高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思考與探索

楊燕新，王文斌

(山西農(nóng)業(yè)大學(xué)，山西 太谷030801)

高等數(shù)學(xué)是農(nóng)科及理工科大學(xué)生在大學(xué)期間必修的、最基礎(chǔ)的課程。學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的效果對其他專業(yè)課程的影響很大。因此，從學(xué)校、老師到學(xué)生都非常重視這門基礎(chǔ)課程的學(xué)習(xí)。由于高等數(shù)學(xué)比較抽象，邏輯性非常強(qiáng)，要學(xué)好不容易。學(xué)生如果能夠通過了解他的具體應(yīng)用來產(chǎn)生興趣，這樣就能更快理解和掌握這門課程，同時(shí)也不會出現(xiàn)死讀書、讀死書的現(xiàn)象。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程，總是習(xí)慣于套用公式、套用方法，缺少創(chuàng)新意識，不會從研究具體問題出發(fā)，并從中發(fā)現(xiàn)各種問題中存在的聯(lián)系，再去尋找解決的辦法。而數(shù)學(xué)建模正是解決這一問題的橋梁和紐帶。

培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要方面。教師可以通過建模使學(xué)生反過來更好的理解和應(yīng)用高等數(shù)學(xué)。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想和方法，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)、思考問題，而且還可以教導(dǎo)學(xué)生如何將高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)建模聯(lián)合達(dá)到相輔相成的一些策略方法，從而有助于增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用能力和實(shí)踐能力。

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思路

數(shù)學(xué)建模是將某一領(lǐng)域或部門的某一實(shí)際問題，通過做一些必要的簡化和假設(shè)，明確變量和參數(shù)，并依據(jù)某種內(nèi)在的“規(guī)律”，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)理論，建立變量和參數(shù)間的一個(gè)明確的數(shù)學(xué)關(guān)系式，這個(gè)數(shù)學(xué)關(guān)系式即為數(shù)學(xué)模型，建立這個(gè)數(shù)學(xué)模型的過程即為數(shù)學(xué)建模。

可見，數(shù)學(xué)建模就是應(yīng)用數(shù)學(xué)的語言和方法對一個(gè)實(shí)際問題所做的設(shè)計(jì)。數(shù)學(xué)模型要么可以解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性，要么可以預(yù)測事物的未來狀況，要么可以提供處理事情的最優(yōu)決策。數(shù)學(xué)建模沒有固定模式，沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)答案，他只求合理，鼓勵(lì)創(chuàng)新。因此，在數(shù)學(xué)建模的活動中，學(xué)生的創(chuàng)新潛能將會得到更大地開發(fā)。

應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的源泉。高等數(shù)學(xué)的形成和發(fā)展直接來源于物理、天文、幾何等研究領(lǐng)域的研究進(jìn)展和突破。高等數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)教學(xué)片面地強(qiáng)調(diào)理論的系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)的嚴(yán)密性，卻輕視了基本概念的實(shí)際背景，實(shí)際意義的解釋，割裂了微積分與外部世界的密切聯(lián)系，沒有能充分顯示微積分的巨大生命力與應(yīng)用價(jià)值，使學(xué)生學(xué)了一大堆的定義、定理和公式，卻不知道對實(shí)際問題有什么作用。鑒于此，我們在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，結(jié)合了不同的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行應(yīng)用，把數(shù)學(xué)建模的思想作為課堂教學(xué)內(nèi)容的一項(xiàng)必要補(bǔ)充，利用具體事例融入到課堂教學(xué)之中。

例如，學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識后，可以給學(xué)生布置作業(yè)去解決求解最低成本、最大利潤等方面比較直接的應(yīng)用。對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，還可以將上述兩者結(jié)合起來，在最低成本條件下配置生產(chǎn)能力來滿足特定已知需要量或其他類似條件。又如，我們給出以下題目讓學(xué)生自己建模:一飼養(yǎng)場每天投入5元資金用于飼料、設(shè)備、人力，估計(jì)可使一頭80公斤重的生豬每天增加2公斤。目前生豬出售的市場價(jià)格為每公斤8元，但是預(yù)測每天會降低0．1元，問該場應(yīng)該什么時(shí)候出售這樣的生豬才可以獲得最大利潤。為了解決這個(gè)問題，學(xué)生要先通過分析得出是求最值的問題，再進(jìn)一步列出相關(guān)的約束條件，列出收入、產(chǎn)出和利潤之間的關(guān)系來進(jìn)行建模。通過這些建模，不僅激發(fā)了學(xué)生利用數(shù)學(xué)的思想和原理解決實(shí)際問題，而且提高了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的能力，進(jìn)一步鞏固了數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的知識。

建模有時(shí)也需要用到微積分以外的其他數(shù)學(xué)工具。建立解決實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型能力的培養(yǎng)，不僅與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的積累有關(guān)，而且依賴于其他學(xué)科知識與經(jīng)驗(yàn)的積累和靈活運(yùn)用。因此，在引入數(shù)學(xué)模型時(shí)，要緊密結(jié)合所學(xué)內(nèi)容，使得應(yīng)用有一個(gè)由淺入深、循序漸進(jìn)的過程。先由簡單的專業(yè)應(yīng)用調(diào)動起學(xué)生自己解決問題的主動性和積極性，不能讓學(xué)生有可望而不可及的感覺。而且，數(shù)學(xué)建模還需要有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)軟件知識，教師在課堂上還要貫穿講解諸如Mat lab、Mathematic、Math Type等數(shù)學(xué)軟件，并在課堂時(shí)間給學(xué)生上機(jī)學(xué)習(xí)的機(jī)會，以進(jìn)一步鞏固對應(yīng)知識點(diǎn)。復(fù)雜的數(shù)據(jù)計(jì)算和處理在這些數(shù)學(xué)軟件里不再是難題，從而減小了學(xué)生在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對繁雜計(jì)算的畏懼心里。例如有這樣一題:在冷卻過程中，物體的溫度在任何時(shí)刻變化的速率大致正比于他的溫度與周圍介質(zhì)溫度之差，這一結(jié)論稱為牛頓冷卻定律，該定律同樣用于加熱過程。一個(gè)煮硬了的雞蛋有98℃，將它放在18℃的水池里，5分鐘后，雞蛋的溫度為38℃，假定沒有感到水變熱，雞蛋要達(dá)到20℃，讓學(xué)生計(jì)算需要多少時(shí)間。為了解決這一問題，第一，學(xué)生要先理解牛頓冷卻定律;第二，題中沒有感到水變熱的意思是池中水溫近似不變;第三，溫度變化率是溫度對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。只有上述條件下，才能列出相關(guān)的微分方程來建模解決所需時(shí)間，前兩個(gè)條件都是微積分之外的知識。

二、高等數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)建模的具體步驟

建立數(shù)學(xué)模型的過程，是把錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際生活問題簡化、抽象為合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。要通過調(diào)查、收集數(shù)據(jù)資料，觀察和研究實(shí)際對象的固有特征和內(nèi)在規(guī)律，抓住問題的主要特征，建立起能夠反映實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系，然后利用數(shù)學(xué)的理論和方法去分析和解決問題。

建模步驟包括模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立及求解、分析、檢驗(yàn)等。模型準(zhǔn)備是指了解問題的實(shí)際背景和實(shí)際意義，掌握研究對象的各種信息。用數(shù)學(xué)思想來包含問題的精髓，并以數(shù)學(xué)思路貫穿問題的全過程，進(jìn)一步用數(shù)學(xué)語言來描述問題，在這一模型假設(shè)中要求符合數(shù)學(xué)理論，符合數(shù)學(xué)習(xí)慣，清晰準(zhǔn)確。數(shù)學(xué)模型的建立是在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來表達(dá)各量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。求解是利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計(jì)算或者近似計(jì)算。進(jìn)一步對所要建立模型的思路進(jìn)行描述，對所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。并將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對計(jì)算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過程。

疾病的預(yù)測就是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)很好的例子:為了預(yù)測某病菌感染情況，先要了解該病菌的一些諸如危害、潛伏期、傳播途徑等基本的知識，以上即為建模前的準(zhǔn)備。

在數(shù)學(xué)建模時(shí)，我們做以下幾種假設(shè)，分別為:

(1)單位時(shí)間感染的人數(shù)與現(xiàn)有的感染者成比例;

(2)單位時(shí)間內(nèi)治愈的人數(shù)與現(xiàn)有的感染者成比例;

(3)單位時(shí)間內(nèi)死亡的感染者人數(shù)與現(xiàn)有的感染者成比例;

(4)患者治愈恢復(fù)后不再被感染;

(5)各類人口的自然死亡可以忽略;

(6)忽略遷移的影響。

在以上假設(shè)的前提下，令Ⅰ(t)是第t天時(shí)該病菌感染者的數(shù)量，b(t)為感染率，d(t)為死亡率，c(t)為治愈率，則模型建立為:

根據(jù)感染這種病菌的數(shù)據(jù)是按天公布的這一特點(diǎn)，求解可得 Ⅰ(t+1)= Ⅰ(t)+r(t)Ⅰ(t)。

只要知道開始時(shí)病菌的感染人數(shù)和函數(shù)r(t)，就可以利用該模型進(jìn)行預(yù)測。利用實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算，再進(jìn)行曲線擬合，分別如圖1、圖2所示。

圖 1 擬合曲線 b(t)=0．019+0．223le-0．1184t

圖 2 擬合曲線 c(t)+d(t)=0．095-0．0665t0．1202e-0．0005t2。

從而可以得到全國在醫(yī)病人隨時(shí)間的變化曲線及新增病人隨時(shí)間的變化曲線，如圖3、圖4所示。

圖3 全國在醫(yī)病人數(shù)隨時(shí)間變化曲線

圖4 全國每天新增病人數(shù)隨時(shí)間變化曲線

三、開展數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練活動

高等學(xué)校如果能適當(dāng)開展數(shù)學(xué)建模競賽活動，不僅可以加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本知識訓(xùn)練和數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力，還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，同時(shí)也可以為參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽選拔優(yōu)秀隊(duì)員。需要強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)建模中引導(dǎo)學(xué)生提出問題、發(fā)現(xiàn)問題是創(chuàng)新的源頭。要想在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中有所突破、有所創(chuàng)新，就必須讓學(xué)生學(xué)會自己發(fā)現(xiàn)問題，提出問題。因此，把握好課后建模實(shí)踐訓(xùn)練關(guān)，是鞏固和深化課堂教學(xué)的關(guān)鍵步驟。

教師可以通過布置課后題目來完成數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練。例如，我們課后留給學(xué)生訓(xùn)練題目:報(bào)童每天清晨從報(bào)社購進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒有賣完的報(bào)紙退回。設(shè)每份報(bào)紙的購進(jìn)價(jià)為a，零售價(jià)為b，退回價(jià)為c。也就是說，報(bào)童售出一份報(bào)紙賺b-a，退回一份報(bào)紙賠c-a。報(bào)童如果每天購進(jìn)的報(bào)紙?zhí)伲粔蛸u則少賺錢;購進(jìn)太多，賣不完，將要賠錢。請學(xué)生為報(bào)童籌劃一下，報(bào)童應(yīng)該如何確定每天購進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，以獲得最大的收入。通過分析，學(xué)生自己提出來這樣的問題:報(bào)童賣報(bào)有賺錢、不賺錢和賠錢三種結(jié)果。賺錢時(shí)又分為進(jìn)報(bào)量大于需求量和進(jìn)報(bào)量小于需求量兩種情況。還有訂購量與最終收益正相關(guān)，但同時(shí)訂購量又由需求量來約束，不可能無限增大，最終從實(shí)際出發(fā)確定進(jìn)報(bào)量。當(dāng)然，這些訓(xùn)練題是可以用課堂上講過的方法進(jìn)行建模，也可以是對課上某個(gè)問題做進(jìn)一步的討論，可以達(dá)到鞏固課堂教學(xué)的目的。

在學(xué)完有關(guān)數(shù)學(xué)知識單元后，可以布置該單元知識的訓(xùn)練題，在一定的時(shí)間內(nèi)讓學(xué)生進(jìn)行建模強(qiáng)化訓(xùn)練，并且對每次的訓(xùn)練題要完整地完成從提出問題、分析問題、建立模型、求解模型到模型的分析、檢驗(yàn)、推廣的全過程。當(dāng)我們完成一個(gè)數(shù)學(xué)建模的全過程后，再進(jìn)一步把所作的工作進(jìn)行小結(jié)，寫成論文。要求論文的思路清晰、條理有序，通過這一過程的強(qiáng)化訓(xùn)練，使學(xué)生的建模能力得到充分地鍛煉和提高。當(dāng)然，教師在有限的時(shí)間內(nèi)對訓(xùn)練論文中出現(xiàn)的問題也要及時(shí)提出指正意見，并組織全體學(xué)生對訓(xùn)練論文進(jìn)行專題討論，讓學(xué)生講述自己論文的構(gòu)思、建模的思想與方法。通過交流，大家互相學(xué)習(xí)、取長補(bǔ)短達(dá)到共同提高的目的。

在數(shù)學(xué)建模課程中，配合以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)措施，可以讓學(xué)生產(chǎn)生不少知識創(chuàng)新。既能增強(qiáng)相關(guān)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)效果，又可以激發(fā)學(xué)生的科研興趣，培養(yǎng)學(xué)生的科研能力，甚至涌現(xiàn)出一些應(yīng)用型的科研人才和科研團(tuán)隊(duì)。

四、教學(xué)效果分析

山西農(nóng)業(yè)大學(xué)近幾年來一直都堅(jiān)持組隊(duì)參加全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，并多次榮獲一、二等獎(jiǎng)。這些成績都說明，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模，開設(shè)各種形式的數(shù)學(xué)建模課程和講座，為培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析、解決實(shí)際問題的能力開辟了一條有效的途徑。

當(dāng)然，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模對于相應(yīng)代課教師也是一個(gè)發(fā)展和提高的過程，也就是說，青年教師也是數(shù)學(xué)建模的受益者。為此，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模，在教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想，注重培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，是數(shù)學(xué)教育改革的發(fā)展方向。這樣，不僅可以帶動學(xué)科的發(fā)展，而且可以促進(jìn)學(xué)生的進(jìn)步，同時(shí)還能促進(jìn)教師素質(zhì)、教學(xué)水平進(jìn)一步提高。

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