基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的中軸變換算法

摘 要：對二值圖像處理中中軸變換的算法進(jìn)行了研究，介紹了基于形態(tài)學(xué)的中軸變換算法，同時，對數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的相關(guān)理論做了介紹。并利用該算法對地圖圖像進(jìn)行了中軸變換的處理，取得了良好的實驗效果。通過實驗研究可以看出，該算法設(shè)計靈活，便于實現(xiàn)，具有一定的實用性。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)；中軸變換；二值圖像

中圖分類號：TP751

形狀是圖像分析當(dāng)中十分重要的信息，中軸變換是描述物體形狀骨架最為常見的方法。中軸[1]可以認(rèn)為是精確定義的骨架。一塊連續(xù)二值圖像的骨架概念首先是由Blum提出的，當(dāng)時他稱骨架為中軸，后來稱為對稱軸。

雖然中軸變換的應(yīng)用非常廣泛，但直到目前國內(nèi)在這方面做得研究并不多。常用的中軸變換方法有[2]：拓?fù)涫萆矸?、距離變換法、草火法、Voronoi法等。但這些方法的計算量非常龐大，也不能保留孤立點，這樣會丟失很多信息，為了避免上述情況發(fā)生，我們這里采用了一種基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法來對圖像進(jìn)行中軸變換處理。

1 形態(tài)學(xué)基本概念

形態(tài)學(xué)運(yùn)算是針對二值圖像依據(jù)數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)集合論方法發(fā)展起來的圖像處理方法[3]。它的主要內(nèi)容是通過一套概念、變換和算法，來描述圖像的基本特征。這些數(shù)學(xué)工具在集合代數(shù)的基礎(chǔ)上，采用集合論方法分析幾何結(jié)構(gòu)和狀況，與常用的頻域或空域的方法不同。形態(tài)學(xué)在圖像處理中的主要用途就是通過基本運(yùn)算，對圖像的幾何特征和參數(shù)進(jìn)行分析，從而改善圖像質(zhì)量。

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的研究對象為圖像的形態(tài)特征，對圖像基本結(jié)構(gòu)與特征進(jìn)行描述，即對圖像中各個元素、部分之間的關(guān)系進(jìn)行描述。一般情況下，形態(tài)學(xué)圖像處理表現(xiàn)為一種鄰域運(yùn)算形式，采用鄰域結(jié)構(gòu)元素的方法，在每個像素位置上鄰域結(jié)構(gòu)元素與二值圖像對應(yīng)的區(qū)域進(jìn)行特定的邏輯運(yùn)算，通過運(yùn)算出到輸出圖像相應(yīng)像素的結(jié)果。

常見的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算有：腐蝕、膨脹、開運(yùn)算、閉運(yùn)算、擊中、細(xì)化和粗化，其中，以腐蝕和膨脹這兩種基本運(yùn)算作為基礎(chǔ)。使用這些運(yùn)算及其組合，可以分析及處理圖像的形狀和結(jié)構(gòu)，包括圖像分割、特征抽取、邊界檢測、圖像濾波、圖像增強(qiáng)和恢復(fù)等方面的工作。

1.1 元素和集合

在數(shù)字圖像處理的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算中，把一幅圖像稱為一個集合[4]。對于二值圖像，通常認(rèn)為背景的像素點取值為0，而景物中心的像素點取值為1。這類圖像的集合是直接表示的。對于一幅圖像M，如果點m在M的區(qū)域以內(nèi)，那么就說m是M的元素，記為m∈M，否則記作m M。

1.2 目標(biāo)和結(jié)構(gòu)元素

將被考察或者被處理的圖像稱為目標(biāo)圖像X，為了確定目標(biāo)圖像的結(jié)構(gòu)，必須逐個地考察各部分之間的關(guān)系，并且進(jìn)行檢驗，最后得到一個各部分之間關(guān)系的集合[5]。在考察目標(biāo)圖像各部分之間的關(guān)系時，需要設(shè)計一種收集信息的探針，稱為結(jié)構(gòu)元素S，在圖像中不斷移動結(jié)構(gòu)元素，就可以考察圖像之間各部分的關(guān)系。一般來說，結(jié)構(gòu)元素的尺寸要明顯小于目標(biāo)圖像的尺寸。設(shè)有兩幅圖像N、X。若X是被處理的對象，而N是用來處理X的，則N為結(jié)構(gòu)元素，又被形象地稱為刷子。

1.3 交集、并集和補(bǔ)集[4]

兩個圖像集合M和N的公共點組成的集合稱為兩個集合的交集，記為M∩N，即M∩N={m|m∈M且m∈N}。

兩個集合M和N的公共元素組成的集合稱為兩個集合的并集，記為M∪N，即M∪N={m|m∈M或n∈N}。

對一幅圖像M，在圖像M區(qū)域以外的所有點構(gòu)成的集合稱為M的補(bǔ)集，記為M′，即M′={m|m M}。

1.4 包含、擊中和擊不中[4]

設(shè)有兩幅圖像M、N，如圖1所示。

（a）N包含于M （b）N擊中M （c）N擊不中M

圖1 包含、擊中、擊不中

N包含于M：對于N中所有的元素ni，都有ni∈M，則稱N包含于M，記作N M。

N擊中M：如果M∩N≠?，那么稱N擊中M，記為N↑M，其中?是空集的符號。

N擊不中M：否則如果M∩N=?，那么稱N擊不中M。

2 中軸變換

中軸變換是一種提取圖像的骨架的運(yùn)算，我們知道在最初的時候骨架的提出就是叫做中軸，也就是說中軸就是骨架，骨架就是中軸[5]。需要強(qiáng)調(diào)的是，中軸變換的中軸骨架在拐角處延伸到了邊界。

2.1 形態(tài)學(xué)中軸變換

許多數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算法都依賴于擊中擊不中變換。其中，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)中軸變換算法便是一種常見的使用擊中擊不中變換的形態(tài)學(xué)算法。其基本思想是，在給定系列具有一定形狀的結(jié)構(gòu)元素后，順序循環(huán)地刪除滿足擊中變換的象素，同時中軸變換不能破壞圖像的連通性。具體的算法是對圖像反復(fù)地進(jìn)行滿足刪除條件的兩次刪除，直到?jīng)]有可刪除的像素點為止，最終得到的就是圖像的中軸。

定義一個5×5鄰域的A模板，A中各個位置上的取值取決于A所對應(yīng)圖像中不同像素位置，如果A某一個位置上所對應(yīng)的像素為白，A上該位置賦為0，否則賦為1，如圖2所示。

a[0][0]a[0][1]a[0][2]a[0][3]a[0][4]

a[1][0]a[1][1]a[1][2]a[1][3]a[1][4]

a[2][0]a[2][1]a[2][2]a[2][3]a[2][4]

a[3][0]a[3][1]a[3][2]a[3][3]a[3][4]

a[4][0]a[4][1]a[4][2]a[4][3]a[4][4]

圖2 5×5領(lǐng)域的A模板

第一次刪除的條件：

條件1：2≤S（a[2][2]）≤6；

條件2：Q（a[2][2]）=1；

條件3：a[1][2]*a[2][1]*a[3][2]=0；

條件4：a[2][1]*a[2][3]*a[3][2]=0。

第二次刪除的條件：

條件1：2≤S（a[2][2]）≤6；

條件2：Q（a[2][2]）=1；

條件3：a[1][2]*a[2][1]*a[2][3]=0；

條件4：a[1][2]*a[2][3]*a[3][2]=0。

其中，S（a[2][2]）表示以a[2][2]為中心的3×3鄰域內(nèi)目標(biāo)像素（即黑像素）的個數(shù)。

取其中的3×3鄰域，以a[2][2]為中心點，則Q（a[2][2]）表示序列：a[3][2]a[3][1]a[2][1]a[1][1]a[1][2]a[1][3]a[2][3]a[3][3]a[3][2]中0到1的變化次數(shù)。

取其中的3×3鄰域，以a[1][2]為中心點，則Q（a[1][2]）表示序列：a[2][2]a[2][1]a[1][1]a[0][1]a[0][2]a[0][3]a[1][3]a[2][3]a[2][2]中0到1的變化次數(shù)。

取其中的3×3鄰域，以a[2][1]為中心點，則Q（a[2][1]）表示序列：a[3][1]a[3][0]a[2][0]a[1][0]a[1][1]a[1][2]a[2][2]a[3][2]a[3][1]中0到1的變化次數(shù)。

遍歷圖像的全部像素點，分別對第一次刪除的4個條件進(jìn)行判斷，如果條件全部滿足，則刪除該點；第一次遍歷結(jié)束后，對處理后的圖像用同樣的方法進(jìn)行第二次刪除條件的判斷。反復(fù)地對處理后的圖像進(jìn)行上面兩步的操作，直至沒有可以刪除的點，這時剩下的就是圖像中軸。

2.2 實現(xiàn)步驟

（1）獲取原圖像的高、寬和首地址；

（2）如當(dāng)前像素為白，是背景，就跳過該像素；

（3）如當(dāng)前像素為黑，是物體，則定義一個5×5鄰域A模板，計算A中各個位置上的值；為防越界，從第3行第3列開始判斷，把A中心覆蓋在想要判斷的像素上，如果A所覆蓋的位置下，像素為白，是背景，則在A上同樣的位置設(shè)置0，否則是目標(biāo)像素，為黑；

（4）遍歷全部像素點，依次判斷第一次刪除的條件，4個都滿足則刪除該點，不滿足則判斷下一個像素點；

（5）第一次遍歷結(jié)束后，對處理后的圖像用同樣的方法進(jìn)行第二次刪除條件的判斷；

（6）反復(fù)執(zhí)行（4）（5）兩步，直至沒有可以刪除的點；

（7）保存結(jié)果。

2.3 實驗結(jié)果

利用上述算法，以Visual C++作為開發(fā)工具，對一張某地區(qū)的地圖作中軸轉(zhuǎn)換，其實現(xiàn)結(jié)果如圖3所示：

（a）原始圖像 （b）中軸轉(zhuǎn)換

圖3 圖像中軸轉(zhuǎn)換

3 結(jié)束語

綜上所述，與經(jīng)典圖像中軸轉(zhuǎn)換算法相比，形態(tài)中軸轉(zhuǎn)換的最大特點是能將大量復(fù)雜的圖像處理轉(zhuǎn)換成最基本的移位和邏輯運(yùn)算的組合，便于并行處理及硬件實現(xiàn)。該算法設(shè)計靈活，便于實現(xiàn)，具有一定的實用性。

參考文獻(xiàn)：

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[3]王詠勝.基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的灰度圖像的邊緣檢測技術(shù)研究[D].哈爾濱：哈爾濱工程大學(xué)碩士學(xué)位論文，2005：6-16.

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作者簡介：王娜，講師，碩士研究生，主要從事計算機(jī)教學(xué)與研究，以及圖形圖像處理、地理信息系統(tǒng)方向的研究。

作者單位：遼寧建筑職業(yè)學(xué)院 信息工程系，遼寧遼陽 111000