一種快速高精度的改進(jìn)Fitz頻率估計算法

王 芳，陳 勇，葉志清

(江西師范大學(xué)物理與通信電子學(xué)院，江西南昌330022)

0 引言

白噪聲環(huán)境下復(fù)正弦信號的頻率估計在雷達(dá)、聲納、數(shù)據(jù)測量、載波恢復(fù)、語音編碼、感知陣列等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如何從N個離散采樣點中求解信號的頻率是信號估計領(lǐng)域一個熱點問題.早在1974年，D.C.Rife等［1］就提出了頻率估計方差可以達(dá)到克拉美勞下限(CRB)的最大似然(ML)頻率估計方法.從統(tǒng)計學(xué)意義上講，ML方法是性能最優(yōu)的頻率估計方法，但該算法計算復(fù)雜、速度慢、且不利于實時處理，一般很少直接采用ML估計.為實現(xiàn)快速高精度頻率估計，國內(nèi)外學(xué)者提出了很多次優(yōu)的頻率估計算法，本文將其歸納為以下的3種類型.

1)子空間類算法.此類算法中最具代表性的有:多重信號分類算法(MUSIC)［2］、子空間旋轉(zhuǎn)不變算法(ESPRIT)［3］等現(xiàn)代譜估計算法.它們利用信號協(xié)方差矩陣的特征向量張成信號子空間和噪聲子空間，從而得到頻譜估計的幾何解，其特點是頻率分辨率高，但運(yùn)算量大，不利于實時處理;

2)頻域估計算法.此類算法通常采用FFT譜線內(nèi)插的方法獲得較精確的頻率估計.D.C.Rife算法是對幅度最大的2根譜線的幅度進(jìn)行內(nèi)插，而B.G.Quinn算法［4］是對譜線幅度之比的實部進(jìn)行插值.D.C.Rife算法與B.G.Quinn算法的計算量小，實現(xiàn)簡單，但隨著信號頻率變化，其估計性能波動很大.尤其是在低信噪比下，對于某些特定的頻率點，噪聲會使得插值出現(xiàn)方向性錯誤而導(dǎo)致估計性能急劇惡化.MRife算法［5］通過人為引入一定的頻偏，在一定程度上避免了出現(xiàn)插值方向性錯誤，但與此同時卻大大增加了頻率估計的時延，不適合對突發(fā)信號的頻率估計;

3)時域估計算法.S.A.Tretter最早提出利用信號的瞬時相位進(jìn)行頻率估計［6］，其頻率估計方差理論上可達(dá)到CRB.但實際上，瞬時相位只能在主值范圍內(nèi)測量，而在觀測期間相位的變化范圍一般遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過2π，即在相位測量中存在模糊問題.S.Kay提出利用信號的相位差進(jìn)行頻率估計［7］，簡單而有效地解決了相位模糊問題，但分析表明Kay算法的信噪比閾值較高.M.P.Fitz進(jìn)一步提出不僅可以利用相鄰采樣點的相位差，還可利用相距較遠(yuǎn)的采樣點的相位差［8］，即以自相關(guān)函數(shù)相位加權(quán)平均實現(xiàn)頻率估計，在低信噪比時取得了較Kay算法更佳的頻率估計性能，其信噪比閾值可達(dá)-10 dB，但付出的代價是頻率估計范圍減?。?］.M.Luise 等［10］提出的加權(quán)線性預(yù)測頻率估計方法與Fitz算法的原理基本一致.

U.Mangali等［11］提出利用相關(guān)函數(shù)的相位差來估計頻率，使頻率估計范圍大大增加，但計算量比Fitz法和LR法略大，且信噪比閾值在0 dB以上.

綜上所述，子空間類算法的估計精度高但實時性差，頻域估計算法的實時性強(qiáng)但估計精度不足，而時域估計算法，特別是Fitz算法，在實時性以及估計精度方面取得折中，因此在工程中獲得廣泛應(yīng)用［12-15］.基于此，本文在Fitz算法的基礎(chǔ)上，提出了一種基于修正自相關(guān)函數(shù)的改進(jìn)Fitz頻率估計算法.與Fitz算法相比，改進(jìn)算法沒有額外增加計算復(fù)雜度，但卻進(jìn)一步提高了頻率估計精度，因此具有一定的工程實用價值.

1 Fitz算法與其性能分析

AWGN背景中的單一頻率復(fù)正弦信號的觀測序列可表示為

其中復(fù)正弦信號的幅度A、頻率ω以及初始相位θ為確定參數(shù)，但大小未知.假設(shè)z(n)為0均值復(fù)白高斯噪聲，z(n)=zr(n)+jzi(n)，其中zr(n)與zi(n)均為實高斯隨機(jī)變量，其均值為0，方差為/2，且zr(n)和zi(n)之間不相關(guān).定義信號x(n)的信噪比為 SNR=A2/.本文主要關(guān)注未知參數(shù)(A，ω，θ)中頻率ω的估計問題，而對頻率ω的最大似然估計等價于搜尋信號x(n)的周期圖的最高峰，即

對(2)式中的似然方程關(guān)于頻率ω求導(dǎo)數(shù)，令其結(jié)果為0，并經(jīng)過簡單整理后得

其中

為非歸一化相關(guān)函數(shù)，(4)式中，［·］*表示求共軛.在無噪聲的情況下，易知相關(guān)函數(shù)為R∧N(m)=K·exp［jωm］.在相關(guān)函數(shù)R∧N(m)的相位中正好包含了需要估計的頻率信息，即arg{R∧N(m)}=mω，其中arg{·}表示求相位值.

假設(shè)信噪比足夠高，可以得到如下的近似結(jié)果

將(5)式代入(3)式得

通過求解(6)式得頻率估計為

但為避免在求解相關(guān)函數(shù)R∧N(m)的相位時出現(xiàn)相位模糊問題，在(7)式中通常僅利用J項相關(guān)函數(shù)來估計頻率ω，其中J?N，則此時頻率估計為

仿真分析同樣表明，即使當(dāng)信噪比足夠大時，F(xiàn)itz算法的頻率估計方差仍然與CRB存在較大的差距.因此，F(xiàn)itz算法的頻率估計性能仍有待進(jìn)一步提高.本文將自定義的修正自相關(guān)函數(shù)引入Fitz算法，提出了一種改進(jìn)的Fitz算法.新算法不僅沒有明顯增加計算復(fù)雜度，即保留了時域頻率估計算法的實時性強(qiáng)的優(yōu)點，而且同時又取得了更好的頻率估計精度.

2 基于修正自相關(guān)函數(shù)的改進(jìn)Fitz算法

其中

是使得WLP算法的頻率估計方差達(dá)到最小的一組加權(quán)值，本文中簡稱為Kay窗函數(shù).

仿真分析表明:隨著信噪比的增加，UWLP算法的頻率估計方差始終無法達(dá)到CRB，而WLP算法的頻率估計方差卻能夠逐漸接近并最終達(dá)到CRB.導(dǎo)致出現(xiàn)上述差別的原因正是由于在計算自相關(guān)函數(shù)N(1)時，UWLP算法采用了均勻加權(quán)，而WLP算法采用了Kay窗函數(shù)加權(quán).

其中

是對Kay窗函數(shù)w(k)的推廣.特別地，當(dāng)m=1時，w(m，k)等于Kay窗函數(shù)w(k)，因此不妨將w(m，k)稱為廣義Kay窗函數(shù).改進(jìn)的Fitz算法為

即通過計算修正自相關(guān)函數(shù)相位arg{R∧W(m)}的加權(quán)和得到頻率估計值.

為方便起見，下文中將改進(jìn)的Fitz算法簡記為mFitz算法.對比(8)式和(14)式不難發(fā)現(xiàn)，mFitz算法相對于Fitz算法并未明顯增加計算復(fù)雜度，但由于mFitz算法借鑒了WLP算法的思路，即在自相關(guān)函數(shù)時采用了廣義Kay窗函數(shù)加權(quán)，因此有望取得較Fitz算法更佳的頻率估計精度.文中的仿真分析證明了這一點.

基于修正自相關(guān)函數(shù)的mFitz頻率估計器的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示.在實際應(yīng)用中，假設(shè)信號x(n)的長度N已知，可以按照(13)式事先計算出所有的廣義Kay窗函數(shù)系數(shù)w(m，k)，并保存在ROM存儲器中.在利用mFitz算法估計信號頻率時，直接查找相應(yīng)的廣義Kay窗函數(shù)系數(shù)w(m，k)即可，從而使得硬件實現(xiàn)系統(tǒng)(如DSP系統(tǒng))的運(yùn)算量進(jìn)一步下降.

圖1 改進(jìn)的Fitz頻率估計器

3 仿真分析

采用Monte-Carlo計算機(jī)模擬方法，對WLP、UWLP、Fitz、mFitz等時域頻率估計算法進(jìn)行了仿真分析.仿真條件為:數(shù)據(jù)長度 N=24，頻率 ω=0.1π rad·s-1，信噪比從 -10 dB增加至40 dB，考慮3 種 J的取值情況即J=1，2，3，Monte Carlo計算機(jī)模擬次數(shù)為5000次.

圖2給出了 Fitz算法的頻率估計方差仿真結(jié)果.為方便對比不同仿真條件下的頻率估計方差，圖2及其它仿真圖形中將方差大小以對數(shù)的形式表示，即10log(1/var()).圖2表明:1)Fitz算法的頻率估計方差隨著信噪比增加而逐漸減小;2)J的取值越大，F(xiàn)itz算法的頻率估計方差就越接近CRB;3)當(dāng)信噪比達(dá)到40 dB時，對應(yīng)J=3的頻率估計方差曲線與CRB之間仍然存在著約3 dB的差距.

圖3對比了WLP算法與UWLP算法的頻率估計方差.圖3表明:隨著信噪比的增加，UWLP算法的頻率估計方差同樣無法達(dá)到CRB;而WLP算法的頻率估計方差能夠隨著信噪比的增加逐漸接近并最終達(dá)到CRB.

圖2 Fitz算法的頻率估計方差

圖3 WLP與UWLP算法的頻率估計方差

圖4給出了當(dāng) N=24，ω=0.1π rad·s-1時mFitz算法的頻率估計方差仿真結(jié)果，而圖5仿真了當(dāng)N=48，ω=0.2π rad·s-1時mFitz算法的頻率估計方差.圖4和圖5表明:1)隨著信噪比的增加，mFitz算法的頻率估計方差逐漸減小;2)J的取值越大，mFitz算法的頻率估計方差就越接近CRB;3)與Fitz算法不同，mFitz算法在信噪比足夠高時，其頻率估計方差能夠逐漸接近并最終達(dá)到CRB.

圖4 改進(jìn)Fitz方法的頻率估計方差

圖5 改進(jìn)Fitz方法的頻率估計方差

圖6 時域頻率估計算法對比

圖7 時域頻率估計算法對比

4 結(jié)論

時域頻率估計算法具有實時性強(qiáng)與估計精度高等優(yōu)點，已在工程中獲得廣泛應(yīng)用.Fitz算法相對于其它時域頻率估計算法具有較低的信噪比閾值，但分析表明當(dāng)信噪比高達(dá)40 dB時，F(xiàn)itz算法的頻率估計方差仍然與CRB之間存在著較明顯的差距.本文提出了一種改進(jìn)的Fitz頻率估計算法，首先定義一種廣義Kay窗函數(shù)加權(quán)的修正自相關(guān)函數(shù)，然后計算修正自相關(guān)函數(shù)相位的加權(quán)和，最終得到復(fù)正弦信號的頻率估計值.分析表明:1)改進(jìn)Fitz算法相對于Fitz算法在頻率估計方差方面有較明顯的改善;2)改進(jìn)Fitz算法的計算復(fù)雜度并未明顯增加;3)在現(xiàn)有的時域頻率估計算法中，改進(jìn)Fitz算法在兼顧實時性的同時，取得了更高的頻率估計精度，具有較好的工程實用價值.

［1］ Rife D C，Boorstyn R.Single tone parameter estimation from discrete-time observations［J］.Information Theory，1974，20(5):591-598.

［2］Schmidt R O.Multiple emitter location and signal parameter estimation ［J］.IEEE Transactions onAntennas and Propagation，1986，34(3):276-280.

［3］Roy R，Kailath T.ESPRIT-estimation of signal parameters via rotational invariance techniques ［J］.Acoustics，Speech and Signal Processing，1989，37(7):984-995.

［4］ Quinn B G.Estimating frequency by interpolation using Fourier coefficients［J］.Signal Processing，1997，28(2):113-122.

［5］鄧振淼，劉渝.正弦波頻率估計的牛頓迭代方法初始值研究［J］.電子學(xué)報，2007，35(1):104-107.

［6］Tretter SA.Estimating the frequency of a noisy sinusoid by linear regression ［J］.Information Theory，1985，31(6):832-835.

［7］ Kay S.A fast and accurate single frequency estimator［J］.Acoustics，Speech and Signal Processing，1989，37(12):1987-1990.

［8］Fitz M P.Further results in the fast estimation of a single frequency［J］.Communications，1994，42(2/4):862-864.

［9］齊國清，呂健.基于自相關(guān)函數(shù)相位的頻率估計方法方差分析［J］.大連海事大學(xué)學(xué)報，2007，33(4):5-9.

［10］Luise M，Reggiannini R.Carrier frequency recovery in alldigitalmodems for burst-mode transmissions［J］.Communications，IEEE Transactions on，1995，43(234):1169-1178.

［11］MengaliU，Morelli M.Data-aided frequency estimation for burst digital transmission ［J］.Communications，IEEE Transactions on，1997，45(1):23-25.

［12］Cui Yang，Gang Wei，Chen Fangjiong.An estimation-range extended autocorrelation-based frequency estimator［J］.EURASIP Journal onAdvances in Signal Processing，2009(10):961938.

［13］楊德釗，宋凝芳，林志立，等.基于自相關(guān)及相位差法的高精度頻率估計算法［J］.北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2011，37(8):1030-1033.

［14］ Fu H，Kam P Y.Sample-autocorrelation-function-based frequency estimation of a single sinusoid inAWGN［C］//IEEE 75thVehicular Technology Conference，Yokohama，2012:1-5.

［15］曹燕.含噪實信號頻率估計算法研究［D］.廣州:華南理工大學(xué)，2012.

［16］鄒昕，葉志清.基于量子雙向傳態(tài)的多方量子通信網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建方案［J］.江西師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2013，37(5):492-496.

［17］Lank G W，ReedI S，Pollon G E.A semicoherent detection and Doppler estimation statistic［J］.Aerospace and Electronic Systems，1973，9(2):151-165.

［18］吳柳雯，葉志清.用4粒子Ω糾纏態(tài)實現(xiàn)多粒子隱形傳態(tài)［J］.江西師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2013，37(6):561-564.