人口遷移的空間相互作用、Markov鏈和線性規(guī)劃分析
——以福建省南平市為例

陳 蘭，申志慧，鄭瑋鋒，周沿海，戴湘毅

(1.福建農(nóng)林大學(xué) 園林學(xué)院，福建 福州 350002;2.首都師范大學(xué) 資源環(huán)境與旅游學(xué)院，北京 100048；3.中國科學(xué)院 地理科學(xué)與資源研究所，北京 100101)

數(shù)學(xué)是地理研究的重要工具之一．運(yùn)用數(shù)學(xué)方法于地理學(xué)，主要有兩個(gè)方向：其一是構(gòu)造假設(shè)、建立模型、發(fā)展理論，其二是將數(shù)學(xué)方法作為整理地理觀測和統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的一種手段．前者是理論的視角，后者則是應(yīng)用的視角．地理學(xué)計(jì)量運(yùn)動(dòng)時(shí)期，主要是發(fā)展后一個(gè)方向[1-3]．南平市區(qū)劃調(diào)整已獲得國務(wù)院批復(fù)，區(qū)劃調(diào)整必然導(dǎo)致資源重新配置和人口的遷移流動(dòng)．本文組合運(yùn)用地理學(xué)方法、隨機(jī)時(shí)空過程分析方法和運(yùn)籌學(xué)方法，深入分析了南平市人口的空間遷移和轉(zhuǎn)換，旨在為南平市的區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展提供一些有益的啟示．

南平市地處福建省北部，武夷山脈北段東南側(cè)，位于閩、浙、贛三省交界處，轄二區(qū)三市五縣，即延平區(qū)(原行政中心)、邵武市、武夷山市、建甌市、建陽區(qū)(現(xiàn)行政中心所在地)、順昌縣、浦城縣、光澤縣、松溪縣、政和縣，轄區(qū)面積為2.63萬平方公里[4]，是福建省內(nèi)面積最大的地級市．本文采用各區(qū)的現(xiàn)實(shí)人口作為流動(dòng)的出發(fā)人口，以各區(qū)經(jīng)濟(jì)實(shí)力水平為權(quán)重計(jì)算一個(gè)合理分布的人口，以此作為到達(dá)人口．結(jié)合區(qū)域之間的交通里程數(shù)據(jù)，運(yùn)用引力模型開展人口遷移的動(dòng)態(tài)趨勢分析，運(yùn)用Markov鏈預(yù)測未來人口分布格局．此外，還采用了線性規(guī)劃的方法，分析近期人口分布的合理比例．

1 空間相互作用分析

1.1 空間相互作用模型

空間相互作用模型有多種形式，最著名的就是Wilson的最大熵模型[3,5-7]．空間相互作用模型在國外城市規(guī)劃研究(如意大利威尼斯中心地區(qū)規(guī)劃對策研究)中有具體的應(yīng)用[8]．假定將一個(gè)城鎮(zhèn)劃分為兩類區(qū)域：出發(fā)區(qū)(O)和到達(dá)區(qū)(D)．用Oi表示第i個(gè)出發(fā)區(qū)的出發(fā)量，用Dj表示第j個(gè)目的區(qū)的到達(dá)量，可預(yù)測分析各條線路上的通行量．于是基于最大熵原理的產(chǎn)生-吸引雙重約束引力模型可以表作[3,5,9]．

Tij=AiBjOiDje-bdij.

(1)

式(1)中Ai、Bj為2個(gè)針對全部出發(fā)區(qū)Oi、到達(dá)區(qū)Dj的標(biāo)度因子的集合，被定義為

(2)

這里序號i、j= 1,2,…,n．標(biāo)度因子的這種定義形式是為了滿足如下約束條件

(3)

上述條件對于所有的Oi和所有的Dj都能成立，進(jìn)而保證如下條件成立

(4)

這意味著，所有出發(fā)的流等于所有到達(dá)的流，等于所有路上的流．式(4)中，Tij為從i到j(luò)的流動(dòng)量，dij為從i到j(luò)的距離，Oi為一個(gè)地區(qū)產(chǎn)生的出發(fā)量，Dj為一個(gè)地區(qū)吸引的到達(dá)量．

1.2 數(shù)據(jù)處理和分析過程

采用各區(qū)總?cè)丝谧鳛槌霭l(fā)地的人口．需要計(jì)算各個(gè)區(qū)域應(yīng)該到達(dá)的人口數(shù)量和區(qū)域之間現(xiàn)實(shí)的人口流量．由于經(jīng)濟(jì)人的行動(dòng)總是“趨利避害”，因此，經(jīng)濟(jì)較發(fā)達(dá)的地區(qū)對遷移人口有更大的吸引力[10]．假定合理的人口分布與地區(qū)生產(chǎn)總值(GDP)成比例．各區(qū)域的合理人口規(guī)模計(jì)算公式如下

(5)

式(5)中，n= 10表示區(qū)域數(shù)量，GDPj表示第j個(gè)區(qū)域的地區(qū)生產(chǎn)總值(按當(dāng)年價(jià)格計(jì)算)；Pj表示第j個(gè)區(qū)域的人口數(shù)量．利用公式(5)估算一個(gè)合理的人口比例，作為到達(dá)區(qū)的人口數(shù)量．區(qū)際交通里程可以根據(jù)《福建省公路里程表》數(shù)據(jù)和福建省交通地圖數(shù)據(jù)整理估算．而區(qū)內(nèi)交通里程，經(jīng)驗(yàn)表明，可以采用公式(6)計(jì)算

(6)

也就是說，區(qū)內(nèi)交通里程等于各個(gè)區(qū)域面積等效半徑的一般長度．?dāng)?shù)值模擬實(shí)驗(yàn)分析表明，不同的區(qū)內(nèi)里程確定方式對區(qū)際人口分配比例的預(yù)測影響不大[3]．為了表述簡潔，以下出發(fā)區(qū)、到達(dá)區(qū)均用代碼表示：延平區(qū)(O1、D1) 、邵武市(O2、D2)、武夷山市(O3、D3)、建甌市(O4、D4)、建陽區(qū)(O5、D5)、順昌縣(O6、D6)、浦城縣(O7、D7)、光澤縣(O8、D8)、松溪縣(O9、D9)、政和縣(O10、D10)．根據(jù)交通里程，可以得出平均運(yùn)行距離．

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)[3,8]，距離摩擦系數(shù)b值的取值范圍應(yīng)該是

取0.008和0.016的中點(diǎn)位置即平均值，b=0.012．

作為初始值，我們假定起初區(qū)際沒有任何交流．這樣，轄區(qū)內(nèi)10個(gè)縣市區(qū)的人口僅僅流入本區(qū)；到達(dá)人口規(guī)模采用基于GDP比例重新分配的人口(見表1)．

表1 從不同出發(fā)區(qū)到不同到達(dá)區(qū)的初始人口和預(yù)期合理人口

現(xiàn)在借助空間相互作用的雙約模型預(yù)測路上的交通流量．首先計(jì)算標(biāo)度因子．由于兩個(gè)標(biāo)度因子相互交織，需要利用迭代法進(jìn)行參數(shù)校驗(yàn)．在7位小數(shù)點(diǎn)以內(nèi)，計(jì)算到第13步的結(jié)果與第12步的結(jié)果沒有區(qū)別，可以在第13步終止迭代計(jì)算．為了精確起見，我們不妨采用第30步的結(jié)果作為標(biāo)度因子的值．然后用表3的數(shù)據(jù)，借助式(1)，就可以預(yù)測理論上的區(qū)內(nèi)人口遷移比例(見圖1)和區(qū)內(nèi)人口遷移數(shù)量(見圖2)．10個(gè)縣市區(qū)之間的(雙向)路徑共有45條，可以計(jì)算出各條線路的區(qū)際雙向流動(dòng)量，計(jì)算結(jié)果見表2．

根據(jù)上述結(jié)果，我們可以得到如下基本結(jié)論：

圖1區(qū)內(nèi)人口遷移占該區(qū)人口比例示意圖圖2區(qū)內(nèi)人口遷移數(shù)量示意圖

表2 區(qū)際人口遷移的估算結(jié)果

第一，人口遷移的區(qū)內(nèi)差異明顯．延平區(qū)傾向“不遷移”而只在延平區(qū)內(nèi)流動(dòng)的人口占56.2%(圖2)，為262652人(圖3)，也就是說有超過一半的人口傾向于在區(qū)內(nèi)流動(dòng)．邵武市也有124971人傾向區(qū)內(nèi)流動(dòng)，占人口比重為45.4%(圖2)．武夷山市、建甌市和浦城縣有接近三分之一的人口傾向區(qū)內(nèi)流動(dòng)．建陽區(qū)、順昌縣和光澤縣則分別只有接近五分之一的人口傾向于區(qū)內(nèi)流動(dòng)，而松溪縣、政和縣只有15%以下的人口傾向于區(qū)內(nèi)流動(dòng)，其中松溪縣只有11.4%(圖1)，區(qū)內(nèi)流動(dòng)人口數(shù)低至14350人(圖2)，最大值與最小值相差接近20倍．

第二，人口遷移的區(qū)際差異突出．延平區(qū)-建甌市、延平區(qū)-順昌縣、邵武市-建甌市之間的人口遷移最為密切，分別達(dá)到全部交通流量的6.7%，6.1%和6.5%(表2)，人流強(qiáng)度大致相當(dāng)于光澤縣-政和縣、光澤縣-松溪縣之間人流的20～30倍，相當(dāng)于建陽區(qū)-順昌縣、武夷山市-政和縣、順昌縣-浦城縣之間交通量的10～12倍．其他區(qū)域間交通流量比較大的區(qū)域包括建甌市-建陽區(qū)、武夷山市-建陽區(qū)之間，人流量分別占總?cè)肆髁康?.3%和4.3%(表2)．由于距離較遠(yuǎn)、經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)程度較低，光澤縣-松溪縣之間的人流量最弱．

圖3 南平市人口的遠(yuǎn)期分配比重(基于GDP總量)

第三，人口遷移的不對稱性顯著．延平區(qū)到建甌市的人口是建甌市到延平區(qū)人口的1.46倍，而延平區(qū)人口僅為建甌市人口的1.04倍，兩地人口相當(dāng)，這意味著，相對于建甌市，延平區(qū)人口數(shù)量過剩；延平區(qū)到武夷山市的人口小于武夷山市到延平區(qū)的人口，這表明，相對于延平區(qū)，武夷山市人口數(shù)量過剩；武夷山市到邵武市人口為邵武市到武夷山市人口的6.25倍，這說明相對于邵武市，武夷山市人口過剩；建陽區(qū)到建甌市、浦城縣、松溪縣和政和縣的人口小于這四個(gè)地區(qū)到建陽區(qū)的人口，這說明建陽區(qū)對這些地區(qū)的人口具有更大的吸引力，而對延平區(qū)、建甌市和武夷山市等地區(qū)吸引力不足；相對建陽區(qū)來說，順昌縣、光澤縣、武夷山市人口過剩．

2 馬爾可夫鏈分析

Markov鏈(Markov chain)是一種時(shí)間和狀態(tài)均為離散的馬爾可夫過程[11]，是一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移分析和預(yù)測技術(shù)：根據(jù)事物的一種狀態(tài)向另外一種狀態(tài)轉(zhuǎn)化的概率，預(yù)測未來的狀態(tài)概率分布[12]．區(qū)域人口遷移一般不具備無后效性，但是在沒有更好的預(yù)測方法的前提下，我們可以利用Markov鏈對其進(jìn)行預(yù)測，使其盡量逼近區(qū)域演變的整個(gè)過程．我們可以算出表示區(qū)內(nèi)、區(qū)際人口變動(dòng)傾向的轉(zhuǎn)移概率矩陣，將轉(zhuǎn)移概率矩陣反復(fù)自乘，收斂得到一個(gè)穩(wěn)定階段的概率分布 (表3)．這個(gè)分布結(jié)果顯示未來人口分布可能的格局：延平區(qū)、邵武市各占20%左右，建甌市占13%，建陽區(qū)占10%，武夷山市占8%，政和縣人口占比重最少，僅為2%(見圖3)．

表3 穩(wěn)定階段的人口轉(zhuǎn)移概率矩陣(基于空間相互作用)

3 線性規(guī)劃分析

在區(qū)域經(jīng)濟(jì)中，出發(fā)流與到達(dá)流的優(yōu)化分配問題可以表示為線性規(guī)劃問題[13]．假設(shè)從第i個(gè)出發(fā)區(qū)到第j個(gè)到達(dá)區(qū)的人流為xij，則可以得到城區(qū)之間的人流分配情況．可以建立線性規(guī)劃模型，目標(biāo)函數(shù)如下：

minS=15x11+199x12+……+237x18+146x19+158x110+199x21+15x22+……
+35x28+181x29+221x210+……+158x101+221x102+…213x108+26x109+12x1010．

約束條件可以表作：

x11+x12+x13+x14+x14+x16+x17+x18+x19+x110=467900
x21+x22+x23+x24+x25+x26+x27+x28+x29+x210=275100
M

s.t.

x101+x102+x103+x104+x105+x106+x107+x108+x109+x1010=171700
x11+x21+x31+x41+x51+x61+x71+x81+x91+x101=640612
x12+x22+x32+x42+x52+x62+x72+x82+x92+x102=385584
M

x110+x210+x310+x410+x510+x610+x710+x810+x910+x1010=87040
xij≥0

利用單純形法求解上述模型，得到的結(jié)果如表4所示．

通過表4即可計(jì)算出各個(gè)地區(qū)之間的人口轉(zhuǎn)移概率．然后借助Markov鏈的方法得到一個(gè)穩(wěn)定的人口分布概率(表5)，表明長期的人口變化趨勢．線性規(guī)劃的計(jì)算結(jié)果表明，延平區(qū)占全市人口比重將達(dá)到23.5%；邵武市和建甌市大體接近，各占15%左右，建陽區(qū)占比10.2%，武夷山市占總?cè)丝诘?.8%．其余縣市人口占比均在9%以下，其中松溪和政和人口占比最小，均為3.3%(表5)．但是，采用線性規(guī)劃的計(jì)算結(jié)果卻存在以下問題：第一，光澤縣、松溪縣和政和縣的區(qū)內(nèi)流量為0(表4)，這屬于極端情況，現(xiàn)實(shí)社會(huì)中幾乎不可能出現(xiàn)；第二，順昌到松溪、順昌到政和的人流量為0(表4)，雖然順昌到松溪、政和的距離均超過200公里，但是這種極端情況也幾乎不可能出現(xiàn)；第三，穩(wěn)定階段結(jié)果顯示南平市人口分布以延平區(qū)、邵武市和建甌市為主，這與調(diào)研揭示的現(xiàn)實(shí)人口遷移意向不一致．

表4 從不同出發(fā)區(qū)到不同到達(dá)區(qū)的人口規(guī)劃結(jié)果

通過表5與表3的對比，容易發(fā)現(xiàn)線性規(guī)劃分析與Markov鏈分析的結(jié)果比較接近．其一，兩者中人口占比最高的均為延平區(qū)，比值均超過20%；其二，兩類結(jié)果中前四位的地區(qū)一致，均為延平區(qū)、邵武市、建甌市和建陽區(qū)，人口占比之和均達(dá)到了60%．

通過表5和原始數(shù)據(jù)的對比，可以發(fā)現(xiàn)表5中顯示的穩(wěn)定人口比重，與目前GDP比重高度一致．綜合結(jié)果顯示：第一，根據(jù)線性規(guī)劃分析，南平市轄區(qū)近期人口分布以延平區(qū)、邵武市、建甌市、建陽區(qū)和武夷山市為主，五個(gè)地區(qū)人口總和占全市人口比重為73%，其中延平區(qū)最高，為23.5%，其余五個(gè)地區(qū)總比重僅為27%；第二，根據(jù)Markov鏈分析，遠(yuǎn)期人口分配仍以延平區(qū)、邵武市為最大，人口均突破20%，建甌市、建陽區(qū)位于第二梯隊(duì)，分別為13%和10%；第三，武夷山市和建陽區(qū)作為行政區(qū)劃調(diào)整后的核心地區(qū)，今后應(yīng)該加強(qiáng)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，以增強(qiáng)該地區(qū)對外圍地區(qū)的輻射能力．

表5 從不同出發(fā)區(qū)到不同到達(dá)區(qū)的人口轉(zhuǎn)移概率矩陣(基于線性規(guī)劃)

4 結(jié)論

在南平市人口遷移分析過程中，利用空間相互作用模型(地理學(xué)方法)計(jì)算人口空間分配的比例，利用Markov鏈(隨機(jī)時(shí)空過程分析方法之一)預(yù)測人口遷移趨勢，采用線性規(guī)劃(運(yùn)籌學(xué)方法之一)作為輔助分析工具．其中，空間相互作用模型與Markov鏈分析面向未來，可用于遠(yuǎn)期人口的預(yù)測；線性規(guī)劃分析面向當(dāng)前，可用于人口的近期優(yōu)化分配．結(jié)論如下：(1)南平市人口遷移的區(qū)內(nèi)差異明顯，人口遷移的區(qū)際差異突出，人口遷移的不對稱性顯著；(2)根據(jù)Markov鏈分析，南平市遠(yuǎn)期人口分配仍以延平區(qū)、邵武市為最大，人口占比均突破20%，建甌市、建陽區(qū)位于第二梯隊(duì)，分別為13%和10%；(3)武夷山市和建陽區(qū)作為行政區(qū)劃調(diào)整后的核心地區(qū)，應(yīng)該加強(qiáng)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，以增強(qiáng)輻射能力．

由于歷史原因，延平區(qū)與建陽區(qū)輪為地級市的行政中心，當(dāng)前環(huán)境下，延平區(qū)為全市人口占比重最大的地區(qū)，遷移傾向仍以區(qū)內(nèi)流動(dòng)為主，這種慣性會(huì)為將來全市人口新格局的形成造成一定的阻力．行政區(qū)劃調(diào)整后，建陽區(qū)作為新行政中心所在地，其極化和擴(kuò)散作用仍將極其有限，應(yīng)加大扶持力度，加強(qiáng)基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)，以擴(kuò)大該區(qū)的輻射能力．

[1]Philo C,Mitchell R,More A.Reconsidering quantitative geography:things that count (Guest editorial)[J].Environment and Planning A (S0308-518X),1998,30(2):191～201.

[2]陳彥光.地理數(shù)學(xué)方法:從計(jì)量地理到地理計(jì)算[J].華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2005,39(1):113～119,125.

[3]陳彥光.人口流動(dòng)的空間相互作用、Markov鏈和線性規(guī)劃分析[J].信陽師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,22(2):216～221.

[4]南平市統(tǒng)計(jì)年鑒,2011.

[5]Taylor P J.Quantitative methods in geography:an introduction to spatial analysis[M].Illinois:Waveland Press,Inc,1983.

[6]Wilson A G.Entropy in urban and regional modeling[M].London:Pion Press,1970.

[7]Wilson A G.蔡運(yùn)龍,譯.地理學(xué)與環(huán)境:系統(tǒng)分析方法[M].北京:商務(wù)印書館,1997.

[8]陳秉釗.城市規(guī)劃系統(tǒng)工程學(xué)[M].上海:同濟(jì)大學(xué)出版社,1996.

[9]楊吾揚(yáng),梁進(jìn)社.高等經(jīng)濟(jì)地理學(xué)[M].北京:北京大學(xué)出版社,1997.

[10]李小建.經(jīng)濟(jì)地理學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2006.

[11]盛 驟,謝式千,潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1989.

[12]陳彥光.基于Excel的地理數(shù)據(jù)分析[M].北京:科學(xué)出版社,2010.

[13]Gatner B,Matousek J.Understanding and using linear programming [M].Berlin:Springer,2006.