基于雙框架變速控制力矩陀螺的航天器姿態(tài)控制研究

陳 璐，袁建平

（西北工業(yè)大學 航天飛行動力學技術(shù)重點實驗室，陜西 西安 710072）

隨著空間技術(shù)的快速發(fā)展，許多空間任務對航天器的姿態(tài)機動能力有更高的要求，快速、穩(wěn)定、高精度的姿態(tài)控制系統(tǒng)成為空間技術(shù)的重要研究方向。

目前用于衛(wèi)星姿態(tài)機動主動控制的執(zhí)行機構(gòu)類型主要有推力器、反作用飛輪、控制力矩陀螺等?？刂屏赝勇莅▎慰蚣芸刂屏赝勇?（SGCMG）和雙框架控制力矩陀螺（DGCMG）。如果轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速可變，兩者又可變?yōu)樽兯倏刂屏赝勇荩╒SCMG）和雙框架變速控制力矩陀螺（DGV）?？刂屏赝勇莸墓ぷ髟硎?，高速轉(zhuǎn)子（以下也稱飛輪）自轉(zhuǎn)軸方向繞框架軸轉(zhuǎn)動，引起飛輪自轉(zhuǎn)角動量進動而輸出力矩。相比RW，CMG的輸出力矩則大得多，且響應速度更快，功耗更低且使用壽命長?？刂屏赝勇莸倪@些優(yōu)點，使其成為最有前景的航天器姿態(tài)執(zhí)行機構(gòu)，并在國內(nèi)外的許多航天器系統(tǒng)中（如 “ISS”和天宮一號等）得到應用[1-2]。

VSCMG比CMG多一個自由度，因此可以避免CMG群的奇異性。VSCMG是Ford和Hall等人[3]在1997年的AAS/AIAA的飛行力學專業(yè)會議上以“框架動量輪”的形式首次提出的。Schaub等人[4]將其命名為VSCMG，并推導基于單CMG和多CMG航天器的動力學方程，并設計了基于速度、加速度的操縱律實現(xiàn)航天器的姿態(tài)控制。Yoon研究了基于一個VSCMG的航天器角速度和姿態(tài)控制問題[5]，研究了VSCMG群的奇異特性，提出了避免奇異的零運動方法，研究了基于VSCMG航天器的能量/姿態(tài)一體化控制系統(tǒng)的自適應控制律。

從上世紀60年代開始，基于DGCMG的航天器姿態(tài)控制成為研究的熱點。Bauer[6]采用四桿連接的分析方法研究了基于DGCMG航天器的運動學和動力學方程。Ahmed[7]利用Lagrange方程建立了DGCMG的動力學模型，研究了一種自適應反饋控制律來實現(xiàn)姿態(tài)跟蹤。Liu等人[8]提出了一種采用轉(zhuǎn)子可變速DGCMG為執(zhí)行機構(gòu)的空間飛行器姿態(tài)最優(yōu)控制律，采用連續(xù)逼近方法，通過變分法估計性能指標變化，應用最速下降法和共軛梯度法得到期望解。周荻[9]研究了基于DGCMG群的航天器姿態(tài)動力學模型，設計了穩(wěn)定的非線性控制律和奇異魯棒+零運動操縱律，并進行了不同構(gòu)型DGCMGs系統(tǒng)的奇異性分析。

無論是VSCMG還是DGCMG，它們都只有兩個自由度，無法實現(xiàn)三維的姿態(tài)控制，為此，文中研究了雙框架變速控制力矩陀螺（DGV）。由于DGV有3個自由度，其能完成三維的航天器姿態(tài)機動。本文推導了基于DGV的航天器姿態(tài)動力學模型，然后用Lyapunov穩(wěn)定性理論設計了該非線性系統(tǒng)的控制律和操縱律，并研究了基于加速度的操縱律，仿真結(jié)果表明，該執(zhí)行機構(gòu)能夠很好地實現(xiàn)航天器三維的姿態(tài)跟蹤和快速機動。

1 基于DGV的航天器姿態(tài)動力學模型

如圖1所示，DGV主要由外框架、內(nèi)框架、轉(zhuǎn)子和力矩電機等一些其它附件組成。外框架軸與內(nèi)框架軸互相垂直，內(nèi)框架軸與轉(zhuǎn)子軸互相垂直，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速可變，因此DGV系統(tǒng)具有3個轉(zhuǎn)動自由度。

圖1 DGV結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 The structure of a DGV

本文將航天器本體部分視作剛體，由于控制力矩陀螺框架連同轉(zhuǎn)子相對于上述部分發(fā)生轉(zhuǎn)動，所以以控制力矩陀螺系統(tǒng)作為執(zhí)行機構(gòu)的剛體航天器為多剛體系統(tǒng)?；诖耍疚臄M采用矢量力學建模方法。此外，本文研究中還做出如下假設：假設DGV的框架、轉(zhuǎn)子質(zhì)量均勻分布，安裝也完全對稱。因此，DGV的內(nèi)外框架及轉(zhuǎn)子質(zhì)心重合，即為DGV的質(zhì)心，由此得出基于DGV的航天器系統(tǒng)質(zhì)心位置保持不變。

1.1 坐標系定義及轉(zhuǎn)換關(guān)系

定義N-xNyNzN為慣性坐標系，簡寫為{N}；定義C-xByBzB為航天器本體坐標系，質(zhì)心為航天器質(zhì)心C，簡寫為{B}；定義O-xFyFzF、O-xGyGzG、O-xHyHzH分別為 DGV 的外框架、內(nèi)框架和轉(zhuǎn)子固連的坐標系，簡寫為 {F}、{G}、{H}，三者質(zhì)心均為DGV的質(zhì)心O，單位向量分別為{f→1，f→2，f→3}、{g→1，g→2，g→3}、{h→1，h→2，h→3}。

矩陣[AB]表示坐標系 A 相對于 B 的方向余弦，[Mi（α）]表示繞某一固定軸旋轉(zhuǎn)角度的旋轉(zhuǎn)矩陣。外框架坐標系（F系）到內(nèi)框架坐標系（G系），內(nèi)框架坐標系（G系）到轉(zhuǎn)子坐標系（H系）的歐拉角分別為ψ和θ，其旋轉(zhuǎn)軸分別為f→3和g→2。本文中，左上標表示坐標系，右上標表示坐標原點。

坐標系之間的轉(zhuǎn)換矩陣如下：

其中，[BF]表示DGV的安裝矩陣，是固定的。

坐標系間的相對角速度可以用角速率與旋轉(zhuǎn)軸的乘積表示：

1.2 航天器姿態(tài)運動學方程

由于四元數(shù)在描述剛體轉(zhuǎn)動時有以下優(yōu)點：不包含三角函數(shù)、運算簡單、沒有奇點等，所以文中采用四元數(shù)作為姿態(tài)描述參數(shù)，基于四元數(shù)的航天器姿態(tài)運動方程為：

1.3 基于DGV的航天器姿態(tài)動力學方程

航天器系統(tǒng)關(guān)于其質(zhì)心C的角動量為：

將上式投影到本體系B下，并將轉(zhuǎn)動慣量的導數(shù)代入，整理可得精確的基于DGV的航天器姿態(tài)動力學方程：

其中，[I]=B[I]=B[IS]+B[IG]+B[IG]+B[IH]+B[IW]，T→ext表示航天器所受的外力矩，兩者都是在本體系B下。

2 控制系統(tǒng)設計

從基于DGV的航天器系統(tǒng)動力學模型中我們可以看出，DGV的輸出力矩是三維的，而其他附加項對航天器本體的作用也是在三維，所以，必須設計穩(wěn)定的控制律，以實現(xiàn)航天器的三維姿態(tài)機動。本節(jié)的主要目標就是，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定理論，設計一種穩(wěn)定的控制律，能實現(xiàn)航天器跟蹤期望的姿態(tài)軌跡。

2.1 控制律設計

本節(jié)控制律設計的目的就是，使本體坐標系B和參考系R之間的角速度、姿態(tài)趨于0。

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

對Lyapunov函數(shù)進行微分：

Lyapunov穩(wěn)定性理論要求V˙必須是負半定，才能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設P為一正定的角速度反饋增益矩陣，則V˙可表示為

結(jié)合兩式，可得穩(wěn)定性約束為：

參考轉(zhuǎn)移定理，可得如下關(guān)系

將基于DGV的航天器姿態(tài)動力學方程（9）代入式（18），整理可得如下的Lyapunov穩(wěn)定性約束：

上式被稱作“控制律”。

2.2 基于速度的操縱律設計

為了盡可能發(fā)揮“力矩放大效應”，操縱律方程（24）中框架轉(zhuǎn)動角速度項要盡可能大，而慣性項（加速度項）應盡可能小，因此，忽略框架的加速度項ψ¨和θ¨，可得如下的操縱律方程：

上式與VSCMG的操縱律方程相似，但又包含二次項和。由于二次項的存在，VSCMG的相關(guān)操縱律解法并不適用。因此，本文采用牛頓法直接求解上述操縱律方程[17]。

其中，[R]、[S]分別為[3×1]和[3×3]矩陣，但其中每一項都為[3×1]向量，具體如下：

上述操縱律方程不能解析求解，但可以用牛頓法求解如下方程組的根：

忽略二次項，可以得到如下的初值猜測：

采用下式進行循環(huán)迭代，直至誤差|f（u→）|足夠?。?/p>

在文中后面的仿真過程中，誤差限取為10－9N·m。仿真結(jié)果表明，避免奇異的情況下，操縱律方程可以很快求得結(jié)果。

3 仿真及結(jié)果分析

文中基于Matlab仿真環(huán)境編制程序來驗證所推導的航天器姿態(tài)動力學模型及非線性反饋控制律和操縱律。航天器各部分的轉(zhuǎn)動慣量矩陣如下：

B[IS]=diag（[15 45 30]） kg·m2G[IG]=diag（[0.04 0.02 0.02]） kg·m2H[IH]=diag（[0.02 0.02 0.04]） kg·m2H[IW]=diag（[0.3 0.2 0.2]） kg·m2

航天器的姿態(tài)跟蹤主要研究對于期望機動軌跡的跟蹤問題，文中選取四元數(shù)為姿態(tài)描述參數(shù)，四元數(shù)以正弦規(guī)律變化，可以求得期望角速度也按正弦規(guī)律變化。參考軌跡姿態(tài)四元數(shù)的初值為q→（t0）=[0.5 0.5 0.5 0.5]，角速度初值為w→（t0）=[－0.05 0.2 0]rad/s。轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速初值為 Ω（t0）=500 rad/s，內(nèi)外框架角、框架角速率初值均為0。

仿真中采用本文所設計的非線性反饋控制律和基于加速度的操縱律，具體的仿真參數(shù)為K=200，[P]=diag（[200 200 200]），Kψ˙=0.04，Kθ˙=0.2。 仿真時間設定為 60 s，仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。

圖2 航天器姿態(tài)（四元數(shù)描述）Fig.2 Attitude of spacecraft body（quaternion）

圖3 航天器本體角速度Fig.3 Angular velocity of spacecraft body

圖4 框架角度Fig.4 Gimbal angles

圖5 框架角速率Fig.5 Gimbal rates

圖2 、3可以看出，在仿真時間15 s左右，航天器的跟蹤誤差已經(jīng)很小，達到10－4量級，由此可以說明基于加速度的操縱律，能很好地實現(xiàn)航天器的姿態(tài)跟蹤。圖4、5顯示了在姿態(tài)跟蹤過程中框架角和框架角速率的變化曲線，其中轉(zhuǎn)子的角速度在500 rad/s附近。圖5中，在28 s附近，內(nèi)框架角速率有一處波動，這是由于此時內(nèi)框架通過奇異位置（θ=－90°），和前文的奇異分析很好地吻合。

4 結(jié) 論

本文推導了精確的基于DGV航天器系統(tǒng)的數(shù)學模型，并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論設計穩(wěn)定的反饋控制律和操縱律，實現(xiàn)跟蹤參考軌跡。研究了更為精確的基于加速度的操縱律。仿真結(jié)果表明，一個DGV作為姿態(tài)執(zhí)行機構(gòu)即可完成航天器三維方向的姿態(tài)跟蹤。

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