摘 要:傳統(tǒng)不敏卡爾曼濾波方法(UKF)在對極-直角坐標(biāo)變換中的誤差進(jìn)行分析時,采用了線性近似的簡單方式。當(dāng)量測方位誤差較大時,無法準(zhǔn)確估計出實(shí)際的直角坐標(biāo)位置與誤差協(xié)方差矩陣。針對該問題,本文提出了基于無偏估計的UKF(UKF-U),以抑制方位誤差對估計結(jié)果的影響。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文方法可有效降低方位誤差影響,提升目標(biāo)跟蹤的定位精度。
關(guān)鍵詞:不敏卡爾曼濾波;無偏估計;坐標(biāo)變換
中圖分類號:TN957.51
在對雷達(dá)、聲納等探測系統(tǒng)中,目標(biāo)的狀態(tài)方程與量測方程通常是建立在不同的坐標(biāo)系下,存在著由量測極坐標(biāo)到狀態(tài)直角坐標(biāo)系的變換過程。而這一變換中又存在著三角變換關(guān)系,屬于非線性問題范疇,因此傳統(tǒng)的線性卡爾曼濾波方法[1](KF)無法直接進(jìn)行處理。轉(zhuǎn)換坐標(biāo)卡爾曼濾波(CMKF)和擴(kuò)展卡爾曼濾波器[2](EKF),均是采用了線性近似的方式,給出了原問題的一個線性近似解,當(dāng)變換過程中引入的高階誤差較大時,會出現(xiàn)跟蹤性能下降,甚而會出現(xiàn)濾波發(fā)散的問題。文獻(xiàn)[3]從無偏估計的角度出發(fā),詳細(xì)推導(dǎo)了坐標(biāo)變換中的誤差產(chǎn)生與協(xié)方差估計,有效抑制了量測方位誤差對于濾波效果的影響。
文獻(xiàn)[4]提出的不敏卡爾曼濾波(UKF),在無需計算雅可比矩陣的基礎(chǔ)上,能夠以二階泰勒級數(shù)精度逼近非線性系統(tǒng)狀態(tài)的后驗(yàn)分布,能夠很好地刻畫目標(biāo)的非線性運(yùn)動模型,濾波精度高于EKF。王璐等人[5]通過最大期望算法,實(shí)現(xiàn)了對系統(tǒng)噪聲統(tǒng)計特性的在線估計,提高了算法的魯棒性。然而UKF在面對雷達(dá)目標(biāo)跟蹤時依然存在極坐標(biāo)-直角坐標(biāo)間的變換過程,因此在量測方位誤差較大時,仍然存在高階誤差補(bǔ)償?shù)膯栴}。有鑒于此,本文提出一種無偏估計的UKF(U-UKF),從統(tǒng)計角度降低坐標(biāo)變換的估計誤差,提升目標(biāo)的跟蹤精度。仿真實(shí)驗(yàn)表明,本文方法可有效抑制量測誤差影響,提高不敏濾波方法的定位精度。
1 坐標(biāo)變換與無偏估計
令(r,θ)表示目標(biāo)的真實(shí)距離與方位,且對應(yīng)的量測誤差分別表示為 ,則當(dāng)前的量測值(rm,θm)與轉(zhuǎn)化后的笛卡爾直角坐標(biāo)(xm,ym)可表示為:
(1)
xm=rmcos(θm) ym=rmsim(θm) (2)
其中,假定 和 相互獨(dú)立,是分別具有標(biāo)準(zhǔn)差為σr和σθ的零均值高斯分布。則此時直角坐標(biāo)系下的轉(zhuǎn)換量測誤差表示為:
(3)
文獻(xiàn)[3]從無偏估計的角度出發(fā),詳細(xì)推導(dǎo)了量測誤差與變換誤差間的關(guān)聯(lián),并給出估計補(bǔ)償,給出了極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的無偏變換及誤差協(xié)方差估計:
(4)
(5)
其中 , 。當(dāng)方位誤差 足夠小時,假定一階以上變換誤差可忽略不計,則可以通過一階泰勒級數(shù)展開的方式,式(3)轉(zhuǎn)化為以線性近似進(jìn)行計算:
(6)
此時對應(yīng)的誤差協(xié)方差矩陣RL可以表示為:
(7)
2 無偏的不敏卡爾曼濾波方法
依據(jù)公式(4)、(5),則可以得到U-UKF方法的算法流程如下:
(1) 初始化權(quán)重方程:
; ;
其中n表示濾波狀態(tài)變量的維度;α描述了Sigma點(diǎn)在均值周圍的延伸程度;β為調(diào)整參數(shù);λ=α2(n+k)-n為比例參數(shù),可以起到調(diào)節(jié)高階矩的作用并減少預(yù)測誤差;k描述了系統(tǒng)分布信息,滿足高斯分布時一般取值為2。
(2) 獲取目標(biāo)的量測值zm(k)=[rm(k) θm(k)],并依據(jù)公式(4)、(5)計算得到直角坐標(biāo)下的轉(zhuǎn)換量測zc(k)=[xU(k) yU(k)]和誤差協(xié)方差矩陣RU(k);
(3) 計算Sigma點(diǎn):
(4) 預(yù)測更新:
(5) 量測更新:
最后得到的 即為當(dāng)前量測zc(k)的濾波結(jié)果。
3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析
仿真場景中,目標(biāo)起始位置位于(105,105)m,初始速度為(200,200)m/s,周期采樣率設(shè)置為1秒,狀態(tài)噪聲是相互獨(dú)立的零均值白高斯噪聲,各坐標(biāo)軸方向標(biāo)準(zhǔn)差為0.01m/s2。雷達(dá)對目標(biāo)的測量誤差 是相互獨(dú)立的零均值高斯噪聲,標(biāo)準(zhǔn)差分別為σr=100、σθ={1.5,2.5}°。分別采用傳統(tǒng)CV-UKF與U-UKF對上述運(yùn)動目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。圖1和圖2給出了兩種方法在不同方位誤差時濾波定位精度的結(jié)果比較。從圖中可以看出,本文方法的濾波結(jié)果明顯優(yōu)于CV-UKF,并隨著方位誤差的增加而愈來愈明顯。
圖1 方位誤差為1.5°時位置(上)與速度(下)均方誤差比較
圖2 方位誤差為2.5°時位置(上)與速度(下)均方誤差比較
4 結(jié)束語
針對極-直角坐標(biāo)間的變換誤差,本文在UKF的基礎(chǔ)上提出了無偏的不敏卡爾曼濾波方法(UKF-U),避免了線性化處理對高階誤差項(xiàng)的丟失,抑制了方位誤差對于濾波精度的影響。另外,該方法還可通過對檢測出目標(biāo)進(jìn)行精確定位,為后續(xù)SAR/GMTI雷達(dá)情報處理與變化檢測等應(yīng)用提供重要幫助。
參考文獻(xiàn):
[1]何友,修建娟,張晶煒.雷達(dá)數(shù)據(jù)處理及應(yīng)用(第二版)[M].北京:電子工業(yè)出版社,2009.
[2]Wen C.L.,Ge Q.B..A data fusion algorithm of the nonlinear system based on filtering step by step[J].International Journal of Control,Automation,and Systems,2006(02):165-171.
[3]Duan Z.,Han C.,Li X.R..Comments on“Unbiased Converted Measurements for Tracking”[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2004(04):1374-1377.
[4]Julier S.J.,Uhlman J.K..A new method for the nonlinear transformation of the means and covariances in filters and estimators[J].IEEE Trans.On Auto Control,2000(03):477-482.
[5]王璐,李光春,喬相偉.基于極大似然準(zhǔn)則和最大期望算法的自適應(yīng)UKF算法[J].自動化學(xué)報,2012(07):1200-1210.
作者簡介:侯書東(1986-),男,安徽肥西人,工程師,博士,研究方向:雷達(dá)數(shù)據(jù)處理。
作者單位:中國電子科技集團(tuán)公司第38研究所,合肥 230088
基金項(xiàng)目:國家高技術(shù)發(fā)展計劃“863”項(xiàng)目(2011AA120404)。