等效黏塑性偏應(yīng)變分別為（文中的一些推導(dǎo)可以參考文獻(xiàn)[15]）

通常，在實(shí)際錨固工程中接觸面會(huì)在外載的作用下受到不同程度的損傷，其材料性質(zhì)在一定程度上的弱化可以采取一些指標(biāo)進(jìn)行衡量，主要體現(xiàn)為法向剛度Kn、切向剛度Ks、彈性模量E、摩擦角φ、凝聚力c、流變系數(shù)γ 的降低和泊松比μ 的升高。一般而言，接觸面材料性質(zhì)在外載作用下會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生變化的，具體表現(xiàn)為彈性指標(biāo)、強(qiáng)度指標(biāo)和流變參數(shù)的逐步劣化。

周華[16]利用取累積等效黏塑性偏應(yīng)變研究了巖體松弛巖體力學(xué)參數(shù)的損傷及演化。本文在此基礎(chǔ)上將其拓展到接觸面力學(xué)參數(shù)損傷軟化上，可以將接觸面各力學(xué)參數(shù)變化的具體形式寫為（本文只列出法向剛度、切向剛度的參數(shù)變化推導(dǎo)過程，其他的如彈性模量、泊松比、凝聚力、內(nèi)摩擦角和流變系數(shù)依次類推）：

式中：Kn0、Ks0分別為接觸面初始狀態(tài)的法向剛度、切向剛度；Knr、Ksr為接觸面損傷后殘余狀態(tài)的參數(shù)；為一定累積等效黏塑性偏應(yīng)變下接觸面損傷后的力學(xué)參數(shù)；分別為力學(xué)參數(shù)隨累積等效黏塑性偏應(yīng)變單調(diào)遞增的函數(shù)，可以采用線性函數(shù)或其他非線性函數(shù)。

引入損傷的概念，則參數(shù)變化的具體形式可寫為

若損傷接觸面各力學(xué)參數(shù)隨累積等效黏塑性偏應(yīng)變單調(diào)遞增的函數(shù)均采用線性函數(shù)，則法向剛度、切向剛度損傷變量與等效黏塑性偏應(yīng)變的關(guān)系曲線如圖5～7 表示。

圖5 法剛及其損傷變量與等效黏塑性偏應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.5 Curves of normal stiffness and its damage variableequivalent viscoplastic deviator strain.

圖6 切向剛度及其損傷變量與等效黏塑性偏應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.6 Curves of shear stiffness and its damage variableequivalent viscoplastic deviator strain

圖7 彈性模量及其損傷變量與等效黏塑性偏應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.7 Curves of elastic modulus and its damage variableequivalent viscoplastic deviator strain

4.3 彈黏塑性損傷本構(gòu)模型

對(duì)實(shí)體和接觸元件分別進(jìn)行具體化，接觸面進(jìn)入塑性階段后，某時(shí)刻損傷后的本構(gòu)關(guān)系如下：

4.3.1 實(shí)體元件的本構(gòu)關(guān)系

彈性矩陣可表示為

采用Drucker-Prager 屈服準(zhǔn)則：

式中：φR、cR分別為內(nèi)摩擦角、凝聚力。

假定關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則成立，即

則黏塑性應(yīng)變率為

式中：γR為流動(dòng)參數(shù)。

4.3.2 接觸元件的本構(gòu)關(guān)系

彈性矩陣：

式中：knj=Kn0(1-Dkn)、ksj=Ks0(1-Dks)分別為法向和切向剛度系數(shù)。

黏塑性應(yīng)變率為

屈服函數(shù)取Mohr-Coulomb 模型：

式中：cj、φj分別為凝聚力、內(nèi)摩擦角；γj為流動(dòng)參數(shù)，形式分別如式（25）、（26）、（29）。

4.3.3 單元的本構(gòu)關(guān)系

將式（31）、（28）代入式（1），即可得到接觸單元的本構(gòu)方程：

5 算例分析

顧金才等[17]對(duì)預(yù)應(yīng)力錨索內(nèi)錨固段受力進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)，采用該試驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬對(duì)比。取尺寸5 m×5 m×5 m 的立方體進(jìn)行分析。表1為試驗(yàn)參數(shù)，表2為注漿材料力學(xué)指標(biāo)。張拉步驟：先用小千斤頂進(jìn)行3 次單根循環(huán)張拉，每次荷載增量ΔP=120 kN(6×20 kN)，然后使用大千斤頂進(jìn)行整體張拉，整體張拉的第一級(jí)荷載P=400 kN，以后每級(jí)荷載增量為ΔP=50 kN，I號(hào)錨索最大張拉荷載為1 000 kN。

表1 試驗(yàn)錨索編號(hào)及其主要特征Table 1 Numbering and main characteristics of cable

表2 注漿材料主要力學(xué)指標(biāo)Table 2 Mechanical parameters of grouting materials

圖8為鋼絞線布置圖。圖9為有限元網(wǎng)格，共有21 925個(gè)單元，20 520個(gè)節(jié)點(diǎn)。表3為實(shí)體材料力學(xué)參數(shù)。表4為接觸面力學(xué)參數(shù)。有限元接觸面是用含有1 mm 的接觸單元模擬的。

表3 材料的力學(xué)參數(shù)Table 3 Mechanical parameters of materials

表4 接觸面的力學(xué)參數(shù)Table 4 Mechanical parameters of interfaces

圖8 鋼絞線布置圖Fig.8 Distributions of steel stranded wires

圖9 有限元網(wǎng)格Fig.9 FE meshes

圖10為接觸面剪應(yīng)力沿錨固段長(zhǎng)度分布試驗(yàn)值，從試驗(yàn)值可以看出，注漿體與巖體之間接觸面在距端口0.25 m 處出現(xiàn)一定程度的損傷軟化，在數(shù)值分析計(jì)算中認(rèn)為此部分隨著荷載加大到400 kN，其材料參數(shù)不斷損傷軟化。0～0.1 m 處材料強(qiáng)度參數(shù)降到0，0.1～0.2 m 處材料強(qiáng)度參數(shù)降到1/2，0.20～0.25 m 處材料強(qiáng)度參數(shù)降到1/3，各參數(shù)等效黏塑性偏應(yīng)變閥值均取為1.0×10-3。圖11、12為有限元數(shù)值模擬的計(jì)算結(jié)果，從圖中可以看出，數(shù)值分析反映的錨固段應(yīng)力變化規(guī)律與試驗(yàn)基本一致，且具有以下特點(diǎn)：

（1）注漿體與鋼絞線之間的剪應(yīng)力分布特點(diǎn)

剪應(yīng)力在內(nèi)錨段端口呈現(xiàn)峰值，往里呈指數(shù)型衰減，峰值剪應(yīng)力為平均剪應(yīng)力的8～10 倍，分布范圍集中在距端口2 m 內(nèi)。峰值沒有隨著荷載的增大往里衰減，說明注漿材料與鋼絞線粘結(jié)效果較好。

圖10 接觸面剪應(yīng)力沿內(nèi)錨段長(zhǎng)度分布狀態(tài)試驗(yàn)值Fig.10 Shear stress of interface along the anchoring segment for prestressed anchor cable(test)

圖11 接觸面剪應(yīng)力沿內(nèi)錨段長(zhǎng)度分布有限元值Fig.11 Shear stress of interface along the anchoring segment for prestressed anchor cable(FEM)

圖12 1#鋼絞線軸應(yīng)力沿內(nèi)錨段長(zhǎng)度分布有限元值Fig.12 Axial stress of steel stranded wires 1# along the anchoring segment for prestressed anchor cable(FEM)

（2）注漿體與巖體之間的剪應(yīng)力分布特點(diǎn)

注漿體與巖體之間的剪應(yīng)力分布也是不均勻的，在內(nèi)錨段端口附近有高度的剪應(yīng)力集中，其峰值剪應(yīng)力可大平均剪應(yīng)力的4～8 倍。剪應(yīng)力的分布范圍集中在距端口2 m 內(nèi)，剪應(yīng)力峰值和分布范圍隨著錨索張力的增大而增大。但峰值點(diǎn)的位置和損傷長(zhǎng)度幾乎不變，說明距端口0.25 m 處注漿材料與巖體粘結(jié)效果沒有里面好。

（3）鋼絞線軸應(yīng)力分布特點(diǎn)

鋼絞線的軸應(yīng)力分布也是不均勻的，與注漿體和鋼絞線接觸面剪應(yīng)力的分布形式相似，峰值隨深度增加急劇減小，軸應(yīng)力的分布范圍集中在距端口2 m 內(nèi)，軸應(yīng)力峰值和分布范圍隨著錨索張力的增大而增大，當(dāng)超過2 m 后應(yīng)力分布不明顯，幾乎為0。

5 結(jié) 語

本文建立了包含鋼絞線、砂漿、接觸面的損傷軟化精細(xì)有限元模型，研究錨固段應(yīng)力分布變化過程。該模型優(yōu)點(diǎn)是精細(xì)地描述了鋼絞線、砂漿和接觸面等結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為，可以反映接觸面力學(xué)材料損傷軟化過程，更加符合實(shí)際情況，常規(guī)有限元難以體現(xiàn)這一變化過程。為檢驗(yàn)其正確性，與現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果顯示，計(jì)算分析反映的錨固段應(yīng)力變化規(guī)律與試驗(yàn)基本一致。隨著荷載不斷加大，錨固段接觸面上的剪應(yīng)力峰值由端口往里轉(zhuǎn)移。當(dāng)端口處于彈性階段峰值在端口，呈指數(shù)衰減模式；當(dāng)端口處出現(xiàn)損傷軟化，峰值往里轉(zhuǎn)移。

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