防空導(dǎo)彈對直桿型殺傷模型單發(fā)殺傷概率計(jì)算＊

（海軍航空工程學(xué)院 煙臺 264001）

1 引言

由于不同目標(biāo)的要害分布以及性質(zhì)差別很大，所以在計(jì)算戰(zhàn)斗部條件殺傷概率時，要對目標(biāo)的要害分布類型做出假設(shè)。通常的假設(shè)方法有兩種：一是要害艙段殺傷模型，這是針對給定具體尺寸、位置、性質(zhì)的目標(biāo)時使用的模型；二是直桿型殺傷模型，它將目標(biāo)假設(shè)為由多條等效直桿組成，便于在不對特定的目標(biāo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行詳細(xì)分析時使用。本文探究的是利用概率密度積分法，提出了在針對直桿型殺傷模型時，防空導(dǎo)彈對其單發(fā)殺傷概率的計(jì)算方法。

2 單發(fā)殺傷概率一般表達(dá)式

[1]，防空導(dǎo)彈的單發(fā)殺傷概率在由脫靶量ρ，脫靶方位角θ以及xr軸構(gòu)成的圓柱坐標(biāo)系中可以寫為

式中Pf（ρ，θ）是脫靶條件為ρ，θ下，引信的啟動概率；fg（ρ，θ）是制導(dǎo)誤差為ρ，θ的二維分布密度函數(shù)；ff（xr｜ρ，θ）是引信啟動點(diǎn)一維坐標(biāo)xr分布密度函數(shù)。

定義引信戰(zhàn)斗部聯(lián)合條件殺傷概率Pdf（xr｜ρ，θ）為

綜上所述可得：

3 單發(fā)殺傷概率三維數(shù)字積分計(jì)算

在進(jìn)行三位數(shù)字積分之前，可先用簡化的解析法估算單發(fā)殺傷概率值。進(jìn)行簡化解析法計(jì)算時，假設(shè)目標(biāo)為單一直桿型模型，在制導(dǎo)脫靶的可能范圍內(nèi)啟動概率Pf＝1，同時只考慮戰(zhàn)斗部條件殺傷概率，系統(tǒng)誤差為0。通過參考文獻(xiàn)[1]中的公式，可以估算出：若戰(zhàn)斗部特征半徑與制導(dǎo)誤差的比值不小于4，則可以得到不低于98%的單發(fā)殺傷概率。

而在進(jìn)行三維數(shù)字積分時，由于彈目交會情況復(fù)雜，首先要將實(shí)際脫靶量ρ分成兩部分：0～ρ0以及ρ0～ρmax，在0＜ρ＜ρ0時，戰(zhàn)斗部的威力足以摧毀目標(biāo)，其條件殺傷概率為1，因此，可以得到圓柱坐標(biāo)下的計(jì)算單發(fā)殺傷概率的公式為

其中制導(dǎo)誤差的概率密度函數(shù)fg（ρ，θ）的計(jì)算式為

式中的my、mz為脫靶參數(shù)中的系統(tǒng)誤差，σy、σz為隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)差，兩個方向上的誤差是相互獨(dú)立的[1]。

3.1 在給定脫靶圓內(nèi)的殺傷概率

在脫靶誤差服從二維正態(tài)分布的條件下，落入給定半徑ρ0內(nèi)的概率可以通過二重積分或蒙特卡洛法對上式求得結(jié)果。但是在實(shí)際應(yīng)用中，計(jì)算落入定脫靶圓內(nèi)的概率的情況可以分為圓散布和橢圓散布兩種狀態(tài)，橢圓散布代表著實(shí)際彈道的標(biāo)準(zhǔn)差σy≠σz。簡便起見，本文假設(shè)彈道為圓散布，即σy＝σz＝σ。在這種情況下，設(shè)t＝ρ／σ，a＝m／σ，最終落入給定脫靶圓的概率可寫成：

在實(shí)際彈道的散布中心與質(zhì)心相重合的時候，系統(tǒng)誤差等于零。在大多數(shù)情況下，系統(tǒng)誤差可以通過加入校正信號予以消除，對于一個成熟的導(dǎo)彈武器系統(tǒng)而言，都可以認(rèn)為其系統(tǒng)誤差為零，即m＝0，則a＝0，因此零階虛位移貝塞爾函數(shù)I0（aσ／ρ0）＝1，又因?yàn)镮n（aσ／ρ0）＝0，n＞0，則得到最終的落入脫靶圓的概率為[2]

3.2 給定脫靶圓到最大可能脫靶量之間的殺傷概率

3.2.1 直桿型殺傷模型的洞穿概率

在脫靶量ρ大于給定的值ρ0時，就需要計(jì)算戰(zhàn)斗部的條件殺傷概率。計(jì)算時要考慮破片對目標(biāo)要害部位的殺傷作用以及沖擊波對目標(biāo)的爆破毀傷作用。由于目標(biāo)要害分布的不同則計(jì)算戰(zhàn)斗部條件殺傷概率的方法就不同。本文假設(shè)目標(biāo)為直桿殺傷模型，即目標(biāo)由多條等效直桿組成，每條直桿代表著機(jī)體上的重要部件諸如機(jī)翼、發(fā)動機(jī)等。此模型假設(shè)當(dāng)任一根直桿落入戰(zhàn)斗部破片的動態(tài)飛散帶時就認(rèn)為目標(biāo)受到一定概率的殺傷，而不單獨(dú)考慮命中破片數(shù)。在這種假設(shè)下：

其中，m為目標(biāo)可殺傷直桿的總數(shù)，Pdj為戰(zhàn)斗部對第j個直桿的殺傷概率。這里不考慮引燃概率，引爆概率與沖擊波毀傷概率，只考慮洞穿殺傷概率。Pdj由Pd1和Pd2兩部分組成，Pd1是駕駛艙等重要單個設(shè)備艙段的洞穿殺傷概率，Pd2為幾個艙段組合殺傷概率，即只有在殺傷全部艙段組合才能殺傷目標(biāo)。Pd1表達(dá)式為

其中，j1是這類艙段的總數(shù)，Nj是j艙段命中破片的平均數(shù)，P（Ej）是單枚破片對j艙段的洞穿殺傷概率。

Ej為破片平均比能，即單位破片平均迎風(fēng)面積上的動能。

3.2.2 要害艙段命中破片數(shù)的計(jì)算

圖1所示為戰(zhàn)斗部動態(tài)飛散過程中各個矢量的意義以及之間的關(guān)系。

圖1 戰(zhàn)斗部破片靜態(tài)、動態(tài)飛散角及飛散速度

通過圖1中所標(biāo)注的參數(shù)可以求得j艙段命中破片的平均數(shù)Nj：

式中已知Ωj、ωj以及第j個要害艙段中心與戰(zhàn)斗部中心的連線矢量Rj，于是可以推導(dǎo)出φj和破片飛散密度κ（φj）。Sj是第j個要害艙段在破片動態(tài)飛散方向上的等效投影面積。在計(jì)算Sj時，根據(jù)目標(biāo)要害不同位置的不同形狀，做出如下三種不同的等效幾何模型：

1）駕駛艙或油箱等可以等效為球體的要害艙段，其投影面積為常數(shù)，即Sj＝const；

2）發(fā)動機(jī)艙、機(jī)身等要害位置，其投影面積為端面與側(cè)面投影面積之和，即Sj＝Sj0｜c(diǎn)osqj｜＋Sj1｜sinqj｜；

3）機(jī)翼、尾翼等位置，其投影面積為這些要害位置在Rj上的投影，即Sj＝Sj0｜c(diǎn)osqj｜。

3.2.3 引信啟動區(qū)

在引信啟動區(qū)間內(nèi)，引信戰(zhàn)斗部聯(lián)合條件殺傷概率Pdf（xr｜ρ，θ）變?yōu)?/p>

Pf（xr｜ρ，θ）是引信的啟動概率，在引信啟動區(qū)范圍內(nèi)，計(jì)算式為

在導(dǎo)彈接近目標(biāo)時，通常近似認(rèn)為引信啟動點(diǎn)沿相對速度坐標(biāo)系oxm軸的分布服從一維正態(tài)分布規(guī)律，其分布密度函數(shù)為

式（14）中的兩個未知量，mx是啟動點(diǎn)的數(shù)學(xué)期望，對于光學(xué)引信來講，光學(xué)引信視場較窄，mx與引信延遲時間τ以及導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部中心相對速度坐標(biāo)系內(nèi)xr軸上的坐標(biāo)有關(guān)，計(jì)算式為

引信啟動點(diǎn)的散布σx由四部分的平方和構(gòu)成：延遲時間散布造成的啟動點(diǎn)散布σ1，光學(xué)引信主光傾角散布所造成的啟動點(diǎn)散布σ2，引信靈敏度變化引起的啟動點(diǎn)散布σ3以及目標(biāo)反射信號起伏所造成的啟動點(diǎn)的散布

由以上的分析，可以依次求得在直桿型殺傷模型的情況下的洞穿概率，引信戰(zhàn)斗部聯(lián)合殺傷概率，進(jìn)而可以求出給定脫靶圓到最大可能脫靶量的殺傷概率，最終得到防空導(dǎo)彈單發(fā)殺傷概率的結(jié)果。

4 仿真計(jì)算

在進(jìn)行仿真計(jì)算時，以某型防空導(dǎo)彈為例，整個計(jì)算過程的流程如圖2所示。

圖2 計(jì)算導(dǎo)彈單發(fā)殺傷概率的流程

由以上流程，防空導(dǎo)彈使用激光引信，假設(shè)該防空導(dǎo)彈破片戰(zhàn)斗部的參數(shù)為：彈目交會遭遇點(diǎn)高度為22000m，遭遇點(diǎn)斜距為30000m，導(dǎo)彈速度為1000m／s，彈道傾角18°，目標(biāo)運(yùn)動速度600m／s，導(dǎo)彈制導(dǎo)系統(tǒng)誤差m＝0，隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差σ＝4m，戰(zhàn)斗部破片數(shù)為5000塊，破片的初速度為3000m／s，平均每塊破片的質(zhì)量為6g，破片飛散方位角為30°，飛散方向角為60°。

由之前敘述的計(jì)算方法，假設(shè)模型為直桿型模型，其中1艙段等效為圓柱形，2、3、4、5艙段等效為平板型，計(jì)算出每個艙段命中的破片數(shù)，其中1艙段命中1000枚，2、3艙段各1500枚，4、5艙段各500枚。目標(biāo)的模型如圖3所示。

圖3 直桿型殺傷模型的目標(biāo)易損構(gòu)件

由以上參數(shù)可以得出當(dāng)系統(tǒng)誤差為0時單發(fā)防空導(dǎo)彈的落入概率隨脫靶量ρ0變化的關(guān)系，其關(guān)系如圖4所示。

圖4 落入概率隨脫靶量ρ0的變化曲線

通過前文的論述，當(dāng)脫靶量ρ0為4m時，由公式：ρmax＝m＋kσ可以得到最大可能脫靶量ρmax為16m。經(jīng)過計(jì)算，在給定脫靶圓內(nèi)的殺傷概率為39.34%，在給定脫靶圓之外到最大可能脫靶量之間，引信戰(zhàn)斗部聯(lián)合殺傷概率為97.03%，所以殺傷概率為58.80%，兩者求和，最終確定該型防空導(dǎo)彈的單發(fā)殺傷概率為98.14%，驗(yàn)證了前文當(dāng)戰(zhàn)斗部特征半徑與制導(dǎo)誤差的比值大于等于4，則單發(fā)殺傷概率不低于98%這一估算結(jié)果。

5 結(jié)語

防空導(dǎo)彈從探測目標(biāo)到摧毀目標(biāo)的實(shí)際情況十分復(fù)雜，實(shí)際應(yīng)用中還需要考慮環(huán)境因素，干擾因素等。本文僅選取了落入脫靶圓內(nèi)的分布為圓分布這一特殊情況進(jìn)行了計(jì)算，并且假設(shè)武器系統(tǒng)技術(shù)成熟，系統(tǒng)誤差等于零，在實(shí)際中由于種種因素會導(dǎo)致單發(fā)殺傷概率降低。另外，針對不同類型的近炸引信，如無線電引信等，其引信啟動區(qū)的各種參數(shù)的不同會導(dǎo)致單發(fā)殺傷概率的不同。在影響單發(fā)殺傷概率的諸多因素，例如引戰(zhàn)配合效率，戰(zhàn)斗部威力，目標(biāo)易損性等因素。本文針對這些關(guān)鍵因素進(jìn)行了計(jì)算，得到了在該目標(biāo)類型下，針對激光引信的單發(fā)殺傷概率計(jì)算方法，在一定程度上可以為武器系統(tǒng)的效能評估提供參考。

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