繩正法在高鐵曲線整道的適用性分析＊

魏暉，朱洪濤，殷華，3，蔡軍，戚志剛

（1.南昌大學(xué) 機電工程學(xué)院，江西 南昌330031；2.江西科技學(xué)院 汽車工程學(xué)院，江西 南昌330098；3.江西農(nóng)業(yè)大學(xué) 軟件學(xué)院，江西 南昌330045；4.蘭州鐵路局 工務(wù)處，甘肅 蘭州730000）

軌道在重復(fù)性的載荷作用下，將產(chǎn)生殘余變形，進而軌道質(zhì)量劣化，影響行車的安全及乘車的舒適。要保證軌道質(zhì)量的均衡，需要通過日常的軌道整理以校正軌道的殘余變形。而殘余變形的校正，涉及到不平順的測量與整道量的計算問題。關(guān)于軌道平順性測量，目前的測量手段有動態(tài)測量與靜態(tài)測量；而整道量計算的方法，又可以分為基于外部幾何尺寸的坐標(biāo)法以及基于內(nèi)部幾何尺寸的漸伸線法2類。漸伸線方法又包含矢距法、偏角法與繩正法3種方法。由于繩正法操作較簡便，因此繩正法廣泛應(yīng)用于普速線路以及提速線路的整道計算。由于方法中隱含整正前后的曲線轉(zhuǎn)角（α）和線路長度（L）均不變的假設(shè)，且采用有限點的累和替代積分運算，因而漸伸線法的撥正是有條件的。黎浩廉［1］從分析曲率半徑控制的角度出發(fā)，認(rèn)為漸伸線類方法適用條件應(yīng)為：對于無縫線路轉(zhuǎn)角不宜大于1rad，對于有縫線路也不宜超過2.1rad；郝瀛［2］則從既有線改建的撥距控制角度分析漸伸線方法的適用性，認(rèn)為當(dāng)QZ點撥距誤差≤0.05m時繩正法等漸伸線方法適用；劉永孝等［3］則從坐標(biāo)法與漸伸線法的撥距對比角度分析2類方法的撥距與正矢的差異，認(rèn)為漸伸線法計算的撥距誤差和撥后正矢誤差都與偏角的大小有關(guān)，但其計算精度可以滿足曲線整正基本要求。以上成果對于普速及提速線路的曲線養(yǎng)護提供了理論依據(jù)，然而上述研究并未對漸伸線方法在高速鐵路曲線養(yǎng)護中的適用性進行討論；另外，已有研究常以級數(shù)分解為分析工具并通過算例進行說明漸伸線方法的適用性；還有，計算中對于撥正質(zhì)量即撥后的平順性也少有涉及。本文以繩正法為例，采用向量方程來分析漸開線法的性狀與精度，并討論其在高鐵曲線養(yǎng)護中的適用性。

1 繩正法原理與操作

繩正法利用曲線上正矢與曲率之間的關(guān)系，改正正矢，使之恢復(fù)原有的設(shè)計曲率，并通過相應(yīng)的撥量，把它撥正到原來的設(shè)計位置［4－5］。一般操作常采用外股軌道為基準(zhǔn)線，按等間距l(xiāng)（如10m）對曲線設(shè)樁，計測樁號為i（i＝0，1，2，…，n，n＋1）；然后用長為2l（如20m）的弦線，兩端緊貼相鄰樁點處外軌踏面下16mm作用邊并張緊，測取中間樁點的弦矢高，得到實測正矢序列｛fi｜i＝1，2，…，n｝；依據(jù)設(shè)計參數(shù)，可計算設(shè)計正矢序列｛Fi｜i＝1，2，…，n｝。關(guān)于繩正法撥量計算，可采用簡易法或流水法［6］。無論是簡易法抑或是流水法，均基于漸伸線原理，只是計算格式有所區(qū)別。原理如下：

假定軌道任一點均沿漸伸線移動且移動前后軌道長度不變，并令正矢差

則撥量ei：

在車上的我，好像飛行在一個醒覺之后就要忘記了的夢里。我似乎有一樁事情沒有做完成，我心里有著一種牽掛。但這并不曾很清晰地意識著。我?guī)状蜗氚咽种械膫銖埰饋?，可是隨即會自己失笑這是無意識的。并沒有雨降下來，完全地晴了，而天空中也稀疏地有了幾顆星。

2.2.2 繩正法撥后正矢偏差分析

圖1 曲線整道計算流程［4］Fig.1 Calculation flow chart of curve realignment

2 繩正法整道的性態(tài)與誤差分析

2.1 繩正法整道的性態(tài)

測量精度與撥量間誤差傳遞關(guān)系量與其線性方程組的性態(tài)有關(guān)，而條件數(shù)是刻畫方程組性態(tài)的重要指標(biāo)。若條件數(shù)小，則說明方程組計算對原始數(shù)據(jù)擾動不敏感，方程組為“良態(tài)”；若條件數(shù)隨矩陣規(guī)模的增大而急劇增大，則說明方程組計算對數(shù)據(jù)擾動敏感，方程組為“病態(tài)”。作為線性方程組的解對數(shù)據(jù)誤差敏感性的度量，本文將對式（2）的條件數(shù)進行分析。

文獻［11］給出了相應(yīng)的算例，當(dāng)n＝20，σ＝0.1mm時，調(diào)整量標(biāo)準(zhǔn)不確定度σ（en）＝10.7mm。即意味著在曲線尾難以滿足∑fi與∑Fi閉合的要求，需對計劃正矢修正。

其中：E為撥量，mm；G為系統(tǒng)矩陣；F為正矢差，mm。

（一）多角度解讀現(xiàn)象包含的各種道理——從知識角度上分析同一信息往往包含許多方面的道理，政治課主要是分析信息背后反映出來的政治、經(jīng)濟、文化、哲學(xué)幾個方面的道理。

（3）井底板及接縫漏水，可采用水泥或化學(xué)注漿補漏處理。如大而積滲漏水，可將滲漏部位鑿毛，洗凈、濕潤，抹壓1-2 mm厚素水泥漿層，再用防水砂漿或膨脹水泥砂漿抹而，或用剛性防水多層抹而補漏。在內(nèi)部凈宅允許的情況下，亦可在內(nèi)部加設(shè)60-80 mm厚細(xì)石防水混凝土套緊貼底板及刃腳部位，以阻止防滲漏水。

對于線性方程組，條件數(shù)cond（G）定義為

因為上（下）三角Toeplitz矩陣的逆矩陣仍然為上（下）三角 Toeplitz矩陣，可知，G－1依然為一下三角的Toeplitz矩陣。定義G－1如下：

其中［12］

隨著創(chuàng)新2.0時代和工業(yè)4.0時代的到來，高校要因勢利導(dǎo)，通過多元化的教學(xué)方式來對大學(xué)生進行符合時代要求與學(xué)生發(fā)展的企業(yè)家精神教育實踐活動。

由于范數(shù)的等價性并為便于計算，取矩陣的1范數(shù)，可得，

2.2 繩正法撥量的誤差分析

當(dāng)n＞3時，

2.2.1 曲線撥量不確定度分析

由式（2），設(shè)實測正矢fi的測量獨立且等精度，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度σ（fi）為σ，依據(jù)不確定度傳播律測樁n處撥量en的不確定度σ（en）［11］：

可知，系統(tǒng)矩陣G為一下三角的Toeplitz矩陣。

由式（7）可知，cond（G）的值與矩陣規(guī)模有關(guān)，即G呈病態(tài)；對于繩正法而言，其計算結(jié)果隨測樁號的增加顯著變化，為撥量計算帶來不確定性。這種不確定性可用不確定度來衡量。關(guān)于撥道計算的效果，至少應(yīng)包含以下2個方面，一是曲線尾撥量閉合條件的不確定度，二是曲線撥后正矢偏差不確定度。

由文獻［11］，式（2）可寫作向量形式

為保證曲線整正前后兩端的切線方向、曲線整正前后始終點位置、以及某些控制點（如小橋、道口等）位置不變，撥道計算中設(shè)置了一些限制條件，如要求等［7－8］。繩正法整道計算流程如圖1所示。然而，或源于測量或源于計算，或是因為線路的既有狀態(tài)，這些限制條件在實際整道作業(yè)中未必能全部滿足。為保證限制條件，可對計劃正矢進行修正并形成了一些經(jīng)驗方法［6，9－10］。計劃正矢的修正意味著線路參數(shù)的改變，以R＝3 500m的平面曲線為例，當(dāng)計劃正矢修正1mm，則R在3 270～3 760m范圍內(nèi)變化；且正矢修正嚴(yán)重依賴于操作者的經(jīng)驗，客觀上限制了繩正法在高速鐵路上的應(yīng)用。

實例 3：“I advised Mr.Darcy,and Lizzy,and Kitty,said Mrs.Bennet,to walk to Oakham Mount this morning.It is a nice long walk,and Mr.Darcy has never seen the view.”

不考慮實測正矢fi的精度問題，采用式（2）應(yīng)能保證測樁n內(nèi)每一點的平順性。然而式（2）是采用累和的方法計算每個測樁i的撥量，即前i－1點的誤差都將引入到當(dāng)前點，這給撥道效果帶來不確定性。由于曲線正矢計算采用的是中點弦測模型，此時測樁i的正矢修正量應(yīng)為：

如前，設(shè)實測正矢fi標(biāo)準(zhǔn)不確定度σ（fi）為σ，撥后正矢偏差的標(biāo)準(zhǔn)不確定度

(3) 基礎(chǔ)混凝土主要處于受壓狀態(tài)，最大壓應(yīng)力為16.9 MPa，根據(jù)混凝土相應(yīng)規(guī)范[16]，C40混凝土設(shè)計軸心抗壓強度19.1 MPa，滿足極限荷載下基礎(chǔ)承載性能要求；混凝土基礎(chǔ)第一主應(yīng)力最大值為0.34 MPa，發(fā)生在下錨板附近以下0.3 m范圍內(nèi)混凝土區(qū)域；高強灌漿層下部0.3 m范圍內(nèi)部分混凝土第一主應(yīng)力接近于零。

可知，撥后曲線的正矢偏差與0號測樁的距離有關(guān)，隨著測樁號i的增加，撥后軌道正矢的不確定性增加。

3 繩正法在高鐵曲線整正中的適用性

依據(jù)《高速鐵路有砟軌道線路維修規(guī)則（試行）》［13］，整道后的正矢應(yīng)滿足作業(yè)驗收標(biāo)準(zhǔn)，如表1所示。

為了驗證實驗裝置測量的準(zhǔn)確性，對正入射金屬鋁材料粗糙表面的測量數(shù)據(jù)進行了高斯擬合和幾何光學(xué)近似逼近，得到了正入射情況下材料表面的散射光強,如圖3和圖4所示。

表1 線路曲線正矢作業(yè)驗收容許偏差管理值Table 1 Ordinates tolerance of track planning works acceptance mm

以容許偏差不大于±2mm為例，討論繩正法計算對曲線平順性的影響。不計撥道作業(yè)的兌現(xiàn)率問題并認(rèn)為通過修正計劃正矢已滿足閉合條件，如偏差不大于±2mm（95%概率），則可假定正矢容許的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為1mm。并假設(shè)實測正矢的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分別為0.05，0.1和0.3mm，按式計算滿足作業(yè)驗收標(biāo)準(zhǔn)的測樁數(shù)。

如圖2所示，若實測正矢不確定度為0.3mm，則當(dāng)?shù)?號測樁時，計算的撥量有可能不能滿足高鐵的作業(yè)驗收標(biāo)準(zhǔn)。而以均勻分布計，傳統(tǒng)的鋼尺、弦線測量正矢，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度已達0.3mm。若采用繩正法來恢復(fù)曲線的圓順，除采用更精密的測量工具外，還可以采用多次測量求均值或加密樁點等方法。即使如此，繩正法依然不適合高鐵曲線的長撬整道。另外，作業(yè)后效果應(yīng)現(xiàn)場回檢并補調(diào)。

圖2 繩正法下的實測正矢與撥后正矢偏差關(guān)系Fig.2 Schematic of existing ordinate errors and corrected ordinate errors by string lining method

4 結(jié)論

（1）通過建立繩正法的向量模型并分析其性態(tài)，可知繩正法的系統(tǒng)矩陣為病態(tài)，其結(jié)果受數(shù)據(jù)擾動的影響很大；

（2）對繩正法的誤差傳遞關(guān)系的分析表明，源于漸伸線算法的累和計算，繩正法的撥量誤差以及平順性誤差均隨測樁號的增加而增加；

黃土高原是世界上最大的黃土堆積區(qū)，占世界黃土的70%，但其植被覆蓋稀疏，加之降水集中多暴雨，水土流失十分嚴(yán)重，黃土高原的綜合治理是國家改造自然工程中的重點項目，以水土保持為中心的治理方針，將改土與治水相結(jié)合，治坡與治溝相結(jié)合，工程措施與生物措施相結(jié)合，實行農(nóng)林牧綜合發(fā)展，目前這種治理措施已經(jīng)取得了明顯成效。

（3）以高鐵作業(yè)驗收標(biāo)準(zhǔn)來分析繩正法的適用性，可知其僅適合于短撬作業(yè)，若要保證高鐵曲線的圓順，應(yīng)采用其他算法。

［1］黎浩廉.對整正既有曲線的幾個問題的探討［J］.長沙鐵道學(xué)院學(xué)報，1980，（1）：30－40.

LI Haolian.Some question analysis for curve realignment in the existing railroads［J］.Journal of Changsha Railway Institute，1980（1）：30－40.

［2］郝瀛.改建既有線平面時對曲線傳統(tǒng)撥距法的誤差分析［J］.鐵道學(xué)報，1984，6（1）：71－83.

HAO Ying.Error analysis of the conventional shift computation method for curves in the reconstruction of existing railroads［J］.Journal of China Railway Society，1984，6（1）：71－83.

［3］劉永孝，劉學(xué)毅，張詠軍，等.鐵路既有曲線整正計算中基于坐標(biāo)法的漸伸線誤差分析研究［J］.鐵道學(xué)報，2012，34（4）：82－87.

LIU Yongxiao，LIU Xueyi，ZHANG Yongjun，et al.Study on involute errors in computation of existing railway curve realignment［J］.Journal of the China Railway Society，2012，34（4）：82－87.

［4］童大塤.鐵道軌道［M］.北京：中國鐵道出版社，1988：243－251.

TONG Dayun.Railway track［M］.Beijing：China Railway Publishing House，1988：243－251.

［5］EASA S M.Practical optimization model for realigning railway horizontal curves［J］.Civil Engineering Systems，1991，8（1）：27－36.

［6］吳耀庭.鐵路曲線及其養(yǎng)護［M］.北京：中國鐵道出版社，2001：81－114.

WU Yaoting.Railway curve and its maintence［M］.Beijing：China Railway Publishing House，2001：81－114.

［7］Dwyer Wyer D O.Realignment of railway curves［J］.Proceedings of the ICE－Transport，1997，123（4）：234－240.

［8］李偉，蒲浩，彭先寶.基于方向加速法的鐵路既有線平面重構(gòu)優(yōu)化算法［J］.鐵道科學(xué)與工程學(xué)報，2009，6（3）：47－51.

LI Wei，PU Hao，PENG Xianbao.Existing railway plane line reconstruction algorithm based on direction acceleration method［J］.Journal of Railway Science and Engineering，2009，6（3）：47－51.

［9］Thadani Hadani M.Railway curves：their alignment and realignment［J］.Institution of Eng （India）Journal，Civ Eng Div，1972，52（9）：227－239.

［10］鄧昌大.鐵路曲線正矢合計閉俁差分析與處理探討［J］.鐵道建筑，2006（3）：76－77.

DENG Changda.Misclosure analysis and processing of railway cuve versine summation［J］.Railway Engineering，2006（3）：76－77.

［11］魏暉，吳仕鳳，朱洪濤.基于相對測量調(diào)軌的高速鐵路有砟線路整道技術(shù)研究［J］.鐵道標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計，2013（8）：11－15.

WEI Hui，WU Shifeng，ZHU Hongtao.Engineering trial of relative measuring adjustment method for HSR ballast rail maintenance［J］.Railway Standard Design，2013（8）：11－15.

［12］《數(shù)學(xué)手冊》編寫組.數(shù)學(xué)手冊［M］.北京：人民教育出版社，1979：127－133.

Mathematics handbook compile group.Mathematics handbook［M］.Beijing：People’s Education Press，1979：127－133.

［13］鐵道部運輸局.TG／GW116－2013，高速鐵路有砟軌道線路維修規(guī)則（試行）［S］.北京：中國鐵道出版社，2013.

Transportation bureau of MOR.TG／GW116－2013，High speed railway maintain rules for ballast track（for trial implementation）［S］.Beijing：China Railway Publishing House，2013.