關于“時間和空間的相對性”的幾個問答

謝禮平

（南京東山外國語學校，江蘇 南京 211103）

在高中物理教科書選修3-4狹義相對論內容中，“時間和空間的相對性”是個重、難點，“長度的相對性”的理解是建立在對“同時的相對性”正確理解基礎上的，“時間間隔的相對性”也是如此.從邏輯上講，既然由“同時的相對性”引出了“長度的相對性”和“時間間隔的相對性”，那么，從這條線來敘述時間和空間的相對性就顯得很自然，但教科書并不是嚴密、細致地按照這個思路描述.特別是“長度的相對性”這一內容，對高中生的理解來說有很高的跨度.其他關于狹義相對論的文獻，大都單純利用洛倫茲變換進行數(shù)學推導，這種陳述方式固然有其數(shù)學上的嚴密性，但缺乏對物理概念和規(guī)律的有效理解，學生難以理解其中的物理意義.這些給一部分學生的學習帶來了困難，引起了許多“為什么？”，其中的一些問題，在教師中也易引起爭論.本文意圖由“同時的相對性”出發(fā)，循著狹義相對論的邏輯關系，以師生問答的形式來說明“時間和空間的相對性”.錯誤或不當之處，敬請指正.

生甲：老師，您在“同時的相對性”中有這樣的描述：如圖1所示，地面上的人同時看到A、B兩處發(fā)出的閃光，他會斷定：這樣的情況下，車廂里面的人是先看到B′端發(fā)出的閃光，后看到A′端發(fā)出的閃光.我想問一下，這兩個閃光到達車廂處人的時間差可以知道是多少嗎？

圖1

師：這個問題提的很好，問到要害了，先不忙回答你的這個問題，可能其他同學還有相近的問題.

生乙：老師，您說的教科書第100頁的圖15.2-3所示的例子（參考圖2所示），地面上的人在同時測量桿M、N兩端，根據(jù)前面所講的同時的相對性，車廂里的人認為，地面上的人是先測量了N端，后測量了M端，設其間隔為Δt，這期間桿已經(jīng)相對地面向前運動了一段.所以，車廂里的人一定會認為地面測量桿的長度比自己的短，那么，短多少呢？我是這樣理解：如果知道了車廂人認為Δt，桿相對地面向前運動的速度為v，那么，地面測量桿長的數(shù)值減小量Δl這樣表示：Δl＝vΔt，如果車廂里的人測量的桿長為l0，那么，地面人測得的桿長為l，則l＝l0－Δl，您看可以嗎？

圖2

師：請注意，這個長度l是車廂人認為地面人應該測得的桿的部分，這個問題我們稍后說明，除此之外，你是不是想問：怎么才能知道這個時間間隔Δt？

生乙：是的.

師：這就是和甲同學相似的問題了，別的同學還有問題嗎？

生丙：老師，關于時間間隔的相對性問題，我看了些參考書，有這么個例子：如圖3（a）所示，列車以速度v相對地面勻速行駛，車廂底面裝有一光源O，緊靠它有一標準鐘，該底面的正對面的車廂頂部裝一平面鏡M，可使向上發(fā)出的光脈沖原路返回，光速為c且不變，設車廂的高度為b，光脈沖在車廂往返過程中，車上的鐘走過的時間為Δt′，但是地面的人觀看，由于列車在前進，光線走的是鋸齒形路徑，如圖3（b）所示，光線來回一次的時間為Δt，這是地面鐘的時間間隔.

圖3

由此可得兩個參考系時間間隔的關系為

我的問題是：這個過程我看得懂，但我感覺莫名其妙，這個例子有一般性嗎？為什么可以這樣說明？您能幫我從另外一個途徑說明時間間隔的相對性嗎？

師：好的，很高興你對相對論有這樣濃厚的興趣.從上面的幾個問題可以看出，同學們在理解了同時的相對性之后，開始關心它們之間的定量關系了.這些問題實際上也就是尋找在兩個參考系中時間的轉換關系，有難度.我們先根據(jù)同時的相對性來說明某一事件的“時刻”和“位置”在兩個參考系中的是如何轉換的.下面借助于一個我們熟悉的物理情景來進行.如圖4（a）所示，火車以速度v向右高速運動，當位于車廂中部的人與地面人位于同一水平位置時，分別以兩人位置為原點建立一維空間坐標，并設此時為0時刻，此時在車廂的中部發(fā)出一個閃光，這個閃光會到達車廂右端B′處.對這個事件，根據(jù)我們在同時的相對性中形成的認識，車廂人和地面人會有不同的描述.設地面人認為這個事件為（x，t），而車廂人認為這個事件為（x′，t′），下面討論它們間的關系.期望得到兩個參考系時刻與位置轉換關系式，你們看應該怎么開始？

圖4

生甲：我感覺一頭霧水，不過，我猜測，得先考慮兩個參考系中各物理量的關系吧？

師：對，你的猜測非常好.那么它們到底哪些物理量有關系呢？又有什么關系？

生甲：如您在上節(jié)課所說，根據(jù)相對性原理和光速不變原理，在各自參考系中，物理規(guī)律不變，光速不變.至于別的，就得分析了.

師：很好，對于其他物理量如位置、時刻，我們就不能認為它們是相同的，得想辦法找到它們間的關系.

生：……

師：情況也不是一籌莫展，如圖4（b）所示，對地面人來說，B′距離他為ct，對于車廂人來說，地面人向左運動了vt′，車廂右端距離他為ct′，如甲同學剛才所說，它們間的關系不能理解成ct＝vt′＋ct′，但可以假設它們間有正比例關系，表示為ct＝k（vt′＋ct′）.

生甲：老師，要這么說的話，你在相對論兩個假設的基礎上，又添了一個假設哦.

師：是的，以后你會知道，這叫“時間、空間的均勻性以及空間的各向同性”假設；你很嚴謹，學習相對論需要這樣的嚴謹.

師：同理，我們還可以得出，ct′＝k（ct－vt）.與上式相比較，其比例系數(shù)認為相等，理由是在各自的參考系中觀察，它們是等價的.如此，就可以推導兩參考系時刻t和t′、位置x和x′之間的關系了.

生乙：我整理一下，

師：可以看出，要定量確定兩參考系事件發(fā)生的位置x、x′和時刻t、t′之間的關系，關鍵是要確定常數(shù)k.

生乙：哦，是的，由（1）、（2）、（3）式可得

由（1）、（2）、（4）式可得

為了得到時刻和位置的關系，將（7）式代入（3）、（4）式，求解x、x′、t和t′，可得

生丙：老師，這樣的推導過程，我覺得比較自然了，但這幾個公式的物理意義是什么？它們能解決剛才我提出的問題嗎？

師：首先，它們可幫助我們確定在車廂中發(fā)生的一個事件，車廂人與地面人對此不同描述以及它們間的關系.由此就可確定兩個事件的長度（位置間隔）在不同參考系之間的變換關系，也就是Δx′與Δx之間的關系.同理，還可確定兩個事件發(fā)生的時間間隔在不同參考系之間的變換關系.其次，時間和空間不再各自獨立地存在，兩者由于慣性參考系的相對運動而有機地結合在一起，時間、空間和物質運動之間的有密切的關系，這就是狹義相對論時空觀.最后，值得一提的是，時間和空間的相對性只發(fā)生在運動方向上.在同時的相對性中已經(jīng)說過，在垂直運動方向上，同時是一致的，因而在這些方向上，時間是同步的，長度也是一樣的.

師：至于你提出的第二個問題，你可以引用上面的變換式

推導一下Δt和Δt′的關系.提示：在車廂參考系中，發(fā)出光脈沖和接受光脈沖是在同一個位置，即Δx′＝0，這也是選用這個變換式進行計算的原因.甲同學第一個提出的問題，實際是求Δt′.你知道嗎？

生甲：嗯，問題條件是Δt＝0，Δx′為車廂自身長度，那么選擇公式

就可解決它.公式

有點麻煩，因為需要確定Δx，應該比車廂本身長度短點.

生乙：老師，我前面問到的長度的收縮，根據(jù)這些變換式，能得到嗎？

師：對照圖2所示的例子，車廂人測量車廂內桿的長度為l0，地面人的測量必須要同時對準桿的兩端才行（車廂人測量桿長是不需要同時的，只要與尺子兩端對齊，讀出兩個位置的刻度值即可），即tN＝tM，車廂人是怎么看待地面人的測量的呢？根據(jù)同時的相對性，車廂人認為地面人先對準了N點，后對準了M點，也就是說車廂人認為地面人對準M點的時刻后發(fā)生，即tM′＞tN′，在這個時間差Δt′內，桿向前移動了一段距離，數(shù)學表述是

可得

師：L是指車廂人認為地面人所測得的桿的部分，車廂人可不認為地面人的測量數(shù)據(jù)僅僅是少了一部分桿長，地面上的任何相對于火車運動方向上的尺寸全都收縮了，也即，車廂人還看到地面人所用的尺子也收縮了，對此，車廂人是這么看的：地面的尺子高速向左運動，兩端為A和B，車廂尺子兩端A′和B′同時與其對齊，即必須有tA′＝tB′，故我們用代換

可以得到

地面測量值就應該是

生甲：要這么費勁啊，地面人直接到車廂上來測量不就行了嗎？

師：這樣的話，他測量到的就是原車廂人測量桿的長度，但我們的目標是測量一個相對于測量者運動桿的長度，所以就比較“費勁”.另外，地面人測量值你也可用公式

得到，此處有Δt＝0，Δx′＝l0.

生甲：車廂人認為的地面人的測量結果，還是相對論理論上的結論，這需要實驗的驗證，是吧？

師：很好，是的.

1 趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程，力學（第2版）［M］.北京：高等教育出版社，2012.

2 張之翔.對長度收縮的另一種看法［J］.大學物理，2005（10）：13－14.

3 邱會明.洛倫茲變換的推導及對其悖論的解釋［J］.中學教學參考，2012（2）：62.

4 謝禮平.關于“同時的相對性”的幾個問答［J］.物理教師，2014（5）：18.